部分積分の話

2020年12月17日 07:29

こんにちは。今回は部分積分というものの話です。置換積分よりも複雑ですが、こっちの方がよく使います(ショートカットもやっぱり難しいので)。

さて、部分積分は公式そのまま覚えるよりかは言葉で覚えた方がいいです。(そのまま)[積分]-∫(微分)[積分のまま]というように。ここではかっこ同士が対応しているので入れ替わりはできません。

　部分積分は例えば複数の関数の積になっている関数や対数関数の積分で使われます。複数の関数の積であるときはeのx乗、三角関数、単純な整式の優先順位で積分する関数を決定すると簡単です。ただし、対数関数の時は積分の枠で一次関数を作ります。そうすると∫の部分で単純になります。

　一応これで部分積分の枠は終わりです。余った枠では絶対値などの話を。絶対値のついている関数は中の正負をちゃんと見て場合分けしましょう。積分は面積のイメージで解けばいいというのは割と事実で、絶対値による関数のx軸での折り返し(と筆者は名付けた)の有無で結果が大きく変わります。そのため、場合分けは必須です。

　また、最後になりますが、積分区間の中心がx=0で対称のときはショートカットが使えます。関数が原点対称(例:サイン関数や1(など奇数)次関数)のときは積分の値が0に、y軸対称(例:コサイン関数、2(など偶数)次関数)のときは積分の値が区間の端から中心までを積分した値のちょうど2倍になります。

　このように、積分はショートカットが多く存在するので(はじめから覚えろというわけではありませんが)探してみるのも良いと思われます。次回はちょっと特殊な関数の積分です。よろしくお願いします。