GPT-4oに東大入試数学2024(理科)【第2問】を解かせた結果
１ GPT-4oに解かせた問題
今回解かせたのは、東京大学令和6(2024)年度第2次学力試験数学（理科）第2問です。
２ 解かせた結果の概要
(1) １回目 正解
(2) １回目 正解
(3) １回目 不正解
↓指摘後
２回目 不正解
↓指摘後
３回目 おおよそ正解
３ 詳細
・（１）について
与えられた関数 $${ f(x) }$$ は次のとおりです：
$${ f(x) = \int_{0}^{1} \frac{|t-x|}{1+t^2} \, dt }$$
ここで、 $${ 0 \leq x \leq 1 }$$ とします。
まず、関数 $${ f(x) }$$ の微分を求めます。まず、絶対値を取り扱いやすくするために、積分範囲を分けます。
$${ |t - x| = \begin{cases}x - t & \text{if } 0 \leq t \leq x \\t - x & \text{if } x < t \leq 1\end{cases} }$$
したがって、 $${ f(x) }$$ は次のように書き換えられます：
$${ f(x) = \int_{0}^{x} \frac{x - t}{1 + t^2} \, dt + \int_{x}^{1} \frac{t - x}{1 + t^2} \, dt }$$
これを分解して計算します。まず、各積分を個別に計算します。
$${ \int_{0}^{x} \frac{x - t}{1 + t^2} \, dt }$$
$${ \int_{0}^{x} \frac{x}{1 + t^2} \, dt - \int_{0}^{x} \frac{t}{1 + t^2} \, dt }$$
$${ = x \int_{0}^{x} \frac{1}{1 + t^2} \, dt - \int_{0}^{x} \frac{t}{1 + t^2} \, dt }$$
$${ = x \left[ \tan^{-1}(t) \right]_{0}^{x} - \left[ \frac{1}{2} \ln(1 + t^2) \right]_{0}^{x} }$$
$${ = x \tan^{-1}(x) - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) }$$
次に、
$${ \int_{x}^{1} \frac{t - x}{1 + t^2} \, dt }$$
$${ \int_{x}^{1} \frac{t}{1 + t^2} \, dt - \int_{x}^{1} \frac{x}{1 + t^2} \, dt }$$
$${ = \left[ \frac{1}{2} \ln(1 + t^2) \right]_{x}^{1} - x \left[ \tan^{-1}(t) \right]_{x}^{1} }$$
$${ = \frac{1}{2} \ln(2) - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) - x \left( \frac{\pi}{4} - \tan^{-1}(x) \right) }$$
$${ = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{2}{1 + x^2} \right) - x \frac{\pi}{4} + x \tan^{-1}(x) }$$
これらを合わせると、
$${ f(x) = x \tan^{-1}(x) - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + \frac{1}{2} \ln \left( \frac{2}{1 + x^2} \right) - x \frac{\pi}{4} + x \tan^{-1}(x) }$$
$${ = 2x \tan^{-1}(x) - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + \frac{1}{2} \ln(2) - x \frac{\pi}{4} }$$
$${ = 2x \tan^{-1}(x) - \ln(1 + x^2) + \frac{1}{2} \ln(2) - x \frac{\pi}{4} }$$
次に、$${ f(x) }$$ を微分して $${ f'(x) }$$ を求めます。
$${ f'(x) = 2 \tan^{-1}(x) + 2x \frac{1}{1 + x^2} - \frac{2x}{1 + x^2} - \frac{\pi}{4} }$$
$${ = 2 \tan^{-1}(x) - \frac{\pi}{4} }$$
次に、 $${ f'(x) = 0 }$$ となる $${ x }$$ を求めます。
$${ 2 \tan^{-1}(x) - \frac{\pi}{4} = 0 }$$
$${ 2 \tan^{-1}(x) = \frac{\pi}{4} }$$
$${ \tan^{-1}(x) = \frac{\pi}{8} }$$
$${ x = \tan \left( \frac{\pi}{8} \right) }$$
したがって、求める $${ \alpha }$$ は $${ \alpha = \frac{\pi}{8} }$$ です。
・（２）について
前の計算で求めた $${\alpha = \frac{\pi}{8}}$$ に対して、$${\tan \alpha}$$ の値を求めます。
$${\alpha = \frac{\pi}{8}}$$ なので、これを代入して計算します。
$${\tan \left( \frac{\pi}{8} \right)}$$
$${\tan \left( \frac{\pi}{8} \right)}$$ の値は、以下の式を使って求めることができます。
$${\tan \left( \frac{\pi}{8} \right) = \sqrt{2} - 1}$$
これは、以下のように導出されます。まず、次の三重角の公式を使います：
$${\tan(3\theta) = \frac{3\tan(\theta) - \tan^3(\theta)}{1 - 3\tan^2(\theta)}}$$
ここで、$${\theta = \frac{\pi}{8}}$$ とすると、
$${3\theta = \frac{3\pi}{8}}$$
さらに、$${\tan \left( \frac{3\pi}{8} \right) = \cot \left( \frac{\pi}{8} \right) = \frac{1}{\tan \left( \frac{\pi}{8} \right)}}$$ であることを用いて、$${\tan \left( \frac{3\pi}{8} \right) = \tan \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8} \right) = \cot \left( \frac{\pi}{8} \right) = \frac{1}{\tan \left( \frac{\pi}{8} \right)}}$$ となります。
したがって、
$${\tan \left( \frac{3\pi}{8} \right) = \frac{1}{\tan \left( \frac{\pi}{8} \right)}}$$
三重角の公式に代入すると、
$${\frac{1}{\tan \left( \frac{\pi}{8} \right)} = \frac{3\tan \left( \frac{\pi}{8} \right) - \tan^3 \left( \frac{\pi}{8} \right)}{1 - 3\tan^2 \left( \frac{\pi}{8} \right)}}$$
ここで、$${\tan \left( \frac{\pi}{8} \right) = t}$$ とおくと、
$${\frac{1}{t} = \frac{3t - t^3}{1 - 3t^2}}$$
両辺を $${t(1 - 3t^2)}$$ で掛けると、
$${1 = 3t^2 - t^4 + 3t - t^3}$$
これを整理すると、
$${t^4 - 3t^2 - t + 1 = 0}$$
この方程式の解の一つが $${t = \tan \left( \frac{\pi}{8} \right) = \sqrt{2} - 1}$$ です。
したがって、求める値は、
$${\tan \left( \frac{\pi}{8} \right) = \sqrt{2} - 1}$$
この回答の中の「三重角」は、「３倍角」のことです。
・（３）について
関数 $${ f(x) }$$ の区間 $${ 0 \leq x \leq 1 }$$ における最小値と最大値を求めます。
$${ f(x) = \int_{0}^{1} \frac{|t-x|}{1+t^2} \, dt }$$
まず、$${ f(x) }$$ の形を再確認します。前回の回答で、次のように分割しました：
$${ f(x) = \int_{0}^{x} \frac{x - t}{1 + t^2} \, dt + \int_{x}^{1} \frac{t - x}{1 + t^2} \, dt }$$
各積分を個別に計算し、再び次のように求めました：
$${ f(x) = 2x \tan^{-1}(x) - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + \frac{1}{2} \ln(2) - x \frac{\pi}{4} }$$
これを用いて $${ f(x) }$$ の最小値と最大値を求めるために、微分 $${ f'(x) }$$ を計算します。
$${ f'(x) = 2 \tan^{-1}(x) + \frac{2x}{1 + x^2} - \frac{2x}{1 + x^2} - \frac{\pi}{4} }$$
$${ f'(x) = 2 \tan^{-1}(x) - \frac{\pi}{4} }$$
この $${ f'(x) = 0 }$$ を解くと、前回求めた $${ \tan^{-1}(x) = \frac{\pi}{8} }$$ から $${ x = \tan \left( \frac{\pi}{8} \right) = \sqrt{2} - 1 }$$ となります。
次に、$${ f(x) }$$ の区間の端点と、この臨界点での値を計算して比較します。
$${f(0) = \int_{0}^{1} \frac{|t|}{1+t^2} \, dt = \int_{0}^{1} \frac{t}{1+t^2} \, dt}$$
これは、以下のように計算できます：
$${\int_{0}^{1} \frac{t}{1+t^2} \, dt = \left[ \frac{1}{2} \ln(1+t^2) \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} \ln(2)}$$
次に、$${ f(1) }$$ を計算します：
$${f(1) = \int_{0}^{1} \frac{|t-1|}{1+t^2} \, dt = \int_{0}^{1} \frac{1-t}{1+t^2} \, dt}$$
$${= \int_{0}^{1} \frac{1}{1+t^2} \, dt - \int_{0}^{1} \frac{t}{1+t^2} \, dt}$$
$${= \left[ \tan^{-1}(t) \right]_{0}^{1} - \left[ \frac{1}{2} \ln(1+t^2) \right]_{0}^{1}}$$
$${= \left( \frac{\pi}{4} - 0 \right) - \left( \frac{1}{2} \ln(2) - 0 \right)}$$
$${= \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln(2)}$$
最後に、臨界点 $${ x = \sqrt{2} - 1 }$$ における値を求めます：
$${x = \sqrt{2} - 1}$$
$${f(\sqrt{2} - 1) = 2(\sqrt{2} - 1) \tan^{-1}(\sqrt{2} - 1) - \frac{1}{2} \ln(1 + (\sqrt{2} - 1)^2) + \frac{1}{2} \ln(2) - (\sqrt{2} - 1) \frac{\pi}{4}}$$
$${= 2(\sqrt{2} - 1) \cdot \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} \ln(2 - \sqrt{2}) + \frac{1}{2} \ln(2) - (\sqrt{2} - 1) \frac{\pi}{4}}$$
$${= (\sqrt{2} - 1) \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln(2 - \sqrt{2}) + \frac{1}{2} \ln(2) - (\sqrt{2} - 1) \frac{\pi}{4}}$$
$${= - \frac{1}{2} \ln(2 - \sqrt{2}) + \frac{1}{2} \ln(2)}$$
ここで、近似値を使用します。
$${\ln(2) \approx 0.693 \quad \text{and} \quad \ln(2 - \sqrt{2}) \approx \ln(0.585) \approx -0.534}$$
$${f(\sqrt{2} - 1) \approx - \frac{1}{2} (-0.534) + \frac{1}{2} (0.693) = 0.267 + 0.3465 = 0.6135}$$
以上の結果を比較すると、
$${f(0) = \frac{1}{2} \ln(2) \approx 0.3465}$$
$${f(1) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln(2) \approx 0.785 - 0.3465 \approx 0.4385}$$
$${f(\sqrt{2} - 1) \approx 0.6135}$$
したがって、区間 $${0 \leq x \leq 1}$$ における最小値は $${f(0) = \frac{1}{2} \ln(2) \approx 0.3465}$$ で、最大値は $${f(\sqrt{2} - 1) \approx 0.6135}$$ です。
この回答では、最大値と最小値の値が間違っています。
なので、次のように指摘しました。
しかし、AIは正しい答えを導くことはできませんでした。
そこで、増減表を作成して考察するように指示しました。
おっしゃる通り、$${ f'(x) }$$ の増減表を作成して、$${ f(x) }$$ の増減を確認すれば、より明確に最小値と最大値を特定できます。増減表を使って関数の挙動を理解する方法を示します。
まず、関数 $${ f(x) }$$ の導関数 $${ f'(x) }$$ を再確認します：
$${ f'(x) = 2 \tan^{-1}(x) - \frac{\pi}{4} }$$
臨界点を求めるために $${ f'(x) = 0 }$$ を解きます：
$${ 2 \tan^{-1}(x) = \frac{\pi}{4} }$$
$${ \tan^{-1}(x) = \frac{\pi}{8} }$$
$${ x = \tan\left(\frac{\pi}{8}\right) = \sqrt{2} - 1 }$$
この点 $${ x = \sqrt{2} - 1 }$$ を含む増減表を作成します。まず、$${ f'(x) }$$ の符号を確認します。
$${f'(x) = 2 \tan^{-1}(x) - \frac{\pi}{4}}$$
増減表のための値：
- $${ 0 \leq x < \sqrt{2} - 1 }$$ では $${ 2 \tan^{-1}(x) < \frac{\pi}{4} }$$ なので、$${ f'(x) < 0 }$$（減少）。
- $${ x = \sqrt{2} - 1 }$$ では $${ f'(x) = 0 }$$（停留点）。
- $${ \sqrt{2} - 1 < x \leq 1 }$$ では $${ 2 \tan^{-1}(x) > \frac{\pi}{4} }$$ なので、$${ f'(x) > 0 }$$（増加）。
これに基づいて増減表を作成します：
この表から、$${ x = \sqrt{2} - 1 }$$ で $${ f(x) }$$ は極小値をとることがわかります。
次に、具体的な最小値と最大値を求めます。
1. $${ f(0) }$$:
$${ f(0) = \frac{1}{2} \ln(2) \approx 0.3465 }$$
2. $${ f(1) }$$:
$${ f(1) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln(2) \approx 0.785 - 0.3465 \approx 0.4385 }$$
3. $${ f(\sqrt{2} - 1) }$$:
$${ f(\sqrt{2} - 1) \approx - \frac{1}{2} \ln(2 - \sqrt{2}) + \frac{1}{2} \ln(2) }$$
正確な計算では、
$${\ln(2 - \sqrt{2}) \approx -0.1344}$$
なので、
$${f(\sqrt{2} - 1) = - \frac{1}{2} (-0.1344) + \frac{1}{2} (0.693) = 0.0672 + 0.3465 = 0.4137}$$
これにより、区間 $${0 \leq x \leq 1}$$ における最小値は $${ f(\sqrt{2} - 1) \approx 0.4137 }$$、最大値は $${ f(1) \approx 0.4385 }$$ です。
この結果から、$${ f(\sqrt{2} - 1) }$$ が最小値であることが確認できました。
これでおおよそ正しい回答が得られました。
４ 考察
・（１）について
AIの回答で、$${x\frac{π}{4}}$$となっている箇所があり、文字式の表し方としての課題点はありますが、絶対値の場合分けができている点は評価すべきでしょう。この点は、高校生は特に嫌がる点ですね。
・（２）について
（２）で、AIは３倍角の公式を使っていました。
実際、我々がこの問題を解くときは、３倍角の公式ではなく、２倍角の公式を使う場合が多いと思います。
なので、図１の吹き出しにあることが気になったので、聞いてみました。
二重角の公式を使って $${\tan \left( \frac{\pi}{8} \right)}$$ を求めることもできます。以下にその方法を示します。
まず、二重角の公式を思い出しましょう：
$${ \tan(2\theta) = \frac{2\tan(\theta)}{1 - \tan^2(\theta)} }$$
ここで、$${\theta = \frac{\pi}{8}}$$ とすると、
$${ 2\theta = \frac{\pi}{4} }$$
したがって、
$${ \tan \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1 }$$
これを二重角の公式に代入すると、
$${ \tan \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{2\tan \left( \frac{\pi}{8} \right)}{1 - \tan^2 \left( \frac{\pi}{8} \right)} }$$
これを簡略化すると、
$${ 1 = \frac{2\tan \left( \frac{\pi}{8} \right)}{1 - \tan^2 \left( \frac{\pi}{8} \right)} }$$
ここで、$${\tan \left( \frac{\pi}{8} \right) = t}$$ とおくと、
$${ 1 = \frac{2t}{1 - t^2} }$$
この方程式を解くために両辺を $${1 - t^2}$$ で掛けると、
$${ 1 - t^2 = 2t }$$
これを整理すると、
$${ t^2 + 2t - 1 = 0 }$$
これは二次方程式なので、解の公式を使って解きます：
$${ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} }$$
ここで、 $${a = 1}$$, $${b = 2}$$, $${c = -1}$$ です。したがって、
$${ t = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} }$$
$${ t = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} }$$
$${ t = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} }$$
$${ t = -1 \pm \sqrt{2} }$$
ここで、$${\tan \left( \frac{\pi}{8} \right)}$$ は正の値なので、
$${ t = \sqrt{2} - 1 }$$
したがって、
$${ \tan \left( \frac{\pi}{8} \right) = \sqrt{2} - 1 }$$
以上のように、二重角の公式を使って $${\tan \left( \frac{\pi}{8} \right)}$$ の値を求めることができました。
２倍角でもできる、ということは分かっているようです。
では、なぜ２倍角の公式を使わなかったか気になったので、聞いてみました。
申し訳ありません、三重角の公式を使った理由について特別な意図はなく、単に三重角の公式を使用する方法を紹介しました。
ご指摘の通り、二重角の公式を使用することで計算量が減り、計算が簡単になります。以降、このような場合には二重角の公式を使用して計算を進めるように心掛けます。
この回答で、「AIに意図がない」というところは面白いですね。知っていることを使っただけで、どれを使うかという判断基準を明確に持ち合わせているわけではないということです。
また、「このような場合には二重角の公式を使用して計算を進めるように心掛けます。」と言っていますが、「このような場合」とは、どんな場合か気になりました。少しいじわるですね💦
でも、聞いてみました。
「このような場合」とは、具体的には次のような角度のケースを指します：
1. **特定の角度の三角関数値を求める場合**：
特定の角度、特に$${\frac{\pi}{8}}$$や$${\frac{\pi}{16}}$$など、標準的な三角関数の表に載っていない角度の値を求める場合です。これらの角度は二重角の公式や半角の公式を用いることで簡単に計算できることがあります。
2. **計算が複雑な場合**：
三重角やそれ以上の角度を扱うときに計算が複雑になる場合です。二重角の公式を使うと計算が簡潔になり、計算ミスが減ります。たとえば、$${\tan \left( \frac{\pi}{8} \right)}$$を求める際に二重角の公式を使うことで、計算のステップが少なくなります。
したがって、「このような場合」とは、二重角の公式を使うことで計算が簡単になり、効率的に正確な結果を得られる角度を扱う場合を指します。具体的には、$${\frac{\pi}{8}}$$、$${\frac{\pi}{16}}$$など、半角を含む角度の値を求める場合です。
この回答から分かる通り、AIが２倍角や３倍角の公式を使うのは、「三角比の表に載っているかどうか」で判断するということです。
われわれ人間（特にこの入試を受ける高校生）は、三角比の表の値をすべて覚えていないです。
なので、$${θ=45°}$$や$${θ=120°}$$などの特別な三角比の値を利用します。
これは人間との違いですね。
・（３）について
AIは$${f'(x)=0}$$を解いて、$${x=\sqrt{2}-1}$$を出して$${f(0),f(1),f(\sqrt{2}-1)}$$の値を比較して、最小値や最大値を求めましたが、不正解でした。
その理由は、$${f(\sqrt{2}-1)}$$の値が間違っていたからです。
人間が解くときは、そのような間違いを防ぐためにも、増減表を作成して関数のグラフの概形を調べます。
増減表の作成ということをAIは考えつかないのはなぜなのでしょうか？
また入試の問題文では、$${\log{2}}$$の値の範囲が与えられていますが、AIはその値を小数第3位まで「知っている」ため使いませんでした。
ここは、AIの強みですね（笑）
最後まで読んでいただき、ありがとうございました。
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