逆関数と合成関数

2020年11月24日 07:16

こんにちは。今回は逆関数と合成関数です。これは微分積分に直接つながるものです。
逆関数と聞いて難しいように思えます(事実本当に難しい)が、xとy を入れ替えた、y=xについて対称な関数であるだけです。定義域・値域も入れ替わりが起こります。これを覚えればあとは大丈夫でしょう。高校の範囲内では定義と微分積分の式で多く出てきますが、後述する合成関数の方が出番が多いです。また、指数関数の逆関数が対数関数であるということくらいは分かっていてもいいでしょう。

さて、合成関数です。関数の中に関数を入れるという奇妙な構造をしています。また、これの厄介なところはAにBを入れたものとBにAを入れたものが違うということです(抽象的に言っていますが本当です)。また、関数と逆関数の合成関数は変数そのものとなります。このように厄介ではありますが合成関数そのものは(2x+1)³といった式での微分でとても役に立つので、つかんでおくのもよいでしょう(ちなみに今の式の微分は外側の括弧の微分(内側そのまま)に内側の式の微分の積という構造になります。不思議ですね)。

今回は見事に薄い内容でしたが極限・微積と密接に結びつくことは確かなのでやることが多くないうちにやっておくことをおすすめします。気をつける・演習が少ないと後々で詰みます。さて、次回は極限です。どういうわけか数列の復習も含まれているので苦手な人はちょっと思い出すのがいいでしょう。