債券価格の変動率
前回の記事では金利の変動による債券価格の変動についてみてきた。今回は債券価格の変動率についてみてみるがこれを割り出すにはマコーレーデゥレーション (Macaulay Duration) について語る必要がある。一言でいえばどれだけの期間を待てば債券に投資した分が五分五分になるかという事である。償還期日まで債券を保有する事を前提とするなら債券価格の変動についてあまり気にする必要はないのかもしれないが、実際は個人でも機関投資家でも現金の必要性やリスク（市場的に有利の場合もある）から保有する債権を償還期日前に売却することがある。償還期日が長くなればなるほどその状況が発生する確率は高くなる。投資した分のモトがどの時点で得られるかを知ることはリスク管理上重要になる。
マコーレーデゥレーション (Macaulay Duration)
マコーレーデゥレーションの求め方はそれぞれのキャッシュフローまでの期間の加重平均を求めることである。ここでいう加重とはそれぞれのキャッシュフローの現在価値の合計である。数式で表すと以下になる。
$$
PV_t=C_t \cdot DF_t (1)
$$
$$
PV'_t=\cfrac{PV_t}{\textstyle\sum_{t=1}^n PV_t} (2)
$$
$$
MD=\displaystyle\sum_{t=1}^n t \cdot PV'_t (3)
$$
t = 周期
n = 最後の周期
PV = 現在の価値 (Present Value)
C = キャッシュフロー (Cash Flow)
*DF = 割引係数 (Discount Factor)
MD = マコーレーデゥレーション (Macaulay Duration)
*DF については 貨幣の時間的価値 を参照の事。
モディファイドデゥレーション (Modified Duration)
モディファイドデゥレーションの求め方はマコーレーデゥレーションを満期利回りに１を足した数で割ってだす。当然だが満期利回りが変動すればモディファイドデゥレーションも変動する。債券価格の変動率が変わるということである。数式で表すと以下になる。
$$
Modified\medspace Duration=\cfrac{Macaulay\medspace Duration}{1+\frac{YTM}{n}} (4)
$$
*YTM = 満期利回り (Yield To Maturity)
n = １年に支払われるクーポンの回数
*YTM については 債券の価格の求め方 を参照の事。
YTM/n については Macaulay Duration の計算式の通り周期数で計算されているので１年単位である YTM を１周期の単位に調整する為である。
それでは例として額面価格１万円及び償還期日が２年後のクーポン利率４％並びに年２回の頻度で支払われる債券を購入し満期まで保有したとする。発行されてから満期まで保有するので YTM = クーポン利率 で計算する。マコーレーデゥレーション (MD) は以下の通り。
上記の MD = 3.8839 は半年の周期なので１年周期に直すと MD = 1.9412 となる。そして Modified Duration = 1.9039 となる。ここから債券価格の変動率を割り出すことができ、それは以下の通り。
$$
債券価格の変動率 = (最後の金利 - 最初の金利) \cdot (-Modified \medspace Duration) (5)
$$
Modified Duration 手前のマイナスは金利が上がれば債券価格が下がり、金利が下がれば債券価格が上がるという関係を表している。例えば４％の金利が２％に落ちたとする。すると債券価格の変動率は3.8026 %となる。
以上金利の変化による債券価格の変動率についてかたった。一旦債券に関してはこの記事を最後にしようと思う。
引用索引
[1] https://www.investopedia.com/ask/answers/051415/what-difference-between-macaulay-duration-and-modified-duration.asp
訂正記録
誤字脱字や誤謬などが無いように気を付けてはおりますがもし発生いたしましたら下記のとおり訂正いたします。ご迷惑おかけいたしました事お詫び申し上げます。
[1] 2023.03.18 上記画像にある DF_t にて複利で計算していましたので訂正いたしました。
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