【楽しく学ぶ🎮】戦略系ゲームの基礎構造とナッシュ均衡解の存在：ミクロ経済学 ゲーム理論 No.2
Introduction：ゲーム理論から経済学を理解したい💝
経済学部に通う私も
いよいよ大学最終年になり
学問に全力を注ぐ時間も限られてきました👍
「知は力なり」という言葉を信じて
残りの大学生生活を満喫したいと思います
学部レベルのミクロ経済学は
個人的によく理解できたつもりです
しかしながら、本当の経済の動向を理解するには、学部レベルの知識ではお話になりません
だからこそ、ミクロ経済学におけるゲーム理論という分野を
自習したいと思います
私は大学院進学を検討していた時期もありましたが、いろいろな要素検討の結果、学部での卒業ならびに社会で勝負することを決断しました
何事もアウトプット前提のインプットが
大事であると、noteで毎日発信してきました
これは、どのような内容で
あっても当てはまります👍
先行研究の論文を一概に読んでも
記憶に残っていなかったり
大切な観点を忘れてしまっていたりしたら
学習の進捗は滞ってしまうと思います
だからこそ、この「note」をフル活用して
自分の知識を1％でも、定着させ
誰にでもわかりやすい解説をアウトプットできるように努めていきたいと思います
私がこれからアウトプットする
ミクロ経済学におけるゲーム理論の学習記録を
どうぞご愛読ください📖
ミクロ経済学：ゲーム理論について✨
ゲーム理論（game theory）とは
社会や自然における複数主体が関わる意思決定の問題や行動の相互依存的状況を数学的な数理モデルを用いて研究する学問であると
大学の講義で学びました📝
ちなみに数学者ジョン・フォン・ノイマンと経済学者オスカー・モルゲンシュテルンの共著書『ゲームの理論と経済行動』（1944年）によって誕生した、と言われています
この投稿を作成するに上で
参考資料はこちらになります📝
ゲーム理論の概要
皆さんは「ゲーム」と言われたとき、どのような状況を思い浮かべるでしょうか？
囲碁・将棋、トランプ、サッカーや野球、テレビゲームなど人それぞれであると思います
いずれも対戦相手がいて、勝ち負けなどの何らかの結果があるという点は共通と思われます
今後私がアウトプットしていくなかで展開されるゲーム理論のゲームも同様です
すなわち、相手がいて結果が決まるという状況を数理的に分析する分析手法がゲーム理論であると呼べるかもしれないです📝
このようなゲーム理論の基本的な概念と応用例をシリーズ化し、アウトプットしていきたいと思います🔥
ちなみに、現在の記事はこちらになります
ゲーム理論の概要をまとめておりますので、お復習いにご活用ください📝
考察するゲームの基本的構造🌟
まずは、ミクロ経済学：ゲーム理論における「ゲーム」の定義や概念、基礎構造を整理していくことにしましょう
この投稿における「ゲーム」とは、意思決定の主体が 2 人以上いて、相互に影響し合う状態のことを呼びます
各主体が独立に、 しかも戦略的に行動するという状態を扱うことにします
以下に、戦略形ゲーム(Strategic form game)の定義を定式化します
なお、ゲームには、ｎ人のプレイヤーが集合し、Ｘ個の戦略を決定する状況を想定します
そして、各ゲームの参加者は、自分の利得ｕi をなるべく最大にするように行動すると考えます
この3つの組(N,Xj,Uj)を戦略形のゲームとして認識することにします
$$
Definition of the \\Strategic form game\\(N,(X_j)_{j \in N},(U_j)_{j \in N}) \\ \\1. Players:N=\{1,\cdot\cdot\cdot,n\}\\ \\2.Strategy Set :X_j \\ \\3.Profit:U_j \equiv \Pi_{i=1}^n X_i \to \R\\ \\\to (N,X_i,U_i)
$$
以下の説明では、簡略化のため戦略形のゲームを (N,Xi, Ui) と表記することにします
1 人の意思決定では、相手がどのような行動、ならびに戦略をとるのかを考えなくて良いです
しかしながら、ゲームの状態では相手の行動を予想しなくてはいけない状況にあります
以降では「相手がどのような行動をとるのかの予想に関して，常にすべてのプレーヤーで予想が整合している」というナッシュ的な行動様式 (ナッシュ均衡) を中心に議論を展開していくことにしましょう
ここからさらに戦略形のゲーム (N, Xi, Ui)をより詳細に議論していくことにします
具体的には、プレイヤーｊの純粋戦略や混合戦略、そして提携Ｓによる相関戦略などを定義していきます
$$
Strategic form(N,X_i,U_i)\\ \\
Pure Strategy : x_j \in X_j\\ \\Mixed Strategy: \mu_j \in\Delta(X_j)\\ \\Correlated Strategy :\mu \in \Delta(X_S)\\※X_S= \Pi_{i \in S}X_i
$$
純粋戦略とは（相手の行動に対して）
自分自身の利得が最大になるように
最適な意志決定をしたときに取られる戦略です
混合戦略とは確率的な要素が入ってきます
相手がｐの確率でＸi をとるのであれば
こちらも最適な戦略をとっていくというイメージです
提携Ｓの相関戦略とは、結託した場合や両者の合意などが存在した上で展開されるゲーム状況にある場合です
ただし、提携Ｓはプレイヤーの集合Ｎの部分集合となる点を抑えておいてください
ここまでの議論を踏まえて
戦略形ゲームの基本的な均衡概念であナッシュ均衡の存在を議論することにします
戦略形ゲーム (N, Xi, Ui) のナッシュ均衡は、以下のような条件を満たす戦略ベクトルの組で定義されます
$$
Nash Equilibrium of\\
Strategic form(N,X_i,U_i)\\ \\(x_1^*,\cdot\cdot\cdot ,x_n^*) \in \Pi_{i=1}^nX_i \cdot\cdot\cdot (1)\\ \\which satisfies \\\forall i \in N, \forall x_i \in X_i\\U_i(x_i^*,x_{-i}^*) \ge U_i (x_i, x_{-i}^*)\\
$$
戦略形ゲームにおけるナッシュ均衡の存在定理💖
戦略形のゲーム (N, Xi, Ui)において、以下の条件が満たされていれば、ナッシュ均衡が存在するということが証明されています
$$
1.N=\{1,\cdot\cdot\cdot, n\}\\2.X_j\subset \R^{m_j}:Compact Set\\3.U_j:\Pi_{i=1}^n X_i \to \R\\ \\if (1)～(3) are satisfied\\ \\there is Nash Equilibrium:x^* \in \Pi_{i=1}^nX_i
$$
この内容は、あくまで基礎的な内容です
詳しい証明や実際の問題演習などにもご興味のある方は、ぜひご自身で「ゲーム理論」と検索いただけますようお願いいたします💝
本日の議論はここまでとします🙌🏻
次回から、より具体的なトピックとそれに対応するゲーム理論を取り上げていきたいと思います
ぜひ、今後の「ミクロ経済学：ゲーム理論」の投稿を楽しみにしていただけたら幸いです💝
付録：私の卒論研究テーマについて🔖
私は「為替介入の実証分析」をテーマに
卒業論文を執筆しようと考えています📝
日本経済を考えたときに、為替レートによって
貿易取引や経常収支が変化したり
株や証券、債権といった金融資産の収益率が
変化したりと日本経済と為替レートとは
切っても切れない縁があるのです💝
（円💴だけに･･･）
経済ショックによって
為替レートが変化すると
その影響は私たちの生活に大きく影響します
だからこそ、為替レートの安定性を
担保するような為替介入はマクロ経済政策に
おいても非常に重要な意義を持っていると
推測しています
決して学部生が楽して執筆できる簡単なテーマを選択しているわけでは無いと信じています
ただ、この卒業論文をやり切ることが
私の学生生活の集大成となることは事実なので
最後までコツコツと取り組んで参ります🔥
本日の解説は、ここまでとします
今後も経済学理論集ならびに
社会課題に対する経済学的視点による説明など
有意義な内容を発信できるように努めてまいります🥺
マガジンのご紹介🔔
こちらのマガジンにて
卒業論文執筆への軌跡
エッセンシャル経済学理論集、ならびに
【国際経済学🌏】の基礎理論をまとめています
今後、さらにコンテンツを拡充できるように努めて参りますので、今後とも何卒よろしくお願い申し上げます📚
最後までご愛読いただき誠に有難うございました！
あくまで、私の見解や思ったことを
まとめさせていただいてますが
その点に関しまして、ご了承ください🙏
この投稿をみてくださった方が
ほんの小さな事でも学びがあった！
考え方の引き出しが増えた！
読書から学べることが多い！
などなど、プラスの収穫があったのであれば
大変嬉しく思いますし、投稿作成の冥利に尽きます！！
お気軽にコメント、いいね「スキ」💖
そして、お差し支えなければ
フォロー＆シェアをお願いしたいです👍
今後とも何卒よろしくお願いいたします！
この記事が気に入ったらサポートをしてみませんか？