超動くマンカラ番外編：カラハ一人勝ち問題（１）～連続して連なる穴々

２０２２年から、シリーズで書いています「超動くマンカラ」の枝分かれです。

以前にnoteした「カラハ一人勝ち問題」に関連する記事はこちら。

独立最初の話題、はじめます。

……あ。
念のため、そもそも「マンカラとは？」という方は、Wikipediaとかいろいろ調べてみてください。

マンカラ - Wikipedia

連続して連なる穴々

「カラハ一人勝ち問題」とは、「続・ひとりマンカラ・カラハの数列」で名付けました。
マンカラの１つカラハ（Kalah）の追加アクションによって、一気にたくさんの石を得点してしまう配置を考えてみることです。
どのようなことかは「ひとりマンカラ・カラハの数列」で書きました。

と、前置きして。

まず、石１個から１８個までの配置を列挙します。
無限に穴がある盤面を考えるので、実際は右側に延々と０（石０の空の状態の穴）が続きます。
そこは（省略しないと書ききれないので）省略します。
※左側：石の合計、右側：盤面の状態（以下、同様の表記）

　１：１
　２：０２
　３：１２
　４：０１３
　５：１１３
　６：００２４
　７：１０２４
　８：０２２４
　９：１２２４
１０：０１１３５
１１：１１１３５
１２：０００２４６
１３：１００２４６
１４：０２０２４６
１５：１２０２４６
１６：０１３２４６
１７：１１３２４６
１８：００２１３５７

盤面の１番左側に、大穴があります。
その大穴から、１番近い穴が「空（つまり石０個）」で、さらに続けて隣の穴も「空」である「０」を太字にしています。
すると、

１番近い穴が「空（０）」…盤面の石が偶数個のとき
１番近い穴２連続が「空空（００）」…盤面の石が６個、１８個のとき
１番近い穴３連続が「空空空（０００）」…盤面の石が１２個のとき

となっています。
ん？なんか繰り返しっぽいかも知れません。
さらに石の個数を増やしていくと、４個連続の「空空空空（００００）」も見つかるかも知れません。
調べてみると、石６０個のときにあらわれます……予想外なかたちで。

６０：０００００４０２４６８101214

ひとつ飛ばして、５個連続の「空空空空空（０００００）」、登場。

連続して連なる穴々の周期性

まずは落ち着いて。
落ち着いた。
振り返ります。

１番近い穴が「空（０）」…盤面の石が偶数個のとき
１番近い穴２連続が「空空（００）」…盤面の石が６個、１８個のとき
１番近い穴３連続が「空空空（０００）」…盤面の石が１２個のとき

これらに、なにか繰り返しっぽさが見えたわけですが、実際繰り返しています。
「空（０）」は、１、０、１、０、１、０、………となっています。
２回に１回、同じ数字が出てきますので、周期が２である、とします。

「空空（００）」の場合。
あらためて、石１個から石１２個の配置（右側にもいくつか「空（０）」を知登場させて揃えます）を見ます。

　１：１０００００
　２：０２００００
　３：１２００００
　４：０１３０００
　５：１１３０００
　６：００２４００
　７：１０２４００
　８：０２２４００
　９：１２２４００
１０：０１１３５０
１１：１１１３５０
１２：０００２４６

太字の数字を抜き出し並べると、

１０、０２、１２、０１、１１、００、１０、０２、１２、０１、１１、００

ですが、６個ごとに折返してみると、

１０、０２、１２、０１、１１、００、
１０、０２、１２、０１、１１、００

となって、一致します。

１番近い穴２連続が「空空（００）」…盤面の石が６個、１８個のとき

ではなく、

１番近い穴３連続が「空空空（０００）」…盤面の石が１２個のとき

も含めて、

１番近い穴２連続が「空空（００）」…盤面の石が６個、１２個、１８個のとき……つまり、盤面の石が６で割り切れるとき

です。
言い換えると、周期が６で繰り返しています。

そうすると、「空空空（０００）」の場合は、

　１：１０００００
　２：０２００００
　３：１２００００
　４：０１３０００
　５：１１３０００
　６：００２４００
　７：１０２４００
　８：０２２４００
　９：１２２４００
１０：０１１３５０
１１：１１１３５０
１２：０００２４６

太字を抜き出して、並べた

１００、０２０、１２０、０１３、１１３、００２、１０２、０２２、１２２、０１１、１１１、０００

の周期１２で繰り返している、と見て取れます。
まあ、実際、そうなっています。

続・連続して連なる穴々

そうすると、５個連続の「空空空空空（０００００）」は、周期６０で繰り返すことになりそうです。
実際そうなのか。
６０ごとの区切りで、石１２０個、１８０個、２４０個……の配置を見てみます（穴に石10個以上あるのは確定なので、右側をカンマ区切り表記を変えます。さらに盤面はどんどん長くなるので、半角にします）。

  60:0,0,0,0,0,4,0,2,4,6,8,10,12,14
120:0,0,0,0,0,1,7,4,8,1,3,5,7,9,11,13,15,17,19
180:0,0,0,0,0,5,7,6,2,6,10,1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23
240:0,0,0,0,0,2,6,7,5,0,4,8,12,1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27
300:0,0,0,0,0,6,6,0,8,5,11,4,8,12,0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30
360:0,0,0,0,0,3,5,1,1,9,5,11,3,7,11,15,1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33
420:0,0,0,0,0,0,4,2,4,3,11,6,12,3,7,11,15,0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24, 26,28,30,32,34,36

はい。
見事に５連続の「空空空空空（０００００）」です。
といいつつ、石４２０個の配置は６連続の「空空空空空空（００００００）」です。

では、６連続の「空空空空空空（００００００）」の先、石４２０個のさらに４２０個増やして、石８４０個の配置を見ましょう。

840:0,0,0,0,0,0,0,3,7,5,9,10,8,3,11,2,8,14,0,4,8,12,16,20,24,1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,39,41,43,45,47,49,51

６連続の「空空空空空空（００００００）」どころか、
７連続の「空空空空空空空（０００００００）」でした。

続・連続して連なる穴々の周期性

まずは落ち着いて。
落ち着いた。
振り返ります。

大穴からみて一番近い穴とその隣接した穴の状態が、

１連続「空（０）」　……　周期２
２連続「空空（００）」　……　周期６
３連続「空空空（０００）」　……　周期１２
４連続「空空空空（００００）」　……　は飛ばして
５連続「空空空空空（０００００）」　……　周期６０
６連続「空空空空空空（００００００）」　……　周期４２０

がわかりました。
この流れから

７連続「空空空空空空空（０００００００）」　……　周期８４０

も推測できます。
これら周期の数字を並べると、

２、６、１２、？？、６０、４２０、８４０

です。
なにか規則性があるのでしょうかね。
それとともに気になるのが、４連続「空空空空（００００）」の場合です。
これは「ない」と考えていいのか……ですが、ほかの考え方があります。

一緒。

４連続「空空空空（００００）」の周期が５連続「空空空空空（０００００）」と周期６０で重なっている、です。
仮として、この考えを受け入れると、

２、６、１２、６０、６０、４２０、８４０

となります。
より奇妙な数列になりました。
では、調べてみましょうか。
このシリーズでは（というか、１回目なので枝分かれ前の話ですが）お馴染みの「オンライン整数列大辞典OEIS（ The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences）」です。

……流石です。
ありました。

A003418「Least common multiple (or LCM) of {1, 2, ..., n} for n >= 1, a(0) = 1.」

1, 1, 2, 6, 12, 60, 60, 420, 840, 2520, 2520, 27720, 27720, 360360, 360360, 360360, 720720, 12252240, 12252240, 232792560, 232792560, 232792560, 232792560, 5354228880, 5354228880, 26771144400, 26771144400, 80313433200, 80313433200, 2329089562800, 2329089562800,……

A003418 - OEIS

A003418は、「１から数えて２、３、…と連続した数字の最小公倍数」です
（実際は、０から（ただし、数列の数字は１とみなして）始まっています）。

たとえば、３連続「空空空（０００）」の周期１２と、A003418では１、２、３、４の最小公倍数にあたる「１２」と一致します。
３連続と、１から４の最小公倍数だと数がズレて具合が悪いのですが、大穴の数も数えて辻褄をあわせましょう。

さて、そうすると。
８連続「空空空空空空空空（００００００００）」が登場する配置は、９連続「空空空空空空空空空（０００００００００）」と重なって、石２５２０個のときにあらわれる、ということです。

本当に？

2520:0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,11,12,4,2,10,15,17,16,12,5,17,6,16,1,9,17,25,4,10,16,22,28,0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40,42,44,46,48,50,52,54,56,58,60,62,64,66,68,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88

ほんまや！

ぜひ、石２５２０個を用意して確かめてみてください。

ちなみに、こうなると１０連続「空空空空空空空空空空（００００００００００）」、１１連続「空空空空空空空空空空空（０００００００００００）」が登場する配置は石２７７２０個になります。

正直、確かめる気、「空空空空空空空空空空空（０００００００００００）です。

締め

第１回目から本編以上に結構なボリュームなnoteとなりました。
石８４０個の配置とか石２５２０個の配置とか、サラッと出しましたけど、「カラハ一人勝ち問題」の数列をあげた表みたいなものは、OEISでも数十項程度で、それ以上となるとネットにもリアルにも転がっていないと思います。

なので、表計算で石２５２０個まで作りました。

番外編の次回は、その話にします。

では。