条件つき極値問題 | ラグランジュの未定係数法

(1) はじめに

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この記事では「ラグランジュの未定係数法」を扱います。とりあえず、比較的容易な問題を実際に解くことによって、使えるようになることが目的です。

簡単な「偏微分」の知識(使い方)を前提とします(↓)。

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(2) 条件付き極値問題

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極値とは？

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この記事では、極値とは「ある制約条件の下での、『最大値』または『最小値』のこと」とザックリと定義しておきます。

「なんで？」ということは考えず、とりあえず、具体的な「条件つき極値問題」を「ラグランジュの未定係数法」を用いて解いてみます。

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例題１

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例題２

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やり方・やることは、さきほどの例題１とまったく同じです。
制約条件の式を、(    )= 0 の形に変形して、λ(    )の項をx+yに付け加えます。

上の３つの式をゴチャゴチャっと計算すると、次の答えを得ます。

( x , y )
→( 1/√3, 1/√3)で極大値 2/√3
→(－1/√3, －1/√3)で極小値－2/√3

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結びにかえて

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　「おそらく」だけれども、数学を専門にする人が見たら、「説明が雑だ！」とか「正しくない！」と言われるかもしれない。

　この記事で挙げた問題は、ある参考書から持ってきたが、その説明はもっと厳密になされている。ほんとうは、数学なのだから、厳密さを最優先するべきだろう。

　しかしながら、数学の練習問題は「パズル🧩」みたいな面がある。というのは、練習問題である以上、「答えがある」ということがあらかじめ分かっているからだ。

　たとえば、この記事で挙げた「例題２」の問題。
　一応「ラグランジュの未定係数法」の練習問題として掲げられていたから、「ラグランジュ未定係数法」を用いて解いてみたが、こんなしち面倒くさい計算をしなくても、答えだけ出せばよいのなら、もっと簡単に解ける。

　「例題２」を見れば、２つの式がいずれも「対称式」であることがわかる。対称式とは、「xをyに、yをxに置き換えても、同じ式になるもの」である。

　つまり、求める答えは、x=y を満たすことが明らかである。
　だから「x=y」なのだから、この問題は「２変数の問題」ではなく、事実上、比較的な単純な「未知数が１つの方程式」を解く問題になる。

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　このようなことは、「記述式の問題」としては、数学の問題としてたいへん優れているのに、かつてのセンター試験のように「マークシートの問題」になった途端に、ただ答えを出すための「つまらない問題」に変わるのと少し似ている。

　とか言って、大学数学の問題は、ただ答えを求めるだけでも難しいので、数学が専門ではない私のような経済学部の者は、とりあえず答えが出ればそれで満足だ、みたいな感覚がある。

　私のように数学が苦手な者が、数学の本質的な意味をきちんと考えたいならば、中学生レベルあるいは高校生レベルの数学が関の山である。
　大学で学ぶ数学の本質というか、大学数学を「腑に落ちる」ような感覚で理解することは、私の力量を超えている。