環論道具箱ダイジェスト（11～20回）

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第11回　環の同型

環の同型を「（準同型の中に）逆をもつ準同型」として定義し，実は「全単射である準同型」でよいことを示します．

第12回　準同型の核

環の同型を「準同型かつ全射かつ単射」と考えるとき，単射性を測る尺度といえる準同型の核を紹介します．

第13回　準同型の計算

準同型の例を計算します．

第14回　イデアル

準同型の核がもつ性質を抽出して，「どんな部分集合が準同型の核となりうるか？」に応えるべくイデアルを定義します．

第15回　単項イデアル

最も基本的なイデアルの例として単項イデアルを導入し，整数環$${\mathbb{Z}}$$のイデアルがすべて単項イデアルであることを示します．

第16回　イデアルと可逆元

（単項）イデアルが環全体に一致する条件を「可逆元を含む」として特徴づけ，特別な環である体を定義します．

第17回　イデアルの交叉

イデアルの交叉がイデアルになること，イデアルの合併は必ずしもイデアルにならないことを紹介します．

第18回　イデアルの生成系

イデアルの生成系を定義します．カギとなるのは「与えられた部分集合を包む最小のイデアルが存在すること」です．

第19回　イデアルの和

イデアルの和を導入します．有限ならばさほど問題はないですが，無限和は少し注意が必要です．

第20回　部分環

イデアルとは異なる重要な部分集合である部分環を，１を含み，加法及び乗法について閉じているものと定義します．