【解説】積分せずに時間短縮｜東京大学 文系数学大問４（2018年）
こんにちは。数学講師ごとうです。
今日はちょっとした「時短テクニック」と「面積に対する面白い考え方」を紹介できればと思い、2018年の東京大学 文系数学 大問４の解説をします。
問題
放物線ｙ＝ｘ2のうち、−１≦ｘ≦１をみたす部分をＣとする。座標平面上の原点Ｏと点Ａ（1,0）を考える。点ＰがＣの上を動き、点Ｒが線分ＯＡ上を動くとき
をみたす点Ｓが動く領域を座標平面上に図示し、その面積を求めよ。
解答
点Ｓが動く領域を図示すると、次のようになります。
この領域の面積を求めるとき、ちょっとした面白い話があります。普通に頑張って積分しても答えは出せるのですが、けっこう面倒です・・・。
そこで、次のように考えます。
この３つの図形を左からＡ、Ｂ、Ｃと呼ぶこととします。
このうちＡとＢの横幅の長さは１で一定です。このことを利用すると、答えがパッと出せ、時間短縮テクニックになります。
積分しなくてもいい
唐突ですが、平行四辺形の求め方は３つあります。３つとも、列挙できますか？
答えはこの３つです。
①平行四辺形を２つの三角形とみる。
②平行四辺形のカドを切り離して反対側にくっつけて長方形にする。
③平行四辺形を多数の短冊の集まりとみたうえで、それを長方形の形に配置する。
このうち、最後の方法を東大の問題に適用してみます。
ＡとＢの横幅の長さは１で一定であるため、平行四辺形の面積の求め方が使えるのです。
イメージするのであれば、図Ａと図Ｂの左側に壁がくるようにして、右側から左方向へ押してみてください。
ＡもＢも横の長さが１で高さが２の長方形になります。
（Ｃは普通に積分するしか手はありませんが・・。）
面積に対するちょっとした理解の違いが、計算量の大きな違いを生む面白い１問です。この内容自体は人によっては小学校で習っているかもしれませんが、「まさかこのようなタイミングで使えるとは・・！」と思わされる問題です。
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■自己紹介
■国公立大学の数学問題を、思考法を含めて解説しています。
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