中学数学の問題を解いてみた～素因数分解～

※一部不具合のため数式が正常に表示されないようです。。

中学校の素因数分解に関する問題です。
中１の問題ですが，結構難しいと思います。
数学が得意な人は，ぜひチャレンジしてみて下さい。

問題
120以下の自然数のうち，その数を2乗して120で割った余りが1であるような自然数はいくつあるか。

thinking time…

解答・解説
まず，$${120=2^3×3×5}$$とします。
つまり，8で割っても，3で割っても，5で割っても余りが1なので，ある数を$${n}$$にしてそれぞれを調べてみます。
また，$${2×3×5=30}$$が1周期なので，1から30までを調べればいいことになります。

①8で割ったら余りが1になる
$${n^2}$$を8で割って余りが1ということは，$${n}$$は奇数ですね。
つまり，$${n=1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29}$$のどれか。

②3で割ったら余りが1になる
$${n^2}$$を3で割ると余りは0か1にしかならないので，余りが0になるものを外します。
$${n=1,5,7,11,13,17,19,23,25,29}$$のどれか。

③5で割ったら余りが1になる
$${n^2}$$を5で割ると余りは0か1か4になるので，余りが0か4になるものを外します。
$${n=1,11,19,29}$$の4つ。

120÷30＝4周期あるので，4×4＝16個
答え$${\underline{16個}}$$

ちなみに，$${n^2}$$を3で割ると，余りは0か1にしかならない。
ですが，実験すると分かると思います。
以下，式の省略のため合同式を利用します。
$${1^2≡1(mod3)}$$
$${3^2≡0}$$　※以下mod3は省略します。
$${5^2≡1}$$
$${7^2≡1}$$
$${9^2≡0}$$　…

同様に，$${n^2}$$を5で割ると，余りは0か1か4になる。
も実験してみます。
$${1^2≡1(mod5)}$$
$${3^2≡4}$$　※以下mod5は省略します。
$${5^2≡0}$$
$${7^2≡4}$$
$${9^2≡1}$$　…

また，$${2×3×5=30}$$がどうして周期になるのかというと，数というのは最低限の素因数があれば成り立つからですね。
例えば，12の場合，最低限2と3がなければ成り立ちませんので，周期は$${2×3=6}$$となるわけです。
120の場合は，最低限2と3と5が必要だったというわけです。

落ち着いて一つずつ丁寧に書き出せば，答えに辿り着けそうですね。

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