2024年東京大学の数学入試を2通りで解いてみた。

　今回は数学に苦手意識のある方向けにもわかるように書きました（そもそも苦手意識のある人がこの記事読むのだろうか）。解法は自己流なので不足している部分があるかもしれませんが、どうかご了承ください。さて、今回解く問題はこちら。

　以下の問いに答えよ。必要ならば、$${ 0.3 < \log_{10} 2 < 0.31}$$であることを用いてよい。
　(1)$${ 5^n>10^{19} }$$となる最小の自然数nを求めよ。
　(2)$${ 5^m + 4^m > 10^{19} }$$となる最小の自然数mを求めよ。

2024年東京大学文系第2問。

　難易度は対数の基本を理解していればすんなり解けるレベルです。少なくとも難関大を合格するなら確実に取っておきたい問題。

解法1

　対数について少しおさらいすると、対数は計算の難易度を1段階下げる、累乗は掛け算、掛け算は足し算、累乗根は割り算、割り算は引き算になります。
　問題文の$${ 0.3 < \log_{10} 2 < 0.31}$$は、$${10^{0.3}<2<10^{0.31}}$$という意味です。
　　
　さて、$${5=10÷2}$$より、$${ \log_{10} 5}$$の値は$${ \log_{10} 10}$$と$${ \log_{10} 2}$$の差で求められます。

　$${ 0.3 < \log_{10} 2 < 0.31}$$より、$${ 0.69 < \log_{10} 5 < 0.7}$$

　(1)は$${ 5^n>10^{19} }$$となる最小の自然数nでした。

　両辺の対数をとって、$${ n・ \log_{10} 5 >19 }$$（・は掛け算記号）

　19を0.69、0.7で割ったときの整数値はどちらも27。つまりn=28で19より大きくなる。したがって、最小の自然数nは28となります。

　次の解法は僕が最初に思いついた方法です。正直、かなり手間がかかります。(2)は最後に考えます。

解法2

　まずは右辺の$${ 10^{19} }$$を素因数分解します。
　$${ 10^{19} = 2^{19} ・5^{19}}$$
　次に$${ n= 19＋k }$$と置き、$${ 5^k> 2^{19}}$$となるような自然数kを考えます。

　問題文の$${ 0.3 < \log_{10} 2 < 0.31}$$より、対数では累乗の計算は掛け算になるので各数字に19を掛けて、

　$${ 5.7< \log_{10} 2^{19}< 5.89}$$
　よって、$${10^5<2^{19}<10^6}$$

　$${ 10^5= 2^5・ 5^5}$$、$${ 10^{6} = 2^{6} ・ 5^{6}}$$より、両辺を$${2^5}$$で割って、

　$${5^5<2^{14}<2・5^6}$$

　さらに、$${5^3＝125}$$、$${2^7＝128}$$ですから、$${5^6<2^{14}}$$であることがわかります。ということは、不等式の範囲は$${5^5<2^{14}<2・5^6}$$から、

　$${5^6<2^{14}<2・5^6}$$

　まで絞り込むことができました。そして、$${5^2<2^5}$$から$${5^8<2^{19}}$$。$${2^6<5^3}$$より$${2^{20}・2・5^9}$$で両辺を2で割って$${2^{19}<5^9}$$です。まとめると、

　$${5^8<2^{19}<5^9}$$

　したがってkは9となり、nは9＋19=28よりn=28となります。

　一応、備忘録として書きましたが、なぜこんな面倒な解法が出てきたのか自分でも不思議です。それでは(2)を考えましょう。

　(2)は$${ 5^m + 4^m > 10^{19} }$$となる最小の自然数を求める問題でした。
　とりあえず(1)の結果を使って誘導に従いましょう。$${ 5^n>10^{19} }$$となる最小のnが28ですから、$${5^{27}<10^{19}<5^{28}}$$です。

　では、$${5^{27}}$$と$${10^{19}}$$にはどれくらいの差があるのでしょう。

　$${ 0.69 < \log_{10} 5 < 0.7}$$でしたから、各数字に27を掛けて、

　$${ 18.63< \log_{10} 5^{27} < 18.9}$$

　19との差を考慮すると、$${0.1< \log_{10}\frac{10^{19}}{5^{27}}<0.37}$$なので、少なくとも$${ 10^{19}}$$は$${ 5^{27}}$$の$${ 10^{0.1}}$$倍。

　$${ 0.3 < \log_{10} 2 < 0.31}$$より、$${ 10^{0.1}}$$はだいたい$${\sqrt[3]{2}}$$と同じくらいですね。
　$${ 1.2^3=1.728}$$で2より小さいので、$${1.2・5^{27}<10^{19}}$$です。
　これは書き換えると、$${ 5^{27} +0.2・5^{27}< 10^{19} }$$。
　0.2を掛けるのは5で割ることと同じですから、$${ 5^{27} +5^{26}< 10^{19} }$$
を意味しています。あとは、$${ 5^{26}}$$と4の累乗を比較すればよさそうです。

　$${ 17.94< \log_{10} 5^{26} < 18.2}$$であり、$${ 16.2< \log_{10} 4^{27}< 16.74}$$ですから、明らかに、$${ 4^{27}< 5^{26} }$$。

これで、$${ 5^{27} +4^{27}< 10^{19} }$$であることがわかります。
　(1)の結果から、最小のmは28です。

　簡潔に記しましたが、この記事を書くにあたって、ルーズリーフを裏表すべて使って計算しました。いい頭の体操になります。