エッセイ🔢「累乗」と「指数法則」について

「ゼロ乗」が「１」になるのはどうしてか？

　「累乗」。中学生のはじめの頃に学ぶ。「２の３乗」ならば

２×２×２＝８　となる。

右肩の上の「回数」分だけ、かけ算しろ！ということ。

「回数」だから、正の整数しか現れないはずなのに、高校生になると
「５の－３乗」のように「負の数」が出てきたり、
「５の(1/3)乗」のように「分数」が出てきたりする。

もともと、「同じ数を、右肩上の回数だけかけ算する」、という定義だったのだから、分数や負の数が出てくるのは、おかしい。

とりあえず、正の数だけに限定して話をする。
具体的な例を挙げてみる。

５の３乗と５の２乗を掛けたものは、
５を５回掛けたものと等しい(↑)。

一般的に書くと次のようになる。

次に割り算を考えてみる。
具体的な割り算の例を挙げる。

一般的に書くと次のようになる。

では、もうひとつだけ、具体例で考えてみよう。

つまり、機械的に「公式」に当てはめると、５のゼロ乗は「１」になります。

まとめ

中学生のときは、累乗を同じ文字を掛ける「回数」として定義しました。
高校生では、「整数」のときに成り立った「法則」が成り立つものとして、
累乗を「再定義」しています。

中学生の頭で「０乗が１になる」ことをおかしく感じるのは、むしろ当たり前なのだと思います。
だって、「ゼロ回」掛けるなら、当然「ゼロ」だと考えていいはずです。

時折、数学では何の断りもなし*に「再定義」が行われることがあります。

(*一応書いてある場合もあるけど)

一般的な教科書では、指数の「拡張」と書いてありますが、指数の「再定義」と書いたほうが、分かりやすいと思うのですが...。

一般的なことから考えて、「法則」を導きだして、その法則に当てはめて、何も「矛盾」が起こらなければそれでいい、というのが、数学的な考え方なのかなぁ、と今更ながら思っています。

もう一つは「ゼロ」の扱い方ですね。数学の問題で難しい、と感じるときはたいてい、「ゼロ」の場合を考慮しなければならない場合が多いように感じています。