判別式Dを暗記していませんか？
※高校生以上向けです
前回の「二次方程式とその解」では、
二次方程式 ax^2+bx+c=0 の解は、y=ax^2+bx+c と y=0（x軸）との交点を表している
というのをやりましたね。
今回はその続きとして「解の公式と判別式D」を深掘りしていきます。
前回の内容を含むので、よければ前回の投稿も読んでいってください！
ではいきます。
⒈ 二次方程式の解の公式
二次方程式 ax^2+bx+c=0 における解の公式は、みなさんご存知の通り
x=-b±√b^2-4ac/2a
です。
のちに説明しますが、実はこの解の公式の根号（√のこと）の前にある「±」が重要になります。覚えておいてください。
⒉ 判別式D
⑴ 判別式Dとは
…二次方程式 ax^2+bx+c=0 の解が実数解であるか判別する
判別式Dは、二次方程式の解が実数解であるかどうかを判別するものです。
ちなみに実数解でなければ虚数解ということになります。
⑵ 解の公式の根号の中身
判別式Dは解の公式の根号の中身になっている
判別式Dは、解の公式の根号の中身と全く同じです。
つまり、「実数解であるかどうか」は、解の公式の根号内で判別できるということです。
根号の中身がマイナスになったら虚数解となるので、納得ですね。
⑶ 根号の前の「±」
先ほど重要と言った根号の前の「±」ですが、実はこの「±」によって
「実数解の個数」も判別できる
のです。
具体的には、根号の中身、つまり判別式Dが「プラスの場合」「0の場合」「マイナスの場合」で場合分けすることによって、実数解の個数を調べることができます。
すでに習った方はこの場合分けと対応する実数解の個数、覚えさせられましたね。
ですが本日、この時点でこの暗記をするのはやめましょう。
先ほど説明した
・判別式Dは解の公式の根号の中身
・解の公式の根号の前には「±」がある
これらによって、非常に堅い基盤をもって頭に入れることができます。
それでは実際にまとめていきます。
⒊ 判別式Dと解の個数
⑴ D＞0 のとき（根号の中身がプラス）
画像のようになります。
ポイントは、根号の前の「±」です。
⑵ D＝0 のとき（根号の中身が0）
今度は根号の中身が「0」なので、±0となり、消えてなくなります。
そうなると、実数解はたった1つで、x軸に接する形になります。
ちなみにこの x=-b/2a は重解と言いましたね。
xy平面に落とし込むの、慣れてきましたか？
必ず活きてくるので、いちいち意識してくださいね。
⑶ D＜0のとき（根号の中身がマイナス）
根号の中身がマイナスになってしまっては「虚数」になってしまうので、「実数解」は0個です。
何度も繰り返しますが、必ずxy平面で考えられるようにしておきましょう。
特に二次不等式で「解なし」「すべての実数解」はこの⑶の場合になります。
⒋ まとめ
判別式と解の個数の関係について、きちんとした理解ができましたか？
何も暗記が絶対にダメだというわけではありませんが、今回のように「腑に落とす」ことが大事だと私は考えております。
腑に落としもせずに「理解した気になる」よりは、定着度も応用力も違ってくるのではないでしょうか。
一応、まとめられるようなプリントと私の解説がついたプリントを添付しておきます。
「腑に落とす」ためにぜひご活用ください。
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