数学（2022/6/15_1）:キューネン本2冊についての記事_XX.記事再編のお詫びふたたび
1.また記事を再編します
1_1.順序数としての自然数全体の集合が、基数としての自然数より前に来るべきではないか
さて、また記事の改訂があります。
書いた記事について、
6/1:順序数としての自然数、有限順序数
6/6:基数としての自然数、有限基数または個数
6/11:順序数としての自然数全体の集合、"omega-0"
6/16（本来の予定）:基数としての自然数全体の集合、"aleph-0"
というロードマップを考えていたのでした。
そのため、6/11時点で、「有限順序数」→「有限基数」→"omega-0" まで投稿していたのでした。
ところが、全体像の確認の結果、どうもこうであるより
順序数としての自然数、有限順序数
順序数としての自然数全体の集合、"omega-0"
基数としての自然数、有限基数または個数
基数としての自然数全体の集合、"aleph-0"
こうであると考えた方が適切なのではないか、という考えに変わりました。
「基数としての自然数の定義は、順序数としての自然数で完結しないのか？
順序数としての自然数全体の集合が必要なのか？
飛び飛びにならないか？」
飛び飛びになろうが、必要なようなのです。
それでは、やるしかありません。
もっと早く気が付いておきたかったですね。反省しております。
1_2.（論理学における）形式言語
さらには、有限基数には、あるものを使います。
『（論理学における）形式言語』と呼ばれるものです。
そしてなんとこれの構成には"omega-0"を使います。
1_3.集合一般における基数
（論理学における）形式言語には別の用途があり、ZFC集合論の公理の1つ、基礎公理のある等価なバリエーションを書く際に使われます。
また、これに加えて、ZFC集合論の公理の最後の1つ、選択公理と、その等価なバリエーションたちの話もしなければなりません。
その果てに、集合一般における濃度、集合一般における基数の話をします。
なぜか。
集合一般における濃度、集合一般における基数における、以上以下超過未満の話が、後で必要になってくるからです。
（特に順序数における濃度、特に順序数における基数までは、濃度と順序数の比較はなされていても、濃度や基数「における」以上以下超過未満は使用していません。ここは気を付けて下さい。）
もう少し分かりやすく言うと、目指す基数としての自然数全体の集合、"aleph-0" は、基数としての自然数、有限基数または個数と比べて、より大きくなければおかしいのです。
だから、有限基数より大きい基数の定義のために、基数における超過は必要になってきます。
そしてそのような基数における超過は、特に順序数における基数にのみ通用するものである、という制約は特にありません。
基数であれば成り立つものです。
そうであるならば、集合一般における基数の定義も、丁寧にしなければなりません。
集合一般における基数で通用しない「基数における超過」があった時点で、その定義は使い物にならないからです。
この上でやっと、"aleph-0" の話ができます。
＊＊＊
ですので、より正確には、以下の通りの記事となります。
6/1:順序数としての自然数、有限順序数
6/6:順序数としての自然数全体の集合、"omega-0"
6/11:論理学における形式言語
6/15_1:基数としての自然数、有限基数または個数
6/16_2:記事再編のお詫びふたたび（この記事）
6/21:基礎公理とそのバリエーション
6/26:選択公理とそのバリエーション
7/1:集合一般における基数
7/6:有限基数より大きい基数
7/11:基数としての自然数全体の集合、"aleph-0"
1_3.混乱を招いており申し訳ございません
「書く前に気づけ」
と言われればその通りなのです。
これに対応したら、もう直さないで済むようにならないか、と期待するものです。
が、また
「見直しの結果、どうしても座視できない修正があった」
ら、やるしかありません。
最終的には、この記事を、デタラメでない、いい記事にしたいための措置です。（デタラメのまま残すと実害が大きいでしょう。）
皆様におかれましては、混乱を招いており、申し訳ございません。
とにかく、記事を書きます。宜しくお願い申し上げます。
（続く）
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