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数学が好きでちょっとした裏技やあまり有名ではない公式、または公式の導出などを記事にして…

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数学が好きでちょっとした裏技やあまり有名ではない公式、または公式の導出などを記事にして書いています。基本的に中学数学～高校数学Ⅱまでで理解できるような記事にすることを心がけています(マニアックな内容を除く)。また、Pythonでツールも作っているのでたまにその記事も書いています。

  • 数学の記事

    数学についての記事をまとめています。

  • Pythonツール(コード付き)

    Pythonのツールの記事をまとめました。 全てプログラム付きなのでコピペ等で使用可能です。

  • tkinterで関数グラフを描くプログラムを作ろう

    基本と発展編です。 コードを載せてますのでコピペ等でご利用ください。

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python(tkinter)で関数グラフを描くプログラムを作ろう(発展編)

この記事は前回の記事の続きです。前回の記事を見ていない方は下のリンクからご覧ください。 発展編として、今回は前回作成した関数類に色々付け足していきます。 原点Oを書く前回の初期ウィンドウは下のような感じで原点が描かれていませんでした。 これでは原点がわかりづらいので、原点Oを文字として書いてみましょう。tkinterで文字を書くには次のようなコードを書きます。 canvas変数.create_text(x座標,y座標,text='書く文字',font=('フォント',

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    • 素因数分解の裏技と素数判定のコツ

      素因数分解は小さい数、例えば$${30}$$程度であれば$${2\times3\times5}$$と割とすぐに求めることができます。しかし、4桁など桁が増えていくと一気に時間がかかります(これを応用したのがRSA暗号です)。ここではそのような大変な素因数分解をできるだけ「早く」やる方法を紹介します。 「□の倍数」の楽な判定方法まずは数が何の倍数かの割と楽な判定方法を紹介します。 2の倍数 これは簡単で、一の位が2の倍数(偶数)であれば2の倍数です。 たとえば、$${43

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      • 相加・相乗平均の定理の発展とその罠

        高校数学で習う相加平均・相乗平均の定理。式の最小値(または最大値)を求めるのに楽な定理で、発展させると3つ以上の変数でも使えたりと便利ですが、実は「いつもの感覚」で解いていると問題の"罠"に引っかかる可能性があります。ここでは発展と罠の両方について解説します。 相加平均・相乗平均の定理とは相加平均・相乗平均の定理とは次のようなものです。 $${a\geqq0  ,  b\geqq0  のとき、a+b\geqq2\sqrt{ab}\\等号は  a=b  のときのみ成立}$$

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        • 3次以上の方程式の解き方のコツ(因数分解とそれ以外の方法)

          3次以上の方程式は1次方程式や2次方程式、2元1次連立方程式などと違い「楽に解く」ということが難しいです。今回はそんな3次以上の方程式の解き方を解説します。因数分解が基本ですがそれ以外の解き方も"一応"存在します。 1. 因数分解を利用した解き方まずは因数分解を利用した解き方です。おそらくほとんどの問題はこの方法のいずれかで解けると思います(それ以外では問題に何らかの誘導があるかと思います)。 (1) 公式を利用して因数分解する これができれば一番楽です。この形の方程式

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          順列と組み合わせに関する面白い(?)性質

          今回は、順列($${_nP_r}$$)と組み合わせ($${_nC_r}$$)に関する面白い性質について解説していきます。$${_nP_r}$$と$${_nC_r}$$についてなんとなく理解していれば基本的に面白いものだと思います。 【前提】順列Pと組み合わせCの定義式まずは大前提として順列と組み合わせの定義式を確認しておきましょう。 $$ _nP_r=\frac{n!}{(n-r)!} \\\ \\\ _nC_r=\frac{_nP_r}{r!}=\frac{n!}{r!

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          順列と組み合わせに関する面白い(?)性質

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          Σに関しての基本公式の導出(中学数学)

          今回は、少し意外なところから出てくる$${\sum}$$の基本公式の導出を中学数学で出すということをします。ちょっと意外なところから出てくるかもしれません。 等差数列の和まずは基本中の基本、等差数列の和の公式です。 $$ 数列\{a_n\}が等差数列であるとき、\sum_{k=1}^n a_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2} $$ 次に導出ですが、これはかの有名なガウス少年の話(※)とほとんど変わりません。 ※ガウスが幼い頃に「1~100までの和」を聞かれて瞬

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          Σに関しての基本公式の導出(中学数学)

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          極値のx,yから3次関数の式を特定する

          今回は$${x,y}$$の2組からその2組を極値とする3次関数の式を求める方法を解説します。問題を解くのには多分全く役に立ちませんが特定の値を答えとする問題作成をするときなどに有用です。 以前にも似たような記事(内容は違う)を出しているので良ければご覧ください。 極値を求める方法まずは極値を求める方法をおさらいしておきましょう。 例題:$${f(x)=x^3-9x^2+15x+27}$$のとき、$${y=f(x)}$$の極値を求めよ。 ①$${f'(x)}$$を求める

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          極値のx,yから3次関数の式を特定する

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          いろいろな解の公式とその派生

          今回は方程式の解の公式をいろいろ紹介していきます。また、その公式から派生したものも紹介していきます。 1次方程式まずは1次方程式ですが、これは移項さえできれば変なことしなくても導出できます。(もはや公式といっていいものか…) $$ ax+b=c  (a\neq0)のとき、x=\frac{c-b}{a} $$ 一応導出を書いておきます。ただの定数項の移項だけで導出できます。 $${ax+b=c  (a\neq0)}$$ $${ax=c-b}$$ $${a\neq0より、

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          いろいろな解の公式とその派生

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          因数分解の裏技集

          今回は因数分解の裏技を解説します。 公式でやるのは大変なものを主に解説していきます。 また、その裏技がなぜ成立するのかも解説します。 2次式(2次の係数が±1以外の場合)まずは2次式($${ax^2+bx+c}$$)の裏技です。 ただし、$${a=1}$$のときは普通に公式$${x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)}$$を利用、$${a=-1}$$のときは-1でくくってから公式利用でいいので「楽になる」というほどの裏技は特にないと思います。ここでは$${a\ne

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          因数分解の裏技集

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          正多角形の面積の公式の導出方法(証明)

          今回は正n角形の面積を求める公式の証明と導出方法を解説していきます。 正n角形の面積の公式面積の公式は次のようになります。 $$ 正n角形の一辺の長さをaとすると、その面積Sは、\\ S=\frac{a^2n}{4\tan\frac{\pi}{n}} $$ ここで「なぜ面積を求めただけなのに三角関数が入るのか」という疑問を持った方もいると思います。今回はその理由含め解説していきます。 導出に使う公式基本的に三角関数に関する公式を使います。また、多角形の内角の和の公式も

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          正多角形の面積の公式の導出方法(証明)

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          Pythonで分数を単位分数の和にするプログラムを作ろう

          久しぶりのPython記事です。今回は、分数を単位分数の和、つまり単位分数分解をするプログラムを作っていきます。 単位分数とは？単位分数とは、分子が1の分数のことを言います。 例えば、$${\frac{1}{2}}$$や$${\frac{1}{7}}$$、$${\frac{1}{100}}$$のような数のことです。 また、単位分数分解とは、ある分数を単位分数の和の形にすることをいいます。 単位分数分解のやり方次に単位分数分解のやり方です。 単位分数の分母を1ずつ大きくし

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          Pythonで分数を単位分数の和にするプログラムを作ろう

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          累乗と指数の面白い(?)性質

          今回は主に累乗と指数関数についての面白い性質を紹介していきます。今回は前回の意味の分からない虚数$${i}$$の性質よりも分かりやすく簡単なものだと思います(多分)。 ↓前回の記事 指数関数の公式まずは指数関数の公式です。下に証明を書いておきます。 $${x^m\times x^n=x^{m+n}}$$ $${(x^m)^n=(x^n)^m=x^{mn}}$$ $${x^\frac{n}{m}=\sqrt[m]{x^n}=(\sqrt[m]{x})^n}$$ １の

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          累乗と指数の面白い(?)性質

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          虚数についての面白い(?)性質

          虚数$${i}$$という数は不思議な数で、2乗すると$${-1}$$になり、通常のグラフ上(実数直線上)に存在しない数です。今回はそんな虚数を使う特殊な演算($${i^i,\sqrt[i]{i}}$$など)を考えていきます。 ※今回はだいぶマニアックな内容です。 ⅰのⅰ乗まずは$${i^i}$$を考えていきます。これにはオイラーの公式を利用します。オイラーの公式は下のようになります。 $$ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta $$ 特

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          虚数についての面白い(?)性質

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          ヘロンの公式の証明とその導出方法

          皆さんはヘロンの公式というものをご存じでしょうか。ヘロンの公式を簡単に説明すると、三角形の3辺からその三角形の面積を求めることができる公式です。今回はこれの証明と導出方法を解説していきます。 ヘロンの公式とはヘロンの公式とは下のようなものです。 $$ △ABCの3辺をそれぞれ  a,b,c  とし、\\ s=\frac{a+b+c}{2}としたときの△ABCの面積Sは、\\ S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} $$ 今回はこれを証明していきます。 使う

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          ヘロンの公式の証明とその導出方法

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          「0で割る」ことができない理由と0で割れたらどうなるかの考察

          小学校の算数でやる割り算、そして分数。割り算は0で割ってはいけない、そして分数も分母が0になってはいけないということも教えられたか、もしくは暗黙の了解でやらなかったと思います。今回は、0で割ってはいけない理由と、「もし0で割れたらどんな世界になるのか？」ということも紹介していきます。 まず結論を一言で言うと、0で割ってはいけない理由は「定義できない」または「計算できない」です。これだけだとわかりにくいと思うので、文字を用いて説明していきましょう。 n÷0 (n≠0) を考

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          「0で割る」ことができない理由と0で割れたらどうなるかの考察

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          n進法からm進法への変換方法(10→2や2→16など)

          今回は、任意の記数法同士を変換する方法を解説します。内容は高校数学(数A)の発展ですが、理屈は中学生でもわかるものだと思います。 n進法での数の表し方n進法では、次のような規則性によって表されます。 ・整数部分の第$${k}$$桁の数は$${n^{k-1}}$$がいくつあるか ・小数第$${l}$$位の数は$${\frac{1}{n^l}}$$がいくつあるか ※ただし$${n^0=1とする}$$ 具体例で説明すると、たとえば10進法の12.34は $$ 12.34_{(

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          n進法からm進法への変換方法(10→2や2→16など)

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