#2 この１問！三角形の内角～三角関数の和積変換～

問題

とりあえず，問題を解いてみてくださいね！

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テーマ

三角形の内角の和に関する，等式の証明問題ですね。(1)(2)はともに同様のアプローチです。解ける気がしないようであれば，とりあえず(1)の解説を読んでみて(2)は自力で再チャレンジしてみるのが効率的かもしれません。三角関数の計算が丁寧にできる必要があります。

解答

１つずつの式変形の根拠や考え方を整理しておきましょう。三角形の内角の和に関する問題では，次のアプローチが基本になります。

• $${A+B+C=\pi}$$より

  • １文字消去$${C=\pi-(A+B)}$$

  • １文字減少$${A+B=\pi-C}$$

• 積和・和積変換

そうはいっても１つずつの式変形が難しいですよね。まず式(1)については次のように考えて，三角関数の和を積に変換するとよいでしょう。公式の暗記はお勧めしません！公式を作って当てはめる方法もありますが，公式を作るのであれば，その手順で計算してしまえばよいです。

式(2)は，このタイプの問題としては基本的なアプローチです。２つの角の和があるときは，$${A+B=\pi-C}$$として文字を１つ減らす変形がポイントです。
式(3)は第１項から$${\sin\frac{\pi-C}{2}=\cos\frac{C}{2}}$$と$${\cos\frac{C}{2}}$$が現れるので，第２項も２倍角の公式から$${\sin C=2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2}}$$として$${\cos\frac{C}{2}}$$を作り出しました。
導きたい式と比較すると，式(4)の()の中に$${C}$$は必要ないから，$${C=\pi-(A+B)}$$を代入して$${C}$$を消去しています。
最後の式(6)は加法定理で展開してしまえばおしまいです。

(2)もアプローチは(1)と同じです。考える順番まで同じですね。それでも決して容易ではありません。１式ずつよく確認しておきましょう。

結論も興味深い問題ですね。三角関数の式変形も十分に慣れておく必要があります。何度も繰り返し解いておきたい問題ですね！