中学数学の問題を解いてみた～オイラー関数～

※一部不具合のため数式が正常に表示されないようです。。

中学校の比例に関する問題です。
中１の問題ですが，結構難しいと思います。
数学が得意な人は，ぜひチャレンジしてみて下さい。
わたしなりの解説も準備してみました。
別解として，オイラー関数を使って解いてみました。

問題
$${xy}$$平面上の$${1≦x≦10,1≦y≦10}$$の部分にある100個の格子点（$${x}$$座標も$${y}$$座標も整数である点）を考える。これらの点と原点Oを結ぶ線分のうち，端点以外に格子点が存在しないものは何本あるか。

thinking time…

解答・解説
$${1≦x≦10,1≦y≦10}$$上の$${y=ax}$$を考えます。

$${y=x}$$を境界として$${0＜a＜1,a＞1}$$は対象形なので，$${a>1}$$のときだけ考えます。

①　$${y=2x}$$のとき，$${(2,4)(3,6)(4,8)(5,10)}$$
②　$${y=3x}$$のとき，$${(2,6)(4,8)}$$
③　$${y=4x}$$のとき，$${(2,8)}$$
➃　$${y=5x}$$のとき，$${(2,10)}$$
➄　$${y=\dfrac{3}{2}x}$$のとき，$${(4,6)(6,9)}$$
⑥　$${y=\dfrac{5}{2}x}$$のとき，$${(4,10)}$$
⑦　$${y=\dfrac{4}{3}x}$$のとき，$${(6,8)}$$
⑧　$${y=\dfrac{5}{3}x}$$のとき，$${(6,10)}$$
⑨　$${y=\dfrac{5}{4}x}$$のとき，$${(8,10)}$$

$${a>1}$$のとき14個あるので，$${0<a<1}$$のときも14個あります。
また，$${a=1}$$のときは$${(2,2),(3,3)…(10,10)}$$の9つあるので，
全部で$${14×2+9=37}$$個あります。
よって，$${100-37=63}$$個となります。
答え$${\underline{63個}}$$

ちょっと面倒なので，オイラー関数を使って一撃で答えを出してみます。

別解
格子点について傾きを考えると，$${0<a<1}$$の場合，
$${\left[\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{2}\right],\left[\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3},\dfrac{3}{3}\right],\left[\dfrac{1}{4},\dfrac{2}{4},\dfrac{3}{4},\dfrac{4}{4}\right],…\left[\dfrac{1}{10},\dfrac{2}{10},\dfrac{3}{10},\dfrac{4}{10},\dfrac{5}{10},\dfrac{6}{10},\dfrac{7}{10},\dfrac{8}{10},\dfrac{9}{10},\dfrac{10}{10},\right]}$$となるので，該当する部分だけを割合で出します。

よって，
$${2×\dfrac{1}{2}+3×\dfrac{2}{3}+4×\dfrac{2}{4}+5×\dfrac{4}{5}+6×\dfrac{2}{6}+7×\dfrac{6}{7}+8×\dfrac{4}{8}+9×\dfrac{6}{9}+10×\dfrac{4}{10}=31}$$

$${(1,1)}$$は対称形に含まれないので，忘れずに数えます。

つまり，$${31×2+1=63}$$個になりますね。

オイラー関数は難しそうなイメージがありますが，全体に対する割合を考えているだけです。
ですので，中学生であれば利用できると思います。
便利なので覚えておくといいですね。

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