PieceCHECK(2023-29) 玉を箱に入れる

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拙著シリーズ『Principle Piece 数学B・C～平面ベクトル～』
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今回の問題

YouTube動画をUPしました。今回は東大後期の問題で、ｎ個のボールを3つの箱に入れる問題です。

思考時間は15分、目標解答時間はそこから約20分です。

こちらの記事では、動画の中で紹介した解説(答え)を少し丁寧にした答案を、静止画像にて掲載しておきます。

解答

解説・原則など

玉・箱の区別の有無によってどう変わるかを見る問題です原題はすべてのパターンで聞かれており、区別の有無のパターン問題の元祖と言えるでしょう。その元祖でパターン化しようということです。

(3)は玉は区別し、箱は区別しないパターンですが、両方区別するなら重複順列なので、箱の区別を後からなくす方針がラクでしょう。

「箱→玉」パターン１：玉は区別するなら、箱の区別ありで重複順列→区別をなくす際に兄弟の数に注意する

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece数学A～集合と場合の数～』p.73

兄弟の数とは、重複をなくすときに何で割るかです。A,B,Cの区別をなくすならほとんどが6通りが1通りになりますが(6人兄弟)、3人兄弟が1組だけ混じっていることに注意しましょう。(1つに偏って入っている場合)

別解としては漸化式を用いる方法があります。初見で思いつくのは厳しいですが、4型の漸化式に帰着され、等比数列に帰着させて求められます。

(4)は玉も箱も区別しないパターンです。具体的な数であればコツコツ数えるのが一番無難だと思います。

「箱→玉」パターン３：玉も箱も区別しないならコツコツ数える

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece数学A～集合と場合の数～』p.76

しかし、6mという文字が入っているので、1つ1つ数えるのは難しく、規則を見つけて一般化する必要があります。一番少ない箱にk個入っているとき、、、などと数えていくことになります。
結局、$${\bm{x+y+z=6m,　x\leqq y\leqq z}}$$を満たす整数解の個数と言い換えて、$${x=k}$$と固定しながら和を計算する方針に帰着されます。
xの偶奇で場合分けが発生するという意味でも、(4)は難しいですね。

(4)も別解があります。(3)と同じく、箱の区別を後からなくす方針でも解けます。
箱に区別があるなら、重複組み合わせで一瞬で求められます。

「箱→玉」パターン２：玉は区別せず、箱は区別するなら重複組み合わせで一発解決

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece数学A～集合と場合の数～』p.74

箱に区別があると全部で$${18m^2+9m+1}$$通りありますが、ここからまた兄弟の数に注意して減らしていくわけです。6人兄弟の他に3人兄弟、そして１人っ子がいるのでそれらに注意して計算しましょう。(3)と同様、6人兄弟でないもの(特別で数えやすいもの)を数えるのがコツです。

１．解けた人・・・今後の勉強はじっくり演習をしましょう。

２．解けなくて原則を知っていた人・・・拙著『Principle Piece』シリーズで該当するページを熟読し(詳細が書いてあります)、入試演習用の問題集で思考時間を長くする演習をしましょう。

３．解けなくて原則も知らなかった人・・・原則集めからやる必要があります。拙著『Principle Piece』シリーズのような原則習得タイプの問題集で演習しましょう。

Piece CHECKシリーズは、出来あがった答案からは見えない部分を解説していくことで、「なぜそうやって解くのか」「いったいどこからそんな答案が生まれるのか」が分かることを意識して書き上げた参考書です。

関連する拙著『Principle Piece』シリーズ

玉→箱の問題はかなり体系的にまとめています。おそらくどの問題集や参考書よりも詳しいでしょう。

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