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中学数学の問題を解いてみた~素因数分解~
※一部不具合のため数式が正常に表示されないようです。。
中学校の素因数分解に関する問題です。
中1の問題ですが,結構難しいと思います。
数学が得意な人は,ぜひチャレンジしてみて下さい。
問題
120以下の自然数のうち,その数を2乗して120で割った余りが1であるような自然数はいくつあるか。
thinking time…
解答・解説
まず,$${120=2^3×3×5}$$とします。
つまり,8で割っても,3で割っても,5で割っても余りが1なので,ある数を$${n}$$にしてそれぞれを調べてみます。
また,$${2×3×5=30}$$が1周期なので,1から30までを調べればいいことになります。
①8で割ったら余りが1になる
$${n^2}$$を8で割って余りが1ということは,$${n}$$は奇数ですね。
つまり,$${n=1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29}$$のどれか。
②3で割ったら余りが1になる
$${n^2}$$を3で割ると余りは0か1にしかならないので,余りが0になるものを外します。
$${n=1,5,7,11,13,17,19,23,25,29}$$のどれか。
③5で割ったら余りが1になる
$${n^2}$$を5で割ると余りは0か1か4になるので,余りが0か4になるものを外します。
$${n=1,11,19,29}$$の4つ。
120÷30=4周期あるので,4×4=16個
答え$${\underline{16個}}$$
ちなみに,$${n^2}$$を3で割ると,余りは0か1にしかならない。
ですが,実験すると分かると思います。
以下,式の省略のため合同式を利用します。
$${1^2≡1(mod3)}$$
$${3^2≡0}$$ ※以下mod3は省略します。
$${5^2≡1}$$
$${7^2≡1}$$
$${9^2≡0}$$ …
同様に,$${n^2}$$を5で割ると,余りは0か1か4になる。
も実験してみます。
$${1^2≡1(mod5)}$$
$${3^2≡4}$$ ※以下mod5は省略します。
$${5^2≡0}$$
$${7^2≡4}$$
$${9^2≡1}$$ …
また,$${2×3×5=30}$$がどうして周期になるのかというと,数というのは最低限の素因数があれば成り立つからですね。
例えば,12の場合,最低限2と3がなければ成り立ちませんので,周期は$${2×3=6}$$となるわけです。
120の場合は,最低限2と3と5が必要だったというわけです。
落ち着いて一つずつ丁寧に書き出せば,答えに辿り着けそうですね。
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