数学オリンピックの解説してみる③
マロ：前回の続きです。
マロ：ちなみになんですけど、最初のブログでマロがどんな感じで数学オリンピックの問題を解いたのかを紹介することが目的なので厳密な解説はしてないし、正攻法じゃないものもあるかもしれないから気を付けて！
第5問
$${a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7}$$を相異なる正の整数とする。数列$${a_1,2a_2,3a_3,4a_4,5a_5,6a_6,7a_7}$$が等差数列であるとき、$${|a_7-a_1|}$$としてありうる最小の値を求めよ。ただし、数列$${x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7}$$が等差数列であるとは、$${x_2-x_1=x_3-x_2=\cdots=x_7-x_6}$$となることを言う。
まずこれを見たときに$${a_7}$$が7倍されてるから$${a_7}$$が一番値が小さくなるのかな～って思ったから、$${7a_7-6a_6=6a_6-5a_5}$$から考えていこうかな
とりあえず$${a_6}$$について解くと、$${12a_6=7a_7+5a_5}$$になるから$${a_7=1}$$のときにさっきの式が成り立つ$${a_6,a_5}$$を手当たり次第に代入して探そうかな。その時に相異なる正の整数っていう条件を忘れないようにする！
そしたら、$${a_6=11,a_5=25}$$のとき成り立つ！次に$${6a_6-5a_5=5a_5-4a_4}$$だから、$${10a_5=6a_6+4a_4\hspace{10pt}\therefore5a_5=3a_6+2a_4}$$
$${a_6=11,a_5=25}$$を代入すると、$${2a_4+33=125\hspace{10pt}\therefore a_4=46}$$
同じようにして、$${5a_5-4a_4=4a_4-3a_3}$$だから、$${8a_4=5a_5+3a_3}$$
$${a_5=25,a_4=46}$$を代入すると、$${3a_3+125=368\hspace{10pt}\therefore a_3=81}$$
$${4a_4-3a_3=3a_3-2a_2}$$だから、$${6a_3=4a_4+2a_2\hspace{10pt}\therefore3a_3=2a_4+a_2}$$
$${a_4=46,a_3=81}$$を代入すると、$${a_2+92=243\hspace{10pt}\therefore a_2=151}$$
$${3a_3-2a_2=2a_2-a_1}$$だから、$${4a_2=3a_3+a_1}$$
$${a_3=81,a_2=151}$$を代入すると、$${a_1+243=604\hspace{10pt}\therefore a_1=361}$$
求めたいのは$${|a_7-a_1|}$$だったから、$${a_1=361,a_7=1}$$より
$${|a_7-a_1|＝|1-361|=360}$$
ん～、なんかこの 解法よりももっとすっきりするような解法はあるんだろうけど別にこのやり方でもあまり変な感じはしないんじゃないかな？最初の$${a_6=11,a_5=25}$$を見つけるのと、そのあとの一個づつ値を求めていくのがだるいかな～とは感じるけどね（笑）
まあでもこの問題もあんまり難しい感じではなかったかな？進学校とかで出されたらめんどい！ってなるくらいかな？
やっぱりたくさん時間あるだろうから焦らずに問題に向き合えばいいし、数分考えて解法とかが思いつかなかったら地道にやるのもありだね。
第6問
正六角形が長方形に図のように内接している。灰色の三角形と四角形の面積がそれぞれ20、23であるとき、正六角形の面積を求めよ。
正六角形といえば正三角形が作れるし、円に内接することも考えれば、
こうすると、$${\vartriangle ABC\thicksim\vartriangle DCE\hspace{10pt}(\because二角相当)}$$だし、$${BC:CE=1:\sqrt{3}}$$だから、面積比は$${\vartriangle ABC:\vartriangle DCE=1:3}$$
ちなみに、$${\vartriangle OBC}$$と$${\vartriangle OCE}$$の面積が等しい理由は$${OB=OE}$$だから底辺が等しくて、高さも等しいからで、$${\vartriangle OCE}$$と$${\vartriangle FCE}$$の面積が等しい理由は$${\square OCFE}$$が平行四辺形になっているからだよ。
だから、$${\vartriangle DCE=\vartriangle CFE +\square CDEF = S+23=60\hspace{10pt}\therefore S=37}$$
正六角形の面積は$${6S}$$だから、答えは$${37\times6=222}$$
この問題は補助線を引くのが重要だね。あとはやっぱり正六角形の性質をぜいたくに使うっていうのも大事！
あとはごちゃごちゃしないようにわかる条件を図に書き込むのも大事だね。頭の中で考えて「これじゃ解けないな」って思って条件を忘れちゃうから違うと思っても書き込むほうがいいね。
難易度的にはこれまでの数学オリンピックの問題よりもだいぶ楽なのかな？私立の高校入試とかでも出そうな難易度だけどやっぱり本番の緊張とか焦りとかがあると解法が見えなくなるから数学オリンピックに対する慣れも必要かな。
まとめ
今回の数学オリンピックの問題はここまであまり難しい問題がないから今年はボーダーが8点になったんだろうね。
でも例年より人数が少ないような気がしたから…まあ何かあるんだろうね（笑）
数学オリンピックだからって身構えすぎるとあんまり難しくない問題でも難しく考えちゃって解けなくなるから冷静さを意識するのも大事だね。
そろそろ高校入試も始まるだろうから焦るのもいいけど落ち着きながらひとつづつ課題を解決していくことが大事だね！
最後に
マロ：こんな感じだったけどどうだった？
ミケ：ん～、まだ理解できるけどやっぱり少しづつは難しくなってる？
マロ：そうだね。でもここからまだ難易度があるから頑張ってついてきてね！
ミケ：それはマロの解説次第かな～（笑）
マロ：（笑）それは頑張るよ！
マロ：ちなみにマロが解説できるのが8問目までだから次が最後かな？一応ボーダーまではできる！
ミケ：おぉ、楽しみ！
マロ：よし、じゃあ次はね～…
今回はこれで以上です。間違い等ありましたらコメントで教えてもらえるとありがたいです。感想やコメント、リクエストなど頂けるととてもうれしいです！
byマロ
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