第７回 Torus-P(n)-Leaperの分類

前回の続きです。

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前回、$${\textrm{Torus-}(a,b)\textrm{-Leaper}}$$が15種類しかないことを確かめました。

命題６.１
$${9\times9}$$の$${\textrm{Torus-}(a,b)\textrm{-Leaper}}$$は下記の15種類である：

$$
\begin{matrix}
L(0,0) & L(0,1) & L(0,2) & L(0,3) & L(0,4) \\
 & L(1,1) & L(1,2) & L(1,3) & L(1,4) \\
 & & L(2,2) & L(2,3) & L(2,4) \\
 & & & L(3,3) & L(3,4) \\
 & & & & L(4,4) \\
\end{matrix}
$$

$${\square}$$

そのため、$${\textrm{Torus-}P(n)\textrm{-Leaper}}$$は上記からいくつか選んだ$${L(a,b)}$$たちの和集合になります。

実際、$${n}$$に対して$${\textrm{Torus-}P(n)\textrm{-Leaper}}$$がどのような駒になるのかを考えます。

以降、$${9\times9}$$の$${\textrm{Torus-}(a,b)\textrm{-Leaper}}$$と$${\textrm{Torus-}P(n)\textrm{-Leaper}}$$をそれぞれ単に$${L(a,b),P(n)}$$と書くことにします。

次の命題の証明では、任意の整数$${m,a,b}$$に対して$${L(a,b)=L(9m\pm{a},b)}$$が成り立つことに注意しましょう。

命題７.１
$${n\in\mathbb{N},a,b\in\mathbb{Z}}$$に対し、下記が成り立つ。

$$
\begin{gather*}
L(a,b)\sub P(n) \\
\Longrightarrow \;ab\equiv\pm{n}\pmod 9
\end{gather*}
$$

（証明）
$${m_1,m_2\in\mathbb{Z}}$$と$${e_1,e_2\in\{-1,1\}}$$が存在して、

$$
n=(9m_1+e_1a)(9m_2+e_2b)
$$

となる。標準写像$${\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}}$$は環準同型写像なので、$${\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}}$$上で

$$
\begin{align*}
n&=e_1a\cdot e_2b \\
  &=(e_1e_2)ab \\
  &=\pm{ab}
\end{align*}
$$

となる。
（証明終わり）

この命題から次の系が直ちに従います。

系７.２
$${n\in\mathbb{N},a,b,c,d\in\mathbb{Z}}$$に対し、下記が成り立つ。

$$
\begin{gather*}
L(a,b)\sub P(n) \text{ かつ } L(c,d)\sub P(n) \\
\Longrightarrow \;ab\equiv\pm{cd}\pmod 9
\end{gather*}
$$

$${\square}$$

これらを使って$${P(n)}$$を分類します。まずは、$${L(a,b)}$$を$${ab\pmod 9}$$で分けてみましょう。

$$
\def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{c|cccccc}
   ab\pmod 9 & & & L(a,b) & & & \\ \hline
   0 & L(0,0) & L(0,1) & L(0,2) & L(0,3) & L(0,4) & L(3,3) \\ \hline
   \pm{1} & L(1,1) & L(2,4) & & & & \\ \hline
   \pm{2} & L(1,2) & L(4,4) & & & & \\ \hline
   \pm{3} & L(1,3) & L(2,3) & L(3,4) & & & \\ \hline
   \pm{4} & L(1,4) & L(2,2) & & & &
\end{array}
$$

また、任意の$${n}$$に対して$${L(1,n)\sub P(n)}$$となります。以上の情報をまとめると、下記が分かります。

定理７.３
$${n}$$を自然数とする。このとき、$${P(n)}$$は下記の通りである。

［０］$${n\equiv0}$$の場合
$${P(n)}$$は下記から有限個を選んだ和集合になる。ただし$${L(0,1)}$$は必ず含む。

$${L(0,0),L(0,1),L(0,2),L(0,3),L(0,4),L(3,3)}$$

［１］$${n\equiv\pm1}$$の場合
下記のいずれかである。

$$
\begin{align*}
P(n)&=L(1,1) \\
P(n)&=L(1,1)+L(2,4)
\end{align*}
$$

［２］$${n\equiv\pm2}$$の場合
下記のいずれかである。

$$
\begin{align*}
P(n)&=L(1,2) \\
P(n)&=L(1,2)+L(4,4)
\end{align*}
$$

［３］$${n\equiv\pm3}$$の場合
下記のいずれかである。

$$
\begin{align*}
P(n)&=L(1,3) \\
P(n)&=L(1,3)+L(2,3) \\
P(n)&=L(1,3)+L(3,4) \\
P(n)&=L(1,3)+L(2,3)+L(3,4)
\end{align*}
$$

［４］$${n\equiv\pm4}$$の場合
下記のいずれかである。

$$
\begin{align*}
P(n)&=L(1,4) \\
P(n)&=L(1,4)+L(2,2)
\end{align*}
$$

$${\square}$$

定理７.３の「下記のいずれかである」を明らかにできれば、$${P(n)}$$の分類は終了です。

定理７.４
$${n}$$を自然数とする。このとき、$${P(n)}$$は下記の通りである。

［０］$${n\equiv0}$$の場合$${(n=9m)}$$

$$
\begin{align*}
&P(n) \\
=\;\;&L(0,1) \\
+\,&\llbracket\; m\,\text{は}\,a\equiv\pm{2}\,\text{なる約数}\,a\,\text{を持つ} \;\rrbracket \;L(0,2) \\
+\,&\llbracket\; m\,\text{は}\,a\equiv\pm{3}\,\text{なる約数}\,a\,\text{を持つ} \;\rrbracket \;L(0,3) \\
+\,&\llbracket\; m\,\text{は}\,a\equiv\pm{4}\,\text{なる約数}\,a\,\text{を持つ} \;\rrbracket \;L(0,4) \\
+\,&\llbracket\; 9\mid{m} \;\rrbracket \;L(0,0) \\
+\,&\llbracket\; 3\nmid{m} \;\rrbracket \;L(3,3)
\end{align*}
$$

ただし、論理式$${\varphi}$$に対し

$$
⟦\varphi⟧ = \begin{cases}
0 & \text{(} \varphi \text{が偽の場合)} \\
1 & \text{(} \varphi \text{が真の場合)}
\end{cases}
$$

とし、集合$${A}$$に対し$${1\cdot A=A,\;0\cdot A=\varnothing}$$とする。

［１］$${n\equiv\pm1}$$の場合

$$
\begin{align*}
&P(n) \\
=\;\;&L(1,1) \\
+\,&\llbracket\; n\,\text{は}\,a\equiv\pm{2}\,\text{なる約数}\,a\,\text{を持つ} \;\rrbracket \;L(2,4)
\end{align*}
$$

［２］$${n\equiv\pm2}$$の場合

$$
\begin{align*}
&P(n) \\
=\;\;&L(1,2) \\
+\,&\llbracket\; n\,\text{は}\,a\equiv\pm{4}\,\text{なる約数}\,a\,\text{を持つ} \;\rrbracket \;L(4,4)
\end{align*}
$$

［３］$${n\equiv\pm3}$$の場合

$$
\begin{align*}
&P(n) \\
=\;\;&L(1,3) \\
+\,&\llbracket\; n\,\text{は}\,a\equiv\pm{2}\,\text{なる約数}\,a\,\text{を持つ} \;\rrbracket \;L(2,3) \\
+\,&\llbracket\; n\,\text{は}\,a\equiv\pm{4}\,\text{なる約数}\,a\,\text{を持つ} \;\rrbracket \;L(3,4)
\end{align*}
$$

［４］$${n\equiv\pm4}$$の場合

$$
\begin{align*}
&P(n) \\
=\;\;&L(1,4) \\
+\,&\llbracket\; n\,\text{は}\,a\equiv\pm{2}\,\text{なる約数}\,a\,\text{を持つ} \;\rrbracket \;L(2,2)
\end{align*}
$$

$${\square}$$

証明は次回にします。

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次回はこちら。