2022年4月4日：最近読んだ本の備忘

最近読んだ数学の本。
正確には、中学数学を大人が学びなおすことがコンセプトの本。
のんびり読み進めていて、先週読み終わって、とても面白かったから、そこで感じたことなど、思いつくままに書いてみる。

読んだ本はこれ

大人のための中学数学勉強法

大人のための中学数学勉強法　-仕事と生活に役立つ7つのテクニック

なんでこの本を読もうと思ったのか

縁があって、数学教員をやってみないか、と言われたのをきっかけに、それを受けるかは別として、数学を学びなおしてみようかな、と。

もし人に数学を教えるとなったときに、私自身は楽しんで、そして整理してそれを伝えることができるだろうか、と思って、学びなおしてみようと思ったのがきっかけだ。

勉強方法について学ぼうと思って、「中学数学　勉強」で検索してきたときに、この本が出てきて、ブログ等での書評やレビューも良い印象があったから、買って読んでみることにした。

目次を書き写してみる。

それだけで、面白さが伝わってほしい。

■序章 中学数学を勉強する前に知っておきたいこと
大人が中学数学を学ぶ理由
・数学なんて必要ない？
・本当は役立つ中学数学
・大人にはわかる数学を学ぶ意味
・7つのテクニックの役割
・10のアプローチと7つのテクニック
なぜ数学の勉強法を間違ってしまうのか
・算数は結果、数学はプロセス
・掛け算の順序問題はなぜ起きたのか？
・算数は生活能力、数学は解決能力
数学の勉強法ダイジェスト
・暗記をしない
・「なぜ？」を増やす
・意味付けをする
・定理や公式の証明をする
・「聞く→考える→教える」の3ステップ
■第1章[テクニックその１]概念で理解する
概念で理解するには
負の数（中学1年生）
・数に「方向」を考える
・「０」が空（empty）から均衡（balance）に変わる
・絶対値
・負の数の足し算
・小さい数ー大きい数
・負の数の引き算
・3つ以上の正負の足し算
・（ー１）×（ー１）＝＋１になる理由
・負の数の掛け算と割り算
素数（中学３年生）
・数にも「素」がある
・素数に１が含まれない理由
・素因数分解
・公約数は共通の「部品」
・公倍数は「部品」の統合
・最大公約数の「弱い」？
平方根（中学３年生）
・人を殺してしまった数
・平方根
・ルート（根号）
・数の種類
・実体がとらえられない数を概念として理解する
・平方根（無理数）の計算
・平方根を簡単にする

第２章[テクニックその２]本質を見抜く
本質を見抜くには
文字と式（中学１年生）
・具体から抽象への飛翔
・「代数」の誕生
・文字式のルール
・文字を使う目的は「一般化」
・一年後の月齢はわかるのに、天気はわからない理由
式の計算（中学２年生）
・次数との出会い
・次数とは
・次数＝ファクターの数
・次元について
・ドレイクの方程式
多項式（中学３年生）
・因数分解はなぜ重要か？
・多項式の計算
・分配法則
・多項式×多項式
・乗法公式
・因数分解の方法
・なぜ「最低次数の文字について整理する」とよいのか？
・因数分解の実践

第３章[テクニックその３]合理的に解を導く
合理的に解を導くには
一次方程式（中学１年生）
・等式の性質
・０で割ってはいけない理由
・移行で方程式を解く
・正しさは結論にではなく、プロセスにある
連立方程式（中学２年生）
・未知数の数だけ方程式が必要
・代入法
・加減法
２次方程式（中学３年生）
・最も簡単な２次方程式
・平方完成
・解の公式を導く
・２次方程式のもう一つの解き方（因数分解による解法）
・「答えがない」こともある！
方程式の応用（中学１年生～中学３年生）
・ルールを見つけてモデル化する

第４章[テクニックその４]因果関係を抑える
因果関係をおさえるには
比例と反比例（中学1年生）
・比例
・比例のグラフ
・反比例
・反比例のグラフ
・片方しかわからなくても大丈夫
・写像（範囲外）～因果関係が明らかな２つのケース
・関数は函数
・暗号に使われる１対１対応
１次関数（中学２年生）
・比例関係の発展形
・１次関数のグラフが直線になる理由
・２元１次方程式
・線形代数（範囲外）は世界を紐解く基本原理
・線形計画法（応用）
ｙ＝ax^2（中学３年生）
・２次関数の基礎
・２次関数のグラフからわかること
・２次方程式の解のないケースがある理由
・「非線形」の関数も必要
・微分（範囲外）の入り口　～関数の次数

第５章[テクニックその５]情報を増やす
情報を増やす
図形の作図（中学１年生）
・垂直二等分線の作図
・角の二等分線
・方法には原理がある
行と合同（中学２年生）
・平行線の性質
・三角形の合同条件
・効率よく情報を集めるためのチェックリストを持とう
図形の性質（中学２年生）
・分類によって情報を引き出す
・分類の進んだ使い方
円（中学３年生）
・情報量No.1の”美しい”図形
相似（中学３年生）
・比例式が使える図形

第６章［テクニックその６］他人を納得させる
他人を納得させるには
仮定と結論（中学２年生）
・論理の基礎
・ゼノンのパラドックス（範囲外）
・PAC思考法（範囲外）
証明の基礎（中学２・３年生）
・答案で求められていること
・数学のテストは加点法
・証明の書き方
空間図形（中学２年生）
・伝え聞いたことを鵜呑みにしない
・正多面体は５種類しかない理由
三平方の定理（中学３年生）
・深淵なる「論理の森」の入り口
・ピタゴラスの定理が生まれたとき
・証明１（ユーグリッド式）
・証明２（アインシュタイン式）
・有名な直角三角形

第７章［テクニックその７］部分から全体を捉える
部分から全体を捉える
資料の整理（中学１年生）
・度数分布表
・ヒストグラムと度数折れ線
・代表地
・よりよい「代表」を求めて（範囲外）
・偏差値とは何か（範囲外）
確率（中学２年生）
・人間の直感はアテにならない
・同様に確からしいか？
・勘違いその１
・勘違いその２
・勘違いその３
・勘違いその４
標本調査（中学３年生）
・味噌汁の味見が一匙ですむ理由
・全数調査と標本調査
・正規分布（範囲外）
・推定の基礎（範囲外）

終章［総合問題］７つのテクニックはどう使うのか
（省略）
おわりに
「数と式」＆「関数」がメイン
あとは実践あるのみ！
なぜ数学を教えるのか

大人のための中学数学勉強法（永野裕之 著）

目次を全部書き写したけど、これは大丈夫なんだろうか。。。著作権的に。。。

これ、さっき紹介した本の目次ですからね。ちゃんと引用元明記してますからね。

もし問題あったら、遠慮なくいってくださいね。すぐにでも消します。どうぞご容赦ください。

この後は、感動したことを、読み直しながら書いてみたい。

感動したこと（引用だったり、解釈だったり）

数学を通して学ぶもの＋教育について

計算が正確になる能力の価値は下がる
論理的に考える＆自分の頭で考える力、の価値が上がっている
膨大な情報があふれかえる今、次の力が必要

• 独自の視点で

• 本質を見抜き

• 筋道立てて

• 他人に説明できる力

数学を通して、公式や解法の奥にあるモノの捉え方や考え方を学ぶ

教育とは学校で習ったすべてのことを忘れてしまった後に、自分の中に残るものをいう。そしてその力を社会が直面する諸問題の解決に役立たせるべく、自ら考え行動できる人間をつくることである

アインシュタイン

→公式や解き方を忘れたときに、数学で何を学べたかがわかる
「すべてのことを忘れてしまった後に、自分の中に残るもの」

イメージをもって、多角的に、他人に説明できるように、理解をする
→「イメージ」と「再編成」が大切

７つの技法＝数学で学ぶ、モノの捉え方・考え方

• 概念で理解する

• 本質を見抜く

• 合理的に解を導く

• 因果関係をおさえる

• 情報を増やす

• 他人を納得させる

• 部分から全体を考える

数学は、未知の問題を解決する能力を磨く学問
変化の激しい時代、地図は役に立たない。持つべきはコンパス。

暗記はしない。覚えないで済む方法を「考える」
「なぜ」を考える。
意味付けをする。

概念で理解する

• 新しいコンセプトを導入する

• バラバラに分解する

概念を生み出し、概念を深めることで、世界をより理解することができる
無理数・・・実体がとらえられなくても、概念として物事を理解する感覚

コンセプトを拡げて、対象を「部品」に分解。複雑に見えるものがシンプルになる。

本質を見抜く

• 一般化する

• ファクターをあぶり出す

• 情報量の多いほうに注目する

溢れる情報の中から何を選び出し、何を本質を捉えるべきかを知っていることは大切
具体から抽象への飛躍は、本質を抽出する行為。
本質とは、概念である。本質を見抜く＝抽象化＝概念化

ファクター＝次数。自由度。変数は何個あり、それぞれの変数が変わると、どう変化するのか。

具体は損なわれるが、本質的な部分が見えてくる。

合理的に解を導く

• 正しいプロセスを踏む

• ルールを集める

• モデル化する

正しいプロセスを意識するには、同値変形を意識する。
ルールを見つけて、モデル化する

因果関係をおさえる

• １対１対応を見つける

• 「線形」と「非線形」の関係を使いこなす

１対１対応を見抜けば、置き換えが行える。
写像（単射と全射が、１対１対応）。函数とは写像。

情報を増やす

• 方法から原理をさぐる

• 効率のよいチェックリストを持つ

• 分類する

• 似ているものを見つける

幾何的なセンスは、論理思考には必ずしも必要なわけではない。
補助線を引いて、戦略的に情報量を増やす。
分類すれば、共通性質をあぶり出せる。考察につながる。
制約とは、情報量。制約が強いほど、扱う情報量が多い。

他人を納得させる

• 仮定、結論を明示する

• 「ならば」の理由をわかりやすく示す

• 受け売りを言わない

世界を論理によって探求しようとした人たち
論理的な正しさは、圧倒的な説得力を持つ
論理の基礎は「仮定」と「結論」と「前提」
「答えが何か」を答えられることよりも、なぜそう考えられるのかのプロセスを表現できることが大切

真理を導く基本姿勢は「自分で確かめる」こと

部分から全体を考える

• 「代表」を選ぶ

• 直感を頼りにしない

• 偏りなく混ざっているデータを使う

記述統計と推測統計
記述統計は全数調査
分散・・・「平均とのズレ」を捉える
標準偏差…データの散らばり具合を表す
※この辺苦手だから、もう少し調べたいなあ～

全数調査と標本調査
標準正規分布で、推定ができる。

論理力とは「他人の考えが理解でき、自分の考えを他人に理解させる能力」

最後に雑感

いやこれほんと大丈夫なのかな、著作権で怒られたりしないかな・・・。

でも、やってみてすっきりした。

1回読んで感動した気持ちと、何に心が動いたのかを抽出できた気がする。

皆さんもぜひ読んでみてください。

私の中に、数学が残っていてよかった、と感じた。