ナビエ-ストークス方程式の初等的弱解の存在と滑らかさと一意性

(2024年5月2日 最終改訂)
この記事は「数学的予想」として書いています. ナビエ-ストークス方程式の, 半群理論やアプリオリ評価を使わない「初等的な理論の構築への挑戦」です. ご意見やご質問は MasatoshiOhrui1993@gmail.com で承ります. 共に研究して下さる方を募集しています.

少し書き方が違う英語版はこちら:

論文はこちら:
https://vixra.org/abs/2404.0119

直観的議論

ルレイ-ホップの弱解では未解決であった弱解の一意性と滑らかさを考えた. 長い計算も複雑な計算も無く, 発展方程式の理論は全く用いていない, という意味で初等的な議論を考えた. 解の存在は実は既知であり, 既にある証明は, とてもすばらしい. 例えば, 藤田-加藤理論, 柴田理論: 小川卓克(Takayoshi Ogawa)『非線型発展方程式の実解析的方法』[26]278ページ-281ページ, 柴田良弘(Yoshihiro Shibata)『流体数学の基礎下』[22]29ページ-41ページ, 柴田良弘-久保隆徹(Yoshihiro Shibata-Takayuki Kubo)『非線形偏微分方程式』[24]184ページ-204ページ, 垣田高夫-柴田良弘(Takao Kakita-Yoshihiro Shibata)[3]『ベクトル解析から流体へ』234ページ-263ページ, 岡本久(Hisashi Okamoto)『ナヴィエ-ストークス方程式の数理』[20] 220ページ-235ページ. しかし初等的ではないと考えている. また, 私は複雑な計算が苦手なので, なんとかあまり計算せずに解の存在が言えないか, 具体的には 『台がコンパクトな超関数の基本定理』

「$${\mathbb{R}^N}$$上の任意の定数係数線型偏微分作用素$${L}$$の基本解, すなわち $${LE=\delta}$$を満たす$${E \in \mathcal{D}^{\prime}}$$を取ると, 台がコンパクトな超関数$${\, f \in \mathcal{E}^{\prime}}$$または台がコンパクトな$${C^{\infty}}$$-級関数$${\, f \in C_0^{\infty}}$$について, 方程式 $${Lu=f}$$の解$${u}$$のひとつは$${u=E * f \in \mathcal{D}^{\prime}}$$または$${u=E * f \in C^{\infty}}$$で与えられる.

ここで$${\, f \in \mathcal{E}^{\prime}}$$ならば
$${\langle E*f, \varphi \rangle = \langle E(x), \langle \,f(y), \varphi(x+y) \rangle \rangle,}$$

$${\, f \in C_0^{\infty}}$$ならば
$${(E*f)(x)=\langle E(y), f(x-y) \rangle}$$」

を用いて解の存在が言えないか, 試行錯誤していた.

実解析や『台がコンパクトな超関数の基本定理』の応用として考えた.

方針は, ナビエ-ストークス方程式 $${\begin{cases}\partial_t u -\Delta u=f - \nabla \mathfrak{p}-(u \cdot \nabla)u\\\mathrm{div}\,u=0 \end{cases}}$$

において$${L}$$を熱作用素$${\partial_t-\Delta}$$とし, 圧力$${\mathfrak{p}}$$を消去し非線型項$${(u \cdot \nabla)u}$$を台がコンパクトで滑らかな関数の列で近似し, 外力$${\,f}$$と近似項の差に基本定理を使い, ソボレフ空間において極限を取ったものが解となることを示すことである.

『台がコンパクトな超関数の基本定理』は通常『定数係数線型偏微分作用素の局所可解性』と呼ばれるが, 今は大域的な話なので, こう呼んでいる.

[記号の定義]
後の都合上, ベクトルの成分の添え字を右上に書く.「関数空間」「空間」は(関数の成す)「線型位相空間」の略, 圧力$${\mathfrak{p}}$$以外の(超)関数は$${\mathbb{R}^3}$$-値とする. 通常の関数空間のノルムにおける関数の絶対値を, $${\mathbb{R}^3}$$-値関数の空間のノルムにおいては数ベクトルの長さ($${\mathbb{R}^3}$$の絶対値)と解釈する. 実数値関数の空間と$${\mathbb{R}^3}$$-値関数の空間を, 記号を簡単にするため同じ記号で書く. $${\Omega}$$を$${\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3}$$の滑らかな境界を持つ有界開集合で任意の$${(0, y)}$$の形の点に対してその或る近傍と交わらないもの, $${t_0=\inf\{s\in\mathbb{R}:\exists{y}\in\mathbb{R}^3, (s, y)\in\overline{\Omega}\}}$$, $${|\Omega|}$$をそのルベーグ測度とする. $${\chi_{\Omega}}$$を$${\Omega}$$上の特性関数とする. 任意の自然数$${m \gt \max\{0+4/1, 0+4/2\}=4}$$, $${p=1, 2}$$に対して$${V_{\sigma}^{m, p}(\Omega)=\{ u \in C^{\infty}(\Omega) : \|u\|_{W^{m, p}(\Omega)} \lt {\infty},\mathrm{div}\,u=0 \},}$$ $${W_{\sigma}^{m, p}(\Omega)}$$は$${V_{\sigma}^{m, p}}$$の$${W^{m, p}(\Omega)}$$-ノルムによる完備化で定義されたソボレフ空間:$${W_{\sigma}^{m, p}(\Omega)=\overline{V_{\sigma}^{m, p}(\Omega)}^{\| \cdot \|_{W^{m, p}(\Omega)}}}$$とする. $${P:L^2(\Omega)\to L^2_\sigma(\Omega)}$$を射影とする. $${\mathcal{D}(\Omega)}$$は試験関数の空間(集合としては$${C_{0}^{\infty}(\Omega)}$$), $${\mathcal{D}_\sigma(\Omega)}$$は空間変数について発散がゼロであるような試験関数$${\varphi}$$の成す空間とする([補足1]参照). $${C^{k, \varepsilon}(\overline{\Omega})}$$はヘルダー空間とする.

[初等的弱解の存在]
任意の$${\, f \in C^\infty}$$に対して, 関数$${(u, \mathfrak{p})}$$で, 次の意味でナビエ-ストークス方程式の弱解となるものが存在する: $${u(t_0, x)}$$は$${\Omega_0=\{(t, x)\in\overline{\Omega}:t=t_0\}}$$において有界であり任意の自然数$${m \gt 4}$$に対して, $${u \in W_{\sigma}^{m, 1}(\Omega)\cap W_{\sigma}^{m, 2}(\Omega),}$$ $${\mathfrak{p}\in L_{\mathrm{loc}}^2(\Omega)}$$. $${\partial_t - \Delta}$$の基本解を$${E}$$とする. すなわち$${\mathbb{R}^3}$$-値超関数の意味で
$${(\partial_t - \Delta)E(t, x)=\delta(t, x) = \delta(t) \otimes \delta(x)}$$
とするとき
$${u(t, x)=\int_{\mathbb{R}\times \mathbb{R}^3} E(s, y) \, \chi_{\Omega}(t-s, x-y)(\,Pf(t-s, x-y) - P((u\cdot \nabla)u)(t-s, x-y))dsdy,}$$

任意の$${\varphi \in \mathcal{D}_\sigma(\Omega)}$$に対して,
$${\langle \partial_t u + (u \cdot \nabla)u - \Delta u + \nabla \mathfrak{p} - f, \varphi \rangle =0,}$$
任意の$${\varphi\in\mathcal{D}(\Omega)}$$に対して
$${\langle \mathrm{div}\,u,\varphi\rangle =0.}$$
ただし$${(u \cdot \nabla)u^i=\sum_{j=1}^3 u^j \partial_{x^j} u^i,}$$

$${\langle w, \varphi \rangle = (w, \varphi)_{L^2(\Omega)}}$$
$${=\int_{\Omega} \sum_{i=1}^{3} w^{i}(t, x)\varphi^{i}(t, x)dtdx}$$
$${=\int_{\Omega} w(t, x) \cdot \varphi(t, x)dtdx}$$
$${(w=(w^1, w^2, w^3), \varphi=(\varphi^1, \varphi^2, \varphi^3))}$$である.

$${\, f \neq 0}$$ならば$${u \neq 0}$$となる$${u}$$が存在する. $${\Omega}$$は任意に大きく取れるから$${u, \mathfrak{p}}$$は時間大域的である.

一般にバナッハ空間$${X, Y}$$に対して位相空間として$${X, Y \subset Z}$$となる線型ハウスドルフ空間$${Z}$$が存在するとき$${X\cap Y}$$はバナッハ空間でノルムが$${\|u\|_X+\|u\|_Y}$$または$${\max\{\|u\|_X, \|u\|_Y\}}$$で定義されている. $${\max\{\|u\|_X, \|u\|_Y\}\le \|u\|_X+\|u\|_Y \le 2\max\{\|u\|_X, \|u\|_Y\}}$$だからこれらは同値である.

[直観的証明]
任意の$${\varphi\in\mathcal{D}_\sigma(\Omega)}$$に対して$${\mathrm{div}(\varphi)=0}$$だから部分積分により
$${\langle \nabla\mathfrak{p}, \varphi\rangle}$$
$${=\int_{\Omega} \sum_{i=1}^{3} (\nabla\mathfrak{p})^i(t, x)\varphi^i(t, x)dtdx}$$
$${=-\int_{\Omega}\mathfrak{p}(t, x)\mathrm{div}(\varphi)(t, x)dtdx=0.}$$

ゆえに後に述べる$${u, \partial_{x^j}u}$$の有界性と$${|\Omega|\lt\infty}$$より$${(u\cdot\nabla)u\in L^2(\Omega)}$$であるからヘルムホルツ分解により
$${f=Pf+\nabla\mathfrak{f}, (u\cdot\nabla)u=P((u\cdot\nabla)u)+\nabla\mathfrak{u}}$$
とすると
$${\langle f, \varphi\rangle = \langle Pf, \varphi\rangle, \langle (u\cdot\nabla)u, \varphi\rangle =\langle P((u\cdot\nabla)u), \varphi\rangle}$$
だから
(N-S)' $${\partial_t u - \Delta u= f -(u \cdot \nabla)u\,\mathrm{in}\, \mathcal{D}'_\sigma(\Omega)}$$
の解の存在を示す. $${\partial_t - \Delta}$$の基本解を$${E}$$とする. すなわち$${\mathbb{R}^3}$$-値超関数の意味で
$${(\partial_t - \Delta)E(t, x)=\delta(t, x) = \delta(t) \otimes \delta(x)}$$
とする.
$${E^{i}(t, x)=\begin{cases} \frac{1}{\sqrt{4 \pi t}^3} e^{-\frac{|x|^2}{4t}} & (t \gt 0) \\ 0 & (t \le 0) \end{cases}}$$
は局所可積分であり, $${\langle \delta(t) \otimes \delta(x), \varphi(t, x) \rangle = \langle \delta(t), \langle \delta(x), \varphi(t, x) \rangle \rangle = \varphi(0, 0)}$$ (垣田高夫『シュワルツ超関数入門』[16]163ページ-167ページ). ところで, $${W_{\sigma}^{m, p}(\Omega)}$$は完備化であったから, 任意の$${\{u_n\} \subset V_{\sigma}^{m, p}(\Omega)}$$で, $${\lim_{n,{n'} \to \infty}\|u_n - u_{n'} \|_{W^{m, p}(\Omega)}=0, \lim_{n,{n'} \to \infty}\|E*\chi_{\Omega}P((u_n\cdot\nabla)u_n)- E*\chi_{\Omega}P((u_{n'}\cdot\nabla)u_{n'}) \|_{W^{m-1, p}(\Omega)}=0}$$であるものに対して, 或る$${u \in W_{\sigma}^{m, p}(\Omega)}$$が存在して, $${\lim_{n \to \infty}\|u_n - u\|_{W^{m, p}(\Omega)}=0,\lim_{n \to \infty}\|E*\chi_{\Omega}P((u_n\cdot\nabla)u_n) - E*\chi_{\Omega}P((u\cdot\nabla)u) \|_{W^{m-1, p}(\Omega)}=0}$$である.

$${u}$$は$${\mathcal{D}'(\Omega)}$$に属する超関数の意味で$${\mathrm{div}\,u=0}$$を満たす([28]参照). すなわち任意の$${\varphi\in\mathcal{D}(\Omega)}$$に対して$${\langle\mathrm{div}\,u, \varphi\rangle=-\sum_{j=1}^3\langle u^j, \partial_{x^j}\varphi\rangle=0}$$.

$${f -(u_n \cdot \nabla)u_n \in L_{\mathrm{loc}}^{1}}$$である. そこで『台がコンパクトな超関数の基本定理』により近似方程式
(N-S)'' $${\partial_t v_{n} - \Delta v_{n} =Pf-P((u_n \cdot \nabla)u_n)}$$
の$${\Omega}$$上の解
$${v_n=E * \chi_{\Omega}( \, Pf -P((u_n \cdot \nabla)u_n)) \in V_\sigma^{m-1, p}(\Omega)}$$
の存在が言える.

従って(N-S)''の解
$${v_{n}(t, x)=\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3} E(s, y) \, \chi_{\Omega}(t-s, x-y)(\, Pf(t-s, x-y) -P((u_n \cdot \nabla)u_n)(t-s, x-y))dsdy\, .}$$
$${\{u_n\}}$$の取り方は任意だからコーシー列$${\{v_n\}}$$の極限$${v}$$と$${\{u_n\}}$$の極限$${u}$$が一致するように$${\{u_n\}}$$を取る. これは後ほど正当化される. $${u=v}$$が(N-S)'の解であることを示す:

$${v_{n}(t, x)}$$
$${=\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3} E(s, y) \, \chi_{\Omega}(t-s, x-y)(\,Pf(t-s, x-y)-P((u_n \cdot \nabla)u_n)(t-s, x-y))dsdy,}$$
$${u_n \to u=v \gets v_n.}$$
 
$${\partial_t v_{n} (t, x)- \Delta v_{n} (t, x)}$$
$${= \langle(\partial_t E(t-s, x-y) - \Delta E(t-s, x-y)),\chi_{\Omega}(s, y)(Pf(s, y)-P((u_n \cdot \nabla)u_n)(s, y))\rangle}$$
$${=\langle \delta(\tau) \otimes \delta(z), \,\chi_{\Omega}(t-\tau, x-z)( Pf(t-\tau, x-z)-P((u_n \cdot \nabla)u_n)(t-\tau, x-z)) \rangle}$$
$${=Pf(t, x)-P((u_n \cdot \nabla)u_n)(t, x).}$$

ゆえに上の計算と, 熱作用素の$${\mathcal{D}'_\sigma(\Omega)}$$における連続性 $${|\langle \partial_t v_{n} - \Delta v_{n}, \varphi \rangle - \langle \partial_t u - \Delta u, \varphi \rangle|\to 0}$$, $${\|P\|=1}$$, 関数の積 $${L^2(\Omega)\times L^2(\Omega) \ni (u, v) \mapsto uv \in L^1(\Omega)}$$ が連続であること([補足2]参照)により
$${| \int_{\Omega} (P((u_n \cdot \nabla)u_n)(t, x)}$$
$${-P((u \cdot \nabla)u)(t, x))) \cdot\varphi(t, x) dtdx |}$$
$${\le \|((u_n \cdot \nabla)u_n)(t, x)-((u \cdot \nabla)u)(t, x)\|_{L^1(\Omega)}\| \varphi(t, x) \|_{L^\infty(\Omega)}\to 0\,(n \to \infty)}$$ を合わせることで
$${\partial_t u - \Delta u =Pf-P((u \cdot \nabla)u)}$$
が成り立つから,
$${u(t, x)=\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3} E(s, y) \,\chi_{\Omega}(t-s, x-y) (\,Pf(t-s, x-y)-P((u \cdot \nabla)u)(t-s, x-y))dsdy}$$

が(N-S)'の$${\mathcal{D}_\sigma'(\Omega)}$$における超関数の意味での解であることが示された([補足3]参照).

" $${\varphi\in\mathcal{D}_\sigma(\Omega)\Rightarrow\langle U, \varphi\rangle =0}$$ "
$${\iff}$$
" 或る$${\mathfrak{p}}$$が存在して$${U=\nabla\mathfrak{p}}$$ "
であるから([14]参照), $${\partial_t u + (u \cdot \nabla)u - \Delta u - f=-\nabla \mathfrak{p}}$$を満たす$${\mathfrak{p}}$$が存在する.

$${u(t, x)\in W^{m, p}(\Omega)\subset C^{(m-4/p)-1, \varepsilon}(\overline{\Omega})}$$
であり, 関数が$${(t, x)}$$の関数として有界ならば$${x}$$の関数としても有界だから$${u(t_0, x)}$$は有界である.
(END)

[初等的弱解の滑らかさ]
解$${(u, \mathfrak{p})}$$は$${C^{\infty}}$$-級である.

[証明]
$${m}$$は任意に大きく取れるから, ヘルダー空間への埋蔵定理([18]定理6.12)
「$${\mathbb{N}\ni m-4/p\gt 0}$$
ならば任意の$${{\varepsilon}\in (0, 1)}$$に対して
$${W^{m, p}(\Omega)\subset C^{(m-4/p)-1, \varepsilon}(\overline{\Omega})}$$」
より適当な代表元が存在するという意味で$${u}$$は$${\overline{\Omega}}$$上で有界かつ$${C^\infty}$$-級である.

$${f}$$は滑らかであり $${\partial_t u + (u \cdot \nabla)u - \Delta u - f=-\nabla \mathfrak{p}}$$ であるから$${-\nabla \mathfrak{p}}$$は滑らか, 従って$${\mathfrak{p}}$$は滑らかである.
(END)

[初等的弱解の一意性]
上の直観的証明の中の解を$${u, v}$$とする.
$${\partial_t u + (u \cdot \nabla)u - \Delta u - f=\partial_t v+ (v \cdot \nabla)v - \Delta v - f}$$ならば$${u=v}$$.

[証明]
$${u, v}$$は滑らかだから$${u\neq v}$$とすると$${\partial_t u + (u \cdot \nabla)u - \Delta u - f\neq\partial_t v+ (v \cdot \nabla)v - \Delta v - f}$$である. これは不合理である. よって$${u=v}$$.
(END)

[補足1]
空間変数について発散$${\mathrm{div} \varphi = \nabla \cdot \varphi=0}$$であるような試験関数$${\varphi}$$としては, 任意の$${\psi \in \mathcal{D}(\Omega)}$$を取り$${\varphi = \mathrm{curl} \psi}$$とすればよい. (岡本久-中村周『関数解析』[10]203ページ)

[補足2]
$${\|u_n-u\|_{L^2(\Omega)}\to 0, \|v_n-v\|_{L^2(\Omega)}\to 0}$$とする. 三角不等式
$${| \|u_n\|_{L^2(\Omega)}-\|u\|_{L^2(\Omega)}|\le \|u_n-u\|_{L^2(\Omega)}}$$
より十分大きな任意の$${n}$$に対して
$${\|u_n\|_{L^2(\Omega)}\lt \|u\|_{L^2(\Omega)}+1}$$
である. ゆえに
$${\|u_n v_n - uv\|_{L^1(\Omega)}\le \|u_n\|_{L^2(\Omega)}\|v_n-v\|_{L^2(\Omega)}+\|v\|_{L^2(\Omega)}\|u_n-u\|_{L^2(\Omega)}\lt (\|u\|_{L^2(\Omega)}+1)\|v_n-v\|_{L^2(\Omega)}+\|v\|_{L^2(\Omega)}\|u_n-u\|_{L^2(\Omega)} \to 0.}$$

[補足3]
任意の正数$${\delta}$$に対して$${B_\delta(0, 0)}$$を原点$${(0, 0)}$$の$${\delta}$$-近傍, $${|\alpha|\le m-1}$$とするとき,

$${\int_{\Omega}|\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3}E(s, y) \, \partial^\alpha(\chi_{\Omega}(t-s, x-y)(\, Pf(t-s, x-y) - P((u \cdot \nabla)u)(t-s, x-y))dsdy|^pdtdx}$$
$${=\int_{\Omega}|\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3 - B_\delta(0, 0)} E(s, y) \, \partial^\alpha(\chi_{\Omega}(t-s, x-y)(\, Pf(t-s, x-y) - P((u \cdot \nabla)u)(t-s, x-y))dsdy|^pdtdx}$$
$${+\int_{\Omega}|\int_{B_\delta(0, 0)}E(s, y) \, \partial^\alpha(\chi_{\Omega}(t-s, x-y)(\, Pf(t-s, x-y) - P((u \cdot \nabla)u)(t-s, x-y))dsdy|^pdtdx}$$

である. $${E^i(s, y)}$$は局所可積分関数であることより,
$${\int_{\Omega}|\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3}E(s, y) \, \partial^\alpha(\chi_{\Omega}(t-s, x-y) Pf(t-s, x-y))dsdy|^pdtdx}$$
は有限値である.

$${\int_{\Omega}|\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3}E(s, y) \,\partial^\alpha( \chi_{\Omega}(t-s, x-y)P((u \cdot \nabla)u)(t-s, x-y))dsdy|^pdtdx}$$
が有限であることを示す.

$${\int_{\Omega}|\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3}E(s, y) \partial^\alpha( \chi_{\Omega}(t-s, x-y)P((u \cdot \nabla)u)(t-s, x-y))dsdy|^pdtdx}$$
$${=\int_{\Omega}|\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3 - B_\delta(0, 0)} E(s, y)\partial^\alpha(\chi_{\Omega}(t-s, x-y) P((u \cdot \nabla)u)(t-s, x-y))dsdy|^pdtdx}$$
$${+\int_{\Omega}|\int_{B_\delta(0, 0)}E(s, y) \partial^\alpha(\chi_{\Omega}(t-s, x-y)P((u \cdot \nabla)u)(t-s, x-y))dsdy|^pdtdx.}$$

この第１項は有限値である:

$${\int_{\Omega} |\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3 - B_\delta(0, 0)} E(s, y)\partial^\alpha(\chi_{\Omega}(t-s, x-y) P((u \cdot \nabla)u)(t-s, x-y))dsdy|^pdtdx}$$
$${\le \sup\{E^i(s, y):(s, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^3 - B_\delta(0, 0) \}^p \int_\Omega|\int_{\{(s, y):(t-s, x-y)\in\Omega\}}\partial^\alpha(P((u \cdot \nabla)u)(t-s, x-y))dsdy|^pdtdx}$$
$${\le \sup\{E^i(s, y):(s, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^3 - B_\delta(0, 0) \} \sup\{ |\partial^\alpha(P((u \cdot \nabla)u)(s, y)|: (s, y) \in \Omega\}^p|\Omega|^{1+p}}$$
$${\lt \infty.}$$

また, 第２項も有限値である:ヘルダーの不等式より
$${\int_{\Omega} |\int_{B_\varepsilon(0, 0)} E(s, y) \, \partial^\alpha(\chi_{\Omega}(t-s, x-y)P((u \cdot \nabla)u)(t-s, x-y))dsdy|^pdtdx}$$
$${\le \|E\|_{L^1(B_\varepsilon(0, 0))}^p\| \partial^\alpha(P((u \cdot \nabla)u))\|_{L^\infty(B_\varepsilon(0, 0))}^p|\Omega|}$$
$${\lt \infty.}$$
(END)

正当化

上の解の公式を関数空間
$${X=\bigcap_{m=5}^\infty W_{\sigma}^{m, 1}(\Omega)\cap W_{\sigma}^{m, 2}(\Omega)}$$
での不動点の存在によって考える. $${X}$$はノルムを
$${\|u\|_X=\sum_{m=5}^\infty \frac{1}{m!^5}\|u\|_{W_\sigma^{m, 1}(\Omega)\cap W_\sigma^{m, 2}(\Omega)}}$$
としてバナッハ空間である.

[証明]
$${\{u_n\}}$$を$${X}$$のコーシー列とする. このとき$${\{u_n\}}$$は$${W_{\sigma}^{m, 1}(\Omega)\cap W_{\sigma}^{m, 2}(\Omega)}$$のコーシー列である. $${W_{\sigma}^{m, 1}(\Omega)\cap W_{\sigma}^{m, 2}(\Omega)}$$はバナッハ空間だから$${\{u_n\}}$$は収束する. その極限を$${u}$$とする.
もし$${u\notin X}$$ならば, 任意の正数$${R}$$に対して, 或る自然数$${m'\ge 5}$$ が存在して$${\sum_{m=5}^{m'} \frac{1}{m!^5}\|u\|_{W_\sigma^{m, 1}(\Omega)\cap W_\sigma^{m, 2}(\Omega)}\gt R}$$が成り立つ. 従って$${\|u\|_{W_\sigma^{m, 1}(\Omega)\cap W_\sigma^{m, 2}(\Omega)}\gt CR}$$. これは矛盾であるから$${u\in X}$$. 仮に$${\lim_{n\to\infty}\|u_n-u\|_X=0}$$でなければ, 或る正数$${R'}$$が存在して, 任意の自然数$${N}$$に対して或る自然数$${n\gt N}$$と$${M'\ge 5}$$が存在して$${\sum_{m=5}^{M'} \frac{1}{m!^5}\|u_n-u\|_{W_\sigma^{m, 1}(\Omega)\cap W_\sigma^{m, 2}(\Omega)}\gt R'}$$. ゆえに$${\|u_n-u\|_{W_\sigma^{m, 1}(\Omega)\cap W_\sigma^{m, 2}(\Omega)}\gt C'R'}$$. これも矛盾である. ゆえに$${\lim_{n\to\infty}\|u_n-u\|_X=0.}$$
(END)

$${\chi_{\Omega}\in X}$$だから$${X\neq \{0\}}$$である.

或る定数$${C \gt 0}$$が存在して$${u, v\in X}$$に対して
$${\left\|u^i v^i\right\|_{X}\le C\|u^i\|_{X}\|v^i\|_{X}}$$
(積の分離)
と, $${u\in X}$$に対して
$${\left\|\partial_{x^j}u\right\|_{X}\le C\|u\|_X}$$
(微分の吸収)
が成り立つ.

[証明]
二項係数$${c_{\alpha, \beta}}$$に対して$${c_{\alpha}=\sum_{\beta\le\alpha}c_{\alpha, \beta}}$$とする. 任意の自然数$${k}$$に対して$${\|u_n-u\|_X\to 0}$$
$${\Rightarrow \|u_n-u\|_{W_\sigma^{m, 1}(\Omega)\cap W_\sigma^{m, 2}(\Omega)} \to 0}$$
$${\Rightarrow \|u_n-u\|_{C^{k, \varepsilon}(\overline{\Omega})}\to 0}$$より連続な埋め込み$${X\subset C^{k, \varepsilon}(\overline{\Omega})}$$が成り立つから或る定数$${c'\gt 0}$$が存在して$${|\alpha|\le k}$$とするときライプニッツの公式より
$${\|\partial^\alpha (u^i v^i)\|_{L^p(\Omega)}}$$
$${\le c_{\alpha} \|u^i\|_{C^{k, \varepsilon}(\overline{\Omega})}\|v^i\|_{C^{k, \varepsilon}(\overline{\Omega})}|\Omega|^{1/p}}$$
$${\le c_{\alpha}c' |\Omega|^{1/p}\|u^i\|_X c'\|v^i\|_X}$$
$${\le c_{\alpha}c'^2 |\Omega|^{1/p}\|u^i\|_X\|v^i\|_X}$$.
よって
$${\|\partial^\alpha (u^i v^i)\|_{L^p(\Omega)}\le c_{\alpha}c'^2 |\Omega|^{1/p}\|u^i\|_X\|v^i\|_X}$$
であるから或る定数$${C\gt 0}$$が存在して
$${\|u^i v^i\|_X\le C\|u^i\|_X\|v^i\|_X}$$.

$${\{u_n\}\subset X}$$は$${u_n\to u, \partial_{x^j}u_n\to v}$$を満たすとする. ヘルダーの不等式より
$${|\langle \partial_{x^j}u_n - v, \varphi\rangle|\le \|\partial_{x^j}u_n - v\|_{L^p(\Omega)}\|\varphi\|_{L^q(\Omega)}\le \|\partial_{x^j}u_n - v\|_X\|\varphi\|_{L^q(\Omega)}\to 0}$$
であり弱微分は$${\mathcal{D}'_\sigma(\Omega)}$$において連続であるから$${\partial_{x^j}u_n\to \partial_{x^j}u\, \mathrm{in}\,\mathcal{D}'_\sigma(\Omega)}$$.
よって$${v=\partial_{x^j}u\in X}$$, $${\{u\in X:\partial_{x^j}u\in X\}=X}$$であるから閉グラフ定理より微分の吸収が成り立つ.
(END)

$${X\ni u\mapsto E*(\chi_\Omega u)\in X}$$は有界作用素であり或る定数$${C\gt 0}$$が存在して$${u\in X}$$に対して
$${\|\int_{\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3}E(s, y)\chi_\Omega(t-s, x-y)u(t-s, x-y)dsdy\|_{X}}$$
$${\le C\|u\|_X}$$
が成り立つ.

[証明]
$${E^i(s, y)\chi_\Omega(t-s, x-y)u^i(t-s, x-y)}$$を$${(s, y)}$$の関数とみたとき任意の$${(t, x)\in\Omega}$$に対して
$${\mathrm{supp}(E^i(s, y)\chi_\Omega(t-s, x-y)u^i(t-s, x-y))}$$
$${\subseteq -\overline{\Omega}+(t, x)}$$
$${=\overline{\{(s, y)\in \mathbb{R}\times\mathbb{R}^3:(t-s, x-y)\in\Omega\}}}$$
は$${\overline{\Omega}}$$の反転の平行移動だからコンパクトであり,
$${|\partial_{t, x}^\alpha(E^i(s, y) \chi_\Omega(t-s, x-y)u^i(t-s, x-y))|\le E^i(s, y)\sup\{|\partial_{t, x}^\alpha u^i(t-s, x-y)|:(t-s, x-y)\in\Omega\}\in L^1_{s, y}(\Omega)}$$
だから積分記号下の微分の定理とヘルダーの不等式と$${\Omega}$$の仮定を合わせて
$${\|\partial^\alpha(E*(\chi_{\Omega}u))\|_{L^p(\Omega)}}$$
$${\le\|E*(\partial^\alpha (\chi_{\Omega} u))\|_{L^p(\Omega)}}$$
$${\le\|\|E(s, y)\|_{L_{s, y}^2(-\Omega +(t, x))}\|\partial^\alpha u(t-s, x-y)\|_{L_{s, y}^2(-\Omega +(t, x))}\|_{L_{t, x}^p(\Omega)}}$$
$${\le \sup_{(t, x)\in\Omega}\|E\|_{L^2(-\Omega +(t, x))}\|\partial^\alpha u\|_{L^2(\Omega)}|\Omega|^{1/p}}$$
$${\le c\|\partial^\alpha u\|_{L^1(\Omega)\cap L^2(\Omega)}}$$
$${\lt\infty}$$
であるから
$${\|E*(\chi_\Omega u)\|_X\le C\|u\|_X.}$$
(END)

$${C(1+3C^2)M\le 1}$$を満たす定数$${M}$$に対して$${S}$$は$${X}$$の部分空間:
$${S=\{u\in X:\|u\|_{X}\le M\}}$$
とする. 外力$${f}$$は$${f\in S}$$かつ$${\|f\|_X\le M^2}$$を満たすとする.
直観的議論と同様に
(N-S)'
$${\partial_t u -\Delta u=f -(u \cdot \nabla)u}$$
の弱解, すなわち$${u(t_0, x)\in L^\infty(\Omega_0)}$$, $${u \in W_{\sigma}^{m, 1}(\Omega)\cap W_{\sigma}^{m, 2}(\Omega),}$$
$${\mathfrak{p}\in L_{\mathrm{loc}}^2(\Omega)}$$, 
任意の$${\varphi \in \mathcal{D}_\sigma(\Omega)}$$に対して,
$${\langle \partial_t u + (u \cdot \nabla)u - \Delta u + \nabla \mathfrak{p} - f, \varphi \rangle =0,}$$
任意の$${\varphi\in\mathcal{D}(\Omega)}$$に対して$${\langle\mathrm{div}\,u, \varphi\rangle=-\sum_{j=1}^3\langle u^j, \partial_{x^j}\varphi\rangle=0,}$$
の意味での解の存在を示す.
$${\varPhi:S\to S}$$が
$${\varPhi[u](t, x)}$$
$${=\int_{\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3} E(s, y) \, \chi_{\Omega}(t-s, x-y)(Pf(t-s, x-y) -P((u\cdot\nabla)u)(t-s, x-y))dsdy}$$
と定義できる. 関数列$${\{u_n\}\subset S}$$を
$${u_0\in S}$$と取り, $${n\ge 0}$$ならば
$${u_{n+1}(t, x)=\varPhi[u_n](t, x)}$$
$${=\int_{\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3} E(s, y) \, \chi_{\Omega}(t-s, x-y)(Pf(t-s, x-y) -P((u_n\cdot\nabla)u_n)(t-s, x-y))dsdy}$$
と置く.
$${X}$$が完備な距離空間ならば$${S}$$は空でない閉部分空間だから完備であり, $${\varPhi}$$が縮小写像であることが言えれば, バナッハにおける不動点定理により, $${\varPhi}$$の不動点の一意存在, すなわち

或る$${u \in S}$$が一意に存在して$${\varPhi[u]=u}$$

が言える. すると, バナッハの不動点定理における不動点の一意性と, 直観的議論の後半と同様の議論により, $${u}$$が一意的な弱解であることが言える. $${\, f \neq 0}$$ならば$${u \neq 0}$$となる$${u}$$が存在する. $${\Omega}$$は任意に大きく取れるから$${u, \mathfrak{p}}$$は時間大域的である.

[$${\varPhi}$$が縮小写像として定義できる可能性の証明]
$${u\in S\Rightarrow \|\chi_{\Omega}(Pf-P((u\cdot\nabla)u))\|_X\lt\infty}$$が成り立つ. よって$${\|\varPhi[u]\|_X\le M.}$$

$${X}$$の性質と$${\|P\|=1}$$から
$${\|\chi_{\Omega}(Pf-P((u\cdot \nabla)u))\|_X\lt\infty}$$ は,
$${\|\chi_{\Omega}(Pf-P((u\cdot \nabla)u))\|_X}$$
$${\le\|f\|_X+\|u^1 \partial_{x^1}u+u^2 \partial_{x^2}u+u^3 \partial_{x^3}u\|_X}$$
$${\le M^2+3C^2M^2\lt\infty}$$
より従う.

$${\|\varPhi[u]\|_X}$$
$${\le CM^2+3C^3M^2}$$
$${\le M}$$
であれば
$${C(1+3C^2)M\le 1}$$
でなければならない.
(END)

$${u, v \in {X}}$$が或る意味で近ければ, $${(u \cdot \nabla)u}$$と$${(v \cdot \nabla)v}$$は近いかもしれない. そこで,

$${\varPhi:S\to S}$$はリプシッツ連続:
或る定数$${L\gt 0}$$が存在して, 任意の$${u, v \in S}$$に対して
$${\|\int_{\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3}E(s, y) \, \chi_{\Omega}(t-s, x-y)(P((v \cdot \nabla)v)(t-s, x-y)-P((u\cdot\nabla)u)(t-s, x-y))dsdy\|_X}$$
$${\le L \|u- v\|_X.}$$

が成り立つかもしれない. 非線型項のリプシッツ連続性が成り立てば,

$${\|\varPhi[u]-\varPhi[v]\|_X}$$
$${\le\|\int_{\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3}E(s, y) \, \chi_{\Omega}(t-s, x-y)(P((v \cdot \nabla)v)(t-s, x-y)-P((u\cdot\nabla)u)(t-s, x-y))dsdy\|_X}$$
$${\le L\|u-v\|_X}$$
が従う. ここで

[$${\varPhi}$$が縮小写像である可能性]
$${L \lt 1}$$

が成り立てば, 議論は正当化される.

[リプシッツ連続性の証明]
$${(v \cdot \nabla)v(t-s, x-y)-(u \cdot \nabla)u(t-s, x-y)}$$
$${=\sum_{j=1}^3 v^j (\partial_{x^j}v(t-s, x-y) - \partial_{x^j}u(t-s, x-y)) + (v^j \partial_{x^j}u(t-s, x-y)) - (u^j \partial_{x^j}u(t-s, x-y))}$$

より,
$${\|\int_{\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3}E(s, y) \, \chi_{\Omega}(t-s, x-y)(P((v \cdot \nabla)v)(t-s, x-y)-P((u\cdot\nabla)u)(t-s, x-y))dsdy\|_X}$$
$${\le C^2\|v\|_X\max_j(\|\partial_{x^j}v - \partial_{x^j}u\|_X)+C^2\|v-u\|_X\max_j(\|\partial_{x^j}u\|_X)}$$
$${\le C^3M\|v-u\|_X+C^3M\|v-u\|_X}$$
$${= 2C^3M\|u- v\|_X.}$$

ゆえに$${L=2C^3M}$$とすればよい.
(END)

[$${\varPhi}$$が縮小写像である可能性の証明]

上の議論より $${\|\int_{\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3}E(s, y)\,\chi_{\Omega}(t-s, x-y)(P((v \cdot \nabla)v)(t-s, x-y)-P((u \cdot \nabla)u)(t-s, x-y))dsdy\|_X}$$
$${\le 2C^3M\|u- v\|_X}$$ であり$${C(1+3C^2)M\le 1}$$であるから
$${2C^3M\lt 1.}$$
(END)

[ナビエ-ストークス方程式の可解性]
$${f\in S}$$を$${\|f\|_X\le M^2}$$となるように取るとき$${\varPhi:S\to S}$$の不動点$${u\in S}$$は(N-S)'の解であろう.

[証明]
関数列$${\{u_n\}\subset S}$$を
$${u_0\in S}$$と取り, $${n\ge 0}$$ならば
$${u_{n+1}(t, x)=\varPhi[u_n](t, x)}$$
$${=\int_{\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3} E(s, y) \,\chi_{\Omega}(t-s, x-y) (Pf(t-s, x-y) -P((u_n\cdot\nabla)u_n)(t-s, x-y))dsdy}$$
と定めればよい. 超関数の意味で$${\mathrm{div}\varPhi[u]=0}$$である.

直観的議論と同様に極限を取れば超関数の演算の連続性により$${u}$$は(N-S)'の弱解である.
(END)

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