数列に関する基本的な定義と定理①（有界性、単調性、連続性、極限）

数列とは

各自然数$${n}$$に対し
実数$${a_n}$$を対応させたものをと$${\{a_n\}_{n=1}^{\infty}}$$書き(実)数列といいます.
※単に$${\{a_n\}}$$と書く場合もある.

例１）すべての$${n\in\mathbb{N}}$$に対して$${a_n=1}$$と定めた数列$${\{a_n\}_{n=1}^{\infty}}$$
例２）$${n\in\mathbb{N}}$$に対して$${b_n=\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^2}}$$として定めた数列$${\{b_n\}_{n=1}^{\infty}}$$

有界性

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定義：有界性
数列$${\{a_n\}_{n=1}^{\infty}}$$は以下の性質を満たすとき上に有界であるという.
ある実数$${M}$$があって，すべての$${n}$$に対して

$$
a_n\leq M
$$

が成り立つ.下に有界も同様に定義される.数列$${\{a_n\}_{n=1}^{\infty}}$$が上にも下にも有界であるとき，単に有界であるという.
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例３）$${n\in\mathbb{N}}$$に対して$${a_n=(-1)^n}$$として定めた数列は，上にも下にも有界である.よって有界である.

例４）$${a_n=1+(-1)^{n+1}\frac{1}{n}}$$と定めた数列$${\{a_n\}_{n=1}^{\infty}}$$は有界な数列である.

例４の証明
自然数$${n}$$に対して$${n\geq 1}$$であるから$${\frac{1}{n}\leq 1}$$である.
よって，$${a_n\leq 1+\frac{1}{n}\leq 1+1=2}$$であるから$${\{a_n\}_{n=1}^{\infty}}$$は上に有界である.
また$${a_n \geq 1-\frac{1}{n}\geq 1-1=0}$$であるから$${\{a_n\}_{n=1}^{\infty}}$$は下に有界な数列である.
ゆえに$${\{a_n\}_{n=1}^{\infty}}$$は上にも下にも有界なので，有界である.

$${\square}$$

単調性

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定義：単調性
$${\{a_n\}_{n=1}^{\infty}}$$が単調減少（広義単調減少）でありとは，$${\{a_n\}_{n=1}^{\infty}}$$が

$$
a_1\geq a_2\geq a_3\geq a_4\geq …
$$

を満たすときにいう.また狭義単調減少とは，

$$
a_1> a_2> a_3> a_4> …
$$

を満たすときにいう.単調増加，狭義単調増加も同様に定義される.
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例４）
$${a_n=\frac{1}{n}}$$とおいた$${\{a_n\}_{n=1}^{\infty}}$$は

$$
a_n=\frac{1}{n}>\frac{1}{n+1}=a_{n+1}
$$

なので，狭義単調減少である.

極限

極限の定義は高校数学では以下のように習ったと思います.

数列$${\{a_n\}_{n=1}^{\infty}}$$が極限$${α}$$をもつとは，
自然数$${n}$$が限りなく大きくなるとき，$${a_n}$$が限りなく$${α}$$に近づくときにいい

$$
\lim_{n \to \infty}a_n=α
$$

と書き表す.極限$${α}$$をもつとき，数列$${\{a_n\}_{n=1}^{\infty}}$$は収束するという.
数列$${\{a_n\}_{n=1}^{\infty}}$$が極限$${\infty}$$をもつとは，自然数$${n}$$が限りなく大きくなるとき，$${a_n}$$が限りなく大きくなる（または小さくなる）ときにいい

$$
\lim_{n \to \infty}a_n=\infty（または-\infty）
$$

と書き表す.
数列$${\{a_n\}_{n=1}^{\infty}}$$が収束しないとき，即ち極限をもたないか，あるいは極限が$${±\infty}$$であるとき，数列$${\{a_n\}_{n=1}^{\infty}}$$は発散するという.

この定義は間違いではないのですが、
「限りなく大きく」「限りなく近づく」など「限りなく」と感覚的な言葉が入っていて，あやふやな部分があります.

そこで極限にはこの欠点を克服する，厳密な定義があります。
それが$${ε-N}$$論法です.

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定義：極限（$${ε-N}$$）
数列$${\{a_n\}_{n=1}^{\infty}}$$が収束するとは，任意の$${ε}$$に対して，以下を満たす$${N}$$が存在することである：任意の$${n\geq N}$$に対して

$$
|a_n-α|<ε.
$$

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厳密な定義を使った証明は省略しますが，基本的な数列の極限を紹介します.

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定理1.1：基本的な数列の極限１

$$
\begin{array}{ll}
(1) \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}=0 \\
(2) \displaystyle \lim_{n \to \infty}ca_n=\left\{
\begin{array}{ll}
\infty & (c > 0)\\
-\infty & (c < 0)
\end{array}
\right.
\end{array}
$$

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極限に関する以下の性質によって，極限がわかっている数列を組み合わせることにより，様々な極限値を求めることができます.

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定理1.2：数列の極限
$${\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=α，\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n=β  (α,β \neq \infty)}$$のとき，

$$
\begin{array}{ll}
(1) \displaystyle \lim_{n \to \infty}(a_n±b_n)=α±β \\
(2) \displaystyle \lim_{n \to \infty}ca_n=cα   (c \in \mathbb{R})\\
(3) \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n b_n=αβ \\
(4) \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{α}{β}   (β \neq 0のとき)
\end{array}
$$

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例５）定理1.1と定理1.3を用いると

$$
\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}=\left(\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\right)\left(\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n} \right)=0
$$

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定理1.3：数列の極限（はさみうち）

(1) $${\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=α，\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n=β  (α,β \neq \infty)}$$とする.すべての$${n\in\mathbb{N}}$$に対して$${a_n\leq b_n}$$ならば$${α\leq β}$$である.
(2) $${\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n= \lim_{n \to \infty}c_n=α　(α\neq \infty)}$$とする.すべての$${n\in \mathbb{N}}$$に対して$${a_n\leq b_n\leq c_n}$$ならば$${\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n}$$が存在して$${\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n=α}$$となる.
(3) $${\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n= \infty}$$とする.すべての$${n\in \mathbb{N}}$$に対して$${a_n\leq b_n}$$ならば$${\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n}$$は存在して$${\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n=\infty}$$となる.
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練習問題

問１）$${a_n=n(5-n)}$$とすると，数列$${\{a_n\}_{n=1}^{\infty}}$$は上に有界であることを示せ.

問２）$${ \displaystyle a_n=\frac{1}{n^2}}$$とおいた数列$${\{a_n\}_{n=1}^{\infty}}$$は狭義単調減少であることを示せ.

問３）$${ \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{n^2-2n-2}{4n^2+1} }$$を求めよ.

問４）$${ \displaystyle \lim_{n \to \infty}n^2=\infty}$$であることを示せ.

問５）$${ \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\infty,   \lim_{n \to \infty}b_n=\infty}$$であるとき，
(1)  $${ \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}=1}$$となる例を挙げよ.
(2)  $${ \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}=0}$$となる例を挙げよ.
(3)  $${ \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}=\infty}$$となる例を挙げよ.

問６）すべての$${n}$$に対して$${a_n>0}$$であるが$${ \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=0}$$となる例を挙げよ.

解答・解説

問１）
$${a_n=n(5-n)}$$が上に有界であることを示す.
$${\displaystyle a_n=n(5-n)=-\left(n-\frac{5}{2}\right) ^2+\frac{25}{4}\leq 7}$$が成り立つ.
したがって，すべての$${n\in \mathbb{N}}$$に対して$${a_n\leq 7}$$
ゆえに，$${a_n=n(5-n)}$$は上に有界である.

$${\square}$$

問２）

すべての$${n\in \mathbb{N}}$$に対して
$${(n+1)^2-n^2=2n+1>0}$$であるから$${\displaystyle \frac{1}{n^2}<\frac{1}{(n+1)^2}}$$.
よって

$$
a_n=\frac{1}{n^2}>\frac{1}{(n+1)^2}=a_{n+1}
$$

が成り立つ.
したがって、すべての$${n\in \mathbb{N}}$$に対して$${a_n>a_{n+1}}$$が成り立つので狭義単調減少である.

$${\square}$$

問３）

$$
\frac{n^2-2n-2}{4n^2+1}=\frac{1-\frac{2}{n}-\frac{2}{n^2}}{4+\frac{1}{n^2}}
$$

定理より$${ \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}=0, \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}=0}$$.
よって

$$
\begin{equation*} \begin{split} \lim_{n \to \infty} \frac{n^2-2n-2}{4n^2+1} &= \frac{\displaystyle \lim_{n \to \infty}1-2\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}-2\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}}{\displaystyle \lim_{n \to \infty}4+\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}} \\ &= \frac{1-2\cdot0-2\cdot0}{4+0} \\ &= \frac{1}{4} \end{split} \end{equation*}
$$

問4）

$${\displaystyle \lim_{n \to \infty}n^2=\infty}$$であることを示す.
定理より$${\displaystyle \lim_{n \to \infty}cn=\infty (c>0)}$$なので、$${\displaystyle \lim_{n \to \infty}(n-1)=\infty}$$.
$${n\in \mathbb{N}}$$に対して
$${n^2-(n-1)=n^2-n+1=\displaystyle \left( n-\frac{1}{2} \right)^2+\frac{3}{4}>0}$$であるので
$${n^2>n-1}$$
ゆえに，はさみうちの定理より
$${\displaystyle  \lim_{n \to \infty}n^2=\infty}$$であることが示された.

問５）$${ \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\infty,   \lim_{n \to \infty}b_n=\infty}$$であるとき，

(1) $${ \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}=1}$$となる例
$${n\in\mathbb{N}}$$に対して$${a_n=n^2, b_n=n^2}$$とおいた数列

$$
\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n \to \infty}1=1.
$$

(2) $${ \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}=0}$$となる例
$${n\in\mathbb{N}}$$に対して$${a_n=n+1, b_n=(n+1)^2}$$とおいた数列

$$
\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n+1}=0.
$$

(3) $${ \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}=\infty}$$となる例
$${n\in\mathbb{N}}$$に対して$${a_n=n^2, b_n=n}$$とおいた数列

$$
\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n \to \infty}n=\infty.
$$

問６）

$${n\in\mathbb{N}}$$に対して$${\displaystyle a_n=\frac{1}{n^2}}$$とおくと
すべての$${n\in\mathbb{N}}$$に対して$${a_n>0, \lim_{n \to \infty}a_n=0.}$$

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