GPT-4oに東大入試を解かせた結果・・・Part2

１　GPT-4oに解かせた問題

　今回解かせたのは、東京大学令和6(2024)年度第2次学力試験数学（文科）第2問です

東京大学令和6(2024)年度第2次学力試験数学（文科）第２問

２　解かせた結果の概要

・（１）について

　１回目　正解

・（２）について

　１回目　正解

３　各問の詳細

・（１）について

　以下の内容が、GPTが回答したものです。

不等式 $${ 5^n > 10^{19} }$$ を満たす最小の自然数 $${ n }$$ を求めます。

まず、対数を使って解いてみます。両辺の常用対数を取ります：

$${\log_{10}(5^n) > \log_{10}(10^{19})}$$

対数の性質を用いて、左辺を展開します：

$${n \log_{10}(5) > 19}$$

次に、$${\log_{10}(5)}$$の値を確認します。これは約 $${ 0.6990 }$$ です。したがって、

$${n \cdot 0.6990 > 19}$$

この不等式を解くために、両辺を $${ 0.6990 }$$ で割ります：

$${n > \frac{19}{0.6990}}$$

計算を実行します：

$${\frac{19}{0.6990} \approx 27.18}$$

したがって、$${ n }$$ は少なくとも $${ 28 }$$ でなければなりません。最小の自然数 $${ n }$$ は 28 です。

これを確認するために、$${ n = 28 }$$ のとき $${ 5^{28} }$$ の値を計算してみます。

$${5^{28} = (5^7)^4 = 78125^4}$$

これが $${ 10^{19} }$$ より大きいかを確認するため、両方を常用対数で比べます：

$${\log_{10}(5^{28}) = 28 \log_{10}(5) \approx 28 \times 0.6990 = 19.572}$$

$${\log_{10}(10^{19}) = 19}$$

$${\log_{10}(5^{28}) = 19.572 > 19}$$ なので、$${ 5^{28} > 10^{19} }$$ です。

従って、求める最小の自然数 $${ n }$$ は 28 です。

(1)の回答

・（２）について

以下の内容が、GPTが回答したものです。

不等式 $${ 5^m + 4^m > 10^{19} }$$ を満たす最小の自然数 $${ m }$$ を求めます。

まず、両辺の常用対数を取って考えてみます。

$${ 5^m }$$ と $${ 4^m }$$ の両方について常用対数を取ります：

$${\log_{10}(5^m + 4^m)}$$

この値が $${\log_{10}(10^{19}) = 19}$$ より大きくなるようにします。一般的に、片方の項が大きくなるともう片方の項に比べて支配的になるため、まず $${ 5^m > 10^{19} }$$ を考えます。

前回と同様に、$${ 5^m > 10^{19} }$$ の不等式を解きます：

$${m \log_{10}(5) > 19}$$

$${m > \frac{19}{\log_{10}(5)}}$$

ここで、$${\log_{10}(5) \approx 0.6990}$$ なので、

$${m > \frac{19}{0.6990} \approx 27.18}$$

したがって、$${ m }$$ は少なくとも $${ 28 }$$ である必要があります。これで $${ 5^m }$$ は $${ 10^{19} }$$ より大きいことが確認できましたが、これに加えて $${ 4^m }$$ を含む条件を考慮する必要があります。

$${ m = 28 }$$ のとき $${ 4^{28} }$$ がどの程度になるか確認します：

$${4^{28} = (2^2)^{28} = 2^{56}}$$

ここで $${ 2^{10} \approx 10^3 }$$ なので、簡単な近似として：

$${2^{56} = (2^{10})^5 \times 2^6 \approx (10^3)^5 \times 2^6 = 10^{15} \times 64 = 64 \times 10^{15}}$$

$${64 \times 10^{15} \approx 6.4 \times 10^{16}}$$

したがって、 $${ 4^{28} }$$ は $${ 6.4 \times 10^{16} }$$ くらいで、これは $${ 10^{19} }$$ に比べるとまだ小さいですが、無視できない量です。

次に $${ 5^{28} }$$ を計算すると：

$${5^{28} \approx 1.888 \times 10^{19}}$$

ここで $${ 5^{28} + 4^{28} }$$ を考えると：

$${5^{28} + 4^{28} \approx 1.888 \times 10^{19} + 6.4 \times 10^{16} \approx 1.8944 \times 10^{19}}$$

これは $${ 10^{19} }$$ より大きいです。

したがって、求める最小の自然数 $${ m }$$ は 28 であることが確認できます。

(2)の回答

３　考察

　この２問を解くときに、GPT-4oは問題で与えられた常用対数の値を用いずに、自然対数を用いています。
　これは、私がGPT-4oに聞くときに、その聞き方が分からなかったためです。申し訳ありません。

　今回の問題を両方とも１回目で正解しました。
　これはすごい。

　また、（２）では、２数の和$${5^m+4^m}$$の値は、$${m}$$の値が大きくなればなるほど、$${5^m}$$の値に影響されることを述べています。

　ここに私は驚きました。このように式を評価した上で、解く方針を決めることができるのはすごい！！

　最後まで読んでいただき、ありがとうございました！