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100回やってわかった!あみだくじのヒミツ

トトロのとなりです。
定期的に皆さんが明日から使える情報、雑学をご提供しております。

1. あみだくじのヒミツ

突然ですが皆さん最近あみだくじってやってますか?
誕生日会やBBQなどイベントでの役割を決めるときや複数の候補から旅行先やお店を決めるとき、順番や席順などを割り振るとき、グループ内でチームを作るときなど様々な場面で昔から活用される " あみだくじ "
当然のことながら、あみだくじで決まったことにはみんな従いますよね。なぜ、みんなあみだくじで決まったことには従うのかといいますと、それはみんながあみだくじを公平だと思っているからです。
私もつい先日、今年の職場の忘年会の幹事をあみだくじで決めて、私が幹事をすることになってしまいました。ついてないですね。

ただこの時にふと、思ったことがあります。

あみだくじってほんとに公平なの?

疑問に思ったら、自分で試して結果を確かめる。それが私の考え方ですので、今回Excel VBAでシミュレーションファイルを作成して、実際にいろいろなパターンであみだくじのヒミツについて調べてみました。

結論から申し上げますと、

あみだくじはとんでもなく不公平

これが、どれだけ不公平かこれから皆さんと共有したいと思います。

さらに今回、最後まで読んでいただいた方限定で、

Excelシミュレーションファイルを特別配布

いたします。お楽しみに。

2. あみだくじのルール

皆さんご存じだとは思いますが、改めてあみだくじのルールを確認しましょう。
1.  参加人数分の縦線と、それぞれの縦線をつなぐ横線を任意の本数引く
2.  参加者は縦線の上端をひとつ選ぶ
3.  参加者は選んだ縦線をたどり、横線にぶつかると横線をたどり、隣り合う縦線へ移動する
4.  3.を繰り返し、下端まで到達したとき、その下端が参加者の結果となる

以上の簡単なルールとなります。
例えば、以下のようなあみだくじだと、3番を選んだ人はCの結果となります。

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場合によっては、アタリが一箇所だったり複数箇所だったり、逆にハズレを選ぶケースもあります。また、特殊なルールだと横線が複数の縦線をまたぐことや、ナナメ線、ループして上に戻る線などがある場合もありますが、今回は話が複雑になるので除外します。

3. 簡単なあみだくじで検証

それでは、実際に簡単なあみだくじで公平性を確認してみたいと思います。
例えば、3人が参加するあみだくじで、1人1本ずつ横線を引いていきアタリを取り合う場合を考えてみます。
この場合ですと、横線が引かれるパターンは全部で以下の8通りとなります。

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この時点で、カンの良い方はお気づきになるかもしれませんが、例えば3人いて9通りのパターンがあると、全員3通りずつアタリのパターンが存在して公平となる可能性がありますが、8通りしかパターンがないとすると、1人だけアタリのパターンが少ない人が存在することになります。
実際に、今回のケースで仮に一番左下がアタリだとすると、各参加者がアタリを引く確率は、

1番:3/8(37.5%)
2番:3/8(37.5%)
3番:2/8(25%)

となり、3番を選んだ人だけ、明らかに損をしています。

4. 得する人損する人

次に、もう少し実践的にするため、4人が参加するあみだくじで、1人2本ずつ横線を引いていきアタリを取り合う場合を考えてみます。
例えば、今回のケースのあみだくじは以下のようになります。

画像3

この場合、全てのパターンを見ていくのは少し面倒なので、今回作成したExcelのシミュレーションファイルで検証してみたいと思います。

※このExcelシミュレーションファイルは最後まで読んでいただいた方限定で配布いたします。

上記の図のように、アタリの箇所を下端の右から2番目の位置として、毎回ランダムに横線を引いて、1~4番の誰が一番多くアタリを引くのか確認しました。

<あみだくじの回数:アタリを引いた人の番号>
あみだくじ1回目:2番
あみだくじ2回目:2番
あみだくじ3回目:3番
あみだくじ4回目:4番
あみだくじ5回目:4番
あみだくじ6回目:4番
あみだくじ7回目:2番
あみだくじ8回目:4番
あみだくじ9回目:3番
あみだくじ10回目:3番

とりあえず、10回あみだくじを実施してみたところ、

1番:0/10(0%)
2番:3/10(30%)
3番:3/10(30%)
4番:4/10(40%)

こんな結果になりました。1番が一回も当たらなかった。笑
これは運が悪いのか、本当に確率的にアタリにくいのか。そして、4番が少し優勢になりましたが、これも運なのか確率なのか。
こちら検証するために、今度は一気に1,000回あみだくじを実施してみたところ...
かなりの驚くべき結果になりました!

結果は...

1番:206/1,000(20.6%)
2番:248/
1,000(24.8%)
3番:249/
1,000(24.9%)
4番:297/1,000(29.7%)

これは、明らかに確率が偏っていますね。アタリの箇所を下端の右から2番目の位置とした場合、1番がアタリにくく、4番がアタリやすいのは間違いなさそうです。さらに、確率の精度を上げるために、10万回あみだくじを実施してみます。
さすがに、あみだくじを10万回やったことがある人は中々いないと思います。笑
以下、結果です

1番:21.9%
2番:
23.6%
3番:
26.4%
4番:28.1%

よって、結論は以下になります。

4人で2本ずつ横線を引いたあみだくじで、アタリの場所が下端の右から2番目の位置と分かっていた場合、
4番を選んだ人が得をし,1番を選んだ人が損をする

もっと結果を詳細に知りたい方のために、以下にExcelで出力された結果と、それをグラフ化したものをお示しします。

画像4

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どうでしょう?皆さん傾向はつかめましたでしょうか?
つまり、自分が選んだ場所の真下かその付近に到達する確率が高くなり、離れたところになるほど、到達する確率がガクンと下がります。

以上を踏まえて、もう少しあみだくじのヒミツに踏み込んで行きたいと思います。

5. 憧れのAさんと同じチームになるには

ここで、あなたがいるグループ内でチームを作るときを考えてみます。
そのグループには、あなたが憧れているAさんがいます。
今回あみだくじを使って、桃、バナナ、りんご、いちご、ぶどうの全5チームの内どこのチームに入るかを振り分けていくことにしました。
先に、Aさんはあみだくじを終えて、いちごのチームに入ったことが分かっています。
さて、次はあなたの番ですが、あなたはなんとかして憧れのAさんと同じチームに入りたいです。あみだくじは次の図ような情報が分かっているもので、横線がどのように引かれているかは分かっていません。すでにBさんとCさんはすでに場所を選んだようで、あなたは残っている①、②、③のいずれかから選ぶことができます。
さて、あなたは何番を選べば、Aさんと同じいちごのチームに入れる確率が高まるでしょうか?また、選んだ場所による確率の差はどの程度なのでしょうか?

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皆さん一つ選びましたか??どれを選べば得するかは、今までのシミュレーション結果を見てきた皆さんなら分かると思います。
それでは、シミュレーションしてみましょう。
まず、隠れている部分の横線が5本の場合を見てみたいと思います。

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10万回シミュレーションした結果、いちごのチームに入る確率はそれぞれ以下のようになりました。

①:12.0%
②:21.4
%
③:32.2
%

③を選ぶのが正解で、①を選んだときよりも約20%、②を選んだときよりも約10%も高い確率で憧れのAさんと同じいちごのチームに入ることができます。

それでは、隠れている部分の横線が先ほどの倍の10本の場合はどうなるでしょうか?

画像8

10万回シミュレーションした結果、いちごのチームに入る確率はそれぞれ以下のようになりました。

①:14.8%
②:20.1
%
③:28.3
%

やはり③を選ぶのが正解で、①を選んだときよりも約13%、②を選んだときよりも約8%高い確率でいちごのチームに入ることができます。
一方、先ほどの例と比べると、それぞれの差が縮まってきたようにも感じます。
どんどん横線を増やして、例えば横線が30本の場合で見てみると、

画像9

10万回シミュレーションの結果、いちごのチームに入る確率は、

①:19.3%
②:19.9
%
③:21.3
%

のようになり、ほとんど大差がなくなってきました。そして、だんだん完全に公平となる1/5(20%)に近づいてきているのも分かると思います。
ちなみに、横線を100本引いたパターンも試してみたころ、どの箇所からスタートしてもいちごのチームに入る確率は19.9~20.1%の間に入り、ほぼ完全に公平となることがわかりました。

つまり、横線部分が隠されている場合は、いずれにしてもアタリの場所の真上か、アタリに近い壁寄りを選ぶとアタリを引ける確率が上がります。
一方、横線の数が多い場合は、どこを選んでも確率は同じになり、完全に公平なくじ引きとなります。

6. 結論と必勝法

【結論】
・横線の数が少ないと、あみだくじは公平にならずに、当たりやすさに差が出る
・自分が選んだ場所の真下かその付近に到達する確率が高くなり、離れるほど確率が下がる
・横線の数が100本を超えてくると、あみだくじは概ね公平になる

【必勝法】
・アタリの場所が分かっているなら、アタリに近い壁寄りを選ぶ。
・あなたが「あみだくじで決めましょう」と提案し、あみだくじの作成者になる。
そのときには横棒は10本くらいに抑えて、有利な状況を作る。
・アタリの場所が分かっていない場合は、平均的な確率を狙って中央を選ぶ。
もしくは、線をもっとたくさん引くように提案する。

7. おわりに

いかがでしたでしょうか?
皆さんが何気なくやっていたあみだくじは、実はかなり不公平な決め方だったことが認識できましたでしょうか。
もしかすると、皆さんの周りにはすでにこのことに気付いていて、皆さんはハメられていた可能性だってあります。
でも大丈夫!これからは皆さんが優位に立てるのは間違いないです!
ぜひ、ご自身でいろいろなパターンでシミュレーションして下さい。

いつか来るあみだくじの日のために


最後に、私が今回のあみだくじのヒミツから得た学びを一言でいうと

世の中には得する人と損する人がいる

みなさん、今日も良い一日を。

8. Excelシミュレーションファイルの配布

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三度の飯より好奇心。皆さんが明日から使える情報、雑学をご提供していきます。読書と化学と数学が大好き。神戸大学出身。
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