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無限級数1^n+2^n+3^n+4^n+…の視覚的な図示〜1≦n〜


概要

 一般的には、自然数の総和$${1+2+3+...}$$は無限$${∞}$$である。しかし、$${1+2+3+...}$$は$${"1+2+3+..."=- \frac{1}{12}}$$とも解釈されている。この数式には、複素数や解析接続が使用される。しかし、ほとんどの民は複素数や解析接続を理解することができない。そのため、彼らはこの数式を感覚的に把握することができない。
 そこで、俺は無限級数$${1^n+2^n+3^n+..}$$を杉山の数式

$$
\lim_{+x  \to +0}\sum_{k=1}^{∞}k^{n}exp(-kxcot(\frac{π}{2n+2}))cos(kx)
$$

と解釈した。その結果、俺は無限級数における収束値(極限値)が$${x>0}$$から$${x=0}$$へと近づいていくことを視覚化することができた。同時に、俺は無限級数の一部は$${x=0}$$で発散することを視覚化することができた。この時、俺はなぜ$${"1+2+3+..."=-\frac{1}{12}}$$になるのかを感覚的に把握することができた。
 例えば、俺が$${n=1}$$とする。この時、俺は無限級数$${1^n+2^n+3^n+ \ldots}$$は$${1+2+3+ \ldots}$$になる。杉山の数式(以下杉山式)を使用すると、

$$
\lim_{+x  \to +0}\sum_{k=1}^{∞}kexp(-kx)cos(kx)=-\frac{1}{12}
$$

 この時、視覚的な図示では、$${-\frac{1}{12}}$$は$${x>0}$$から$${x=0}$$へと近づいていった。同時に、$${1+2+3+ \ldots}$$は$${x=0}$$で発散した。

同様に、一般化して、俺は無限級数$${1^n+2^n+3^n+\ldots}$$をグラファーでそれぞれの$${n}$$について視覚化していった。その結果、ある種の$${n}$$では、俺は無限級数における収束値(極限値)が$${x>0}$$から$${x=0}$$へと近づいていくことを視覚化することができた。同時に、俺は無限級数の一部は$${x=0}$$で発散することを視覚化することができた。

画像:https://unsplash.com/photos/SgygEPjG8lc

1章 無限級数1+2+3+4+…=-1/12

 以下では、俺は$${1+2+3+4+…}$$をMacのsoftware Grapherを使用して、この無限級数を解釈するつもりである。この数式は2つの値のような数を取る。一番目は無限であり、二番目は$${-\frac{1}{12}}$$である。

俺はこの無限級数$${1+2+3+\ldots}$$を$${1exp(-1\cdot0)cos(1\cdot0)+2exp(-2\cdot0)cos(2\cdot0)+3exp(-3\cdot0)cos(3\cdot0)+\ldots}$$と解釈する。
俺はこの無限級数$${1+2+3+\ldots}$$を$${\lim_{+x \to +0}\sum_{k=1}^{∞}kexp(-kx)cos(kx)}$$とも解釈する。なお、俺はこの数式を杉山の電子場所(電飛)で発見した。そこで、俺はこの数式を杉山式と便宜的に呼ぶ。

グラファーによる視覚化

 俺の視覚的な予想 

$$
\lim_{+x \to +0}\sum_{k=1}^{∞}kexp(-kx)cos(kx)=-\frac{1}{12}
$$

$$
\sum_{k=1}^{∞}kexp(-k\cdot0)cos(k\cdot0)=∞
$$

 以下では、俺は$${\sum_{k=1}^{∞}kexp(-kx)cos(kx)}$$をグラファーで表現していく。始めに、俺は$${k=1}$$を視覚化してみよう。画像は「俺作成」である。

図1

 上記の図1を見ると、$${x=0}$$における杉山式の値は1である。$${k}$$が$${1}$$のとき、$${x=0}$$における杉本式の値は$${1}$$である。計算は次である。

$${k}$$が$${1}$$であるとき、杉山式は$${1exp(-1x)cos(1x)}$$である。次に、俺は$${0}$$を$${x}$$に代入する。その時、俺は$${1exp(-1\cdot0)cos(1\cdot0)}$$を獲得する。$${exp(0)}$$及び$${cos(0)}$$は$${1}$$である。従って、$${x=0}$$における杉山式の値は$${1}$$である。

また、日常的な感覚でも、自然数の総和$${\sum_{k=1}^{1}k}$$は$${1=1}$$である。次に、俺は$${k=2}$$を視覚化してみよう。

図2

 上記の図2を見ると、$${x=0}$$における杉山式の値は3である。$${k}$$が$${2}$$のとき、$${x=0}$$における値は$${3}$$である。計算は次である。

$${k}$$が$${2}$$であるとき、杉山式は$${1exp(-1x)cos(1x)+2exp(-2x)cos(2x)}$$である。次に、俺は$${0}$$を$${x}$$に代入する。その時、俺は$${1exp(-1\cdot0)cos(1\cdot0)+2exp(-2\cdot0)cos(2\cdot0)}$$を獲得する。$${exp(0)}$$及び$${cos(0)}$$は$${1}$$である。従って、$${x=0}$$における杉山式の値は$${1+2=3}$$である。

また、日常的な感覚でも、自然数の総和$${\sum_{k=1}^{2}k}$$は$${1+2=3}$$である。同様に、俺は$${k=3}$$や$${k=4}$$を視覚化していく。次に、俺は$${k=10}$$を取ってみる。俺は次の図3を獲得する。

図3

 上記の図3を見ると、$${x=0}$$における杉山式の値は見当たらない。$${k}$$が$${10}$$のとき、$${x=0}$$における値は$${55}$$である。計算は次である。

$${k}$$が$${10}$$であるとき、杉山式は$${1exp(-1x)cos(1x)+2exp(-2x)cos(2x)+…+10exp(-10x)cos(10x)}$$である。次に、俺は$${0}$$を$${x}$$に代入する。その時、俺は$${1exp(-1 \cdot0)cos(1\cdot0)+2exp(-2\cdot0)cos(2\cdot0)\ldots+10exp(-10\cdot0)cos(10\cdot0)}$$を獲得する。$${exp(0)}$$及び$${cos(0)}$$は$${1}$$である。従って、$${x=0}$$における杉山式の値は$${1+2+…+10=55}$$である。
 また、日常的な感覚でも、自然数の総和$${\sum_{k=1}^{10}k}$$は$${1+2+…+10=55}$$である。

ここで、俺は黄色の楕円に着目する。$${x>0}$$における楕円の内部には、ある値が存在しているように見える。俺の予想として、もし俺が$${k}$$を大きくするならば、この楕円の部分が$${-\frac{1}{12}}$$に近い値になるだろう。次に、俺は$${k=100}$$を取ってみる。

図4

 上記の図3を見ると、$${x=0}$$における杉山式の値は見当たらない。$${k}$$が$${100}$$のとき、$${x=0}$$における値は$${1}$$から$${100}$$までの自然数の和($${5050}$$?)である。俺はその値を観察することはできない。

$${k}$$が$${100}$$であるとき、杉山式は$${1exp(-1x)cos(1x)+2exp(-2x)cos(2x)+…+100exp(-100x)cos(100x)}$$である。次に、俺は$${0}$$を$${x}$$に代入する。その時、俺は$${1exp(-1\cdot0)cos(1\cdot0)+2exp(-2\cdot0)cos(2\cdot0)…+100exp(-100\cdot0)cos(100\cdot0)}$$を獲得する。$${exp(0)}$$及び$${cos(0)}$$は$${1}$$である。従って、$${x=0}$$における杉山式の値は$${1+2+…+100=5050}$$である。

また、日常的な感覚でも、自然数の総和$${\sum_{k=1}^{100}k}$$は$${1+2+…+100=5050}$$である。

上記をみると、$${x}$$が$${0}$$に近い範囲では、杉山式は特定の値を取っているように見える。また、一つの山がある。俺が上記を拡大して、俺は次の図5を獲得する。

図5

 $${x>0}$$における直線をとる値は$${-\frac{1}{12}}$$であるように感じる。そこで、俺は$${y=-\frac{1}{12}}$$を導入すると、俺は次の図6を獲得する。

図6

 上記の直線は$${y=-\frac{1}{12}}$$である。$${x>0}$$における直線をとる値は約$${y=-\frac{1}{12}}$$である。

数学的な厳密性を捨てて、個人的な印象を提示すると、俺が$${k}$$を無限にするとき、もし俺が$${x}$$を正から$${0}$$へと変化させるならば、その時、$${\lim_{+x \to +0}}$$における杉山式の値は$${-\frac{1}{12}}$$にもなるように思える。当然、その時、自然数の総和$${\sum_{k=1}^{∞}k}$$は無限である。$${k=500}$$も同様である。

$${k}$$が無限のとき、$${x=0}$$における値は自然数の総和$${∞}$$である。俺はその値を観察することはできない。$${k}$$が無限であるとき、杉山式は$${1exp(-1x)cos(1x)+2exp(-2x)cos(2x)+…}$$である。次に、俺は$${0}$$を$${x}$$に代入する。その時、俺は$${1exp(-1\cdot0)cos(1\cdot0)+2exp(-2\cdot0)cos(2\cdot0)…}$$を獲得する。$${exp(0)}$$及び$${cos(0)}$$は$${1}$$である。従って、$${x=0}$$における杉山式の値は$${1+2+…=∞}$$である。

また、日常的な感覚でも、自然数の総和$${\sum_{k=1}^{∞}k}$$は$${1+2+…=∞}$$である。

ただし、$${k}$$が無限のとき、もし俺が$${0}$$を$${x}$$に代入せずに、$${x}$$を$${x>0}$$から$${0}$$へと変化させるならば、杉山式は$${\lim_{+x \to +0}}$$における杉山式の値はにもなるように思える。当然、上記の図によると、$${-\frac{1}{12}}$$を取らない山がある。だから、もしこの山が消失しないならば、たとえ俺が$${x}$$を正から$${0}$$へと変化させるとしても、$${\lim_{+x \to +0}}$$における杉山式の値は$${-\frac{1}{12}}$$にもならないように思える。だから、上記を主張するためには、この山の除去や山の解釈が必要である。または、上記を主張するためには、この最も$${0}$$に近い山や波それ自体が最終的には$${-\frac{1}{12}}$$になることが必要である。

 上記をまとめると次になる。$${\sum_{k=1}^{∞}kexp(-kx)cos(kx)}$$の$${x}$$が$${0}$$である時、$${1+2+3+4+ \ldots}$$が$${∞}$$になる。視覚的には、杉山式のグラフにおいて、$${x=0}$$における$${y}$$軸の値が無限$${∞}$$へと発散する。直感的には、自然数の総和は無限である。つまり、$${1+2+3+4+ \ldots}$$は無限$${∞}$$である。この視覚的な解釈は$${x=0}$$における$${y}$$の値が$${1, 1+2, 1+2+3,  1+2+3+\ldots}$$のように$${x=0}$$で大きくなることである。

$${\lim_{+x \to +0}\sum_{k=1}^{∞}kexp(-kx)cos(kx)}$$が$${\lim_{+x \to +0}}$$である時、$${1+2+3+4+\ldots}$$が$${-\frac{1}{12}}$$になる。視覚的には、杉山式のグラフにおいて、$${x=0}$$における$${y}$$軸の値$${-\frac{1}{12}}$$が$${x>0}$$から$${0}$$へと収束するように見える。ある数学者が$${1+2+3+4+\ldots}$$は$${-\frac{1}{12}}$$と言った時、俺は非常に混乱する。 
 
 しかし、上記の不確かな図を使用する時、俺は$${1+2+3+4+ \ldots}$$が$${-\frac{1}{12}}$$であるのはそれほどおかしくないように思える。$${1+2+3+4+…}$$が$${\lim_{+x \to +0}(1exp(-1x)cos(1x)+2exp(-2x)cos(2x)+3exp(-3x)cos(3x)+4exp(-4x)cos(4x)+\ldots)}$$のとき、$${1+2+3+4+ \ldots}$$は$${-\frac{1}{12}}$$である可能性がある。上記の無限級数では、無限級数におけるそれぞれの数を$${kexp(-kx)cos(kx)}$$の$${x=0}$$における値と解釈することができる可能性がある。その時、その級数は$${-\frac{1}{12}}$$になるかもしれない。
 
一方、級数におけるそれぞれの数を自然数と解釈する時、その級数は無限へと発散する。上記の図では、上記の無限級数は発散する、かつ$${-\frac{1}{12}}$$になるかもしれない。個人的な印象では、上記の級数は収束しているのでなく、直感通りに発散しているように見える。一般的に、関数はある変数に対して一つの値を取っているように見える。しかし、上記では、$${x=0}$$における値は$${∞}$$と$${x>0}$$から$${x=0}$$への極限値$${-\frac{1}{12}}$$である。つまり、杉山式は$${x=0}$$において二つの値を取っているように見える。

2章 無限級数1^2+2^2+3^2+4^2+…=0

 同じ文章形式で同様に、以下では、俺は$${1^2+2^2+3^2+4^2+\ldots}$$をMacのsoftware Grapherを使用して、この無限級数を解釈するつもりである。結論から言うと、この数式は2つの値のような数を取る。一番目は無限であり、二番目は$${0}$$である。俺は無限級数$${1^2+2^2+3^2+\ldots}$$を

$$
1^2exp(-1\cdot0\cdot\sqrt3)cos(1\cdot0)+2^2exp(-2\cdot0\cdot\sqrt3)cos(2\cdot0)+3^2exp(-3\cdot0\cdot\sqrt3)cos(3\cdot0)+\ldots
$$

と解釈する。俺は無限級数$${1^2+2^2+3^2+\ldots}$$を

$$
\lim_{+x \to +0}\sum_{k=1}^{∞}k^2exp(-kx\sqrt3)cos(kx)
$$

と解釈する。俺はこの数式を杉山の電子場所(電飛)で発見した。そこで、俺はこの数式を杉山式と便宜的に呼ぶ。

グラファーによる視覚化

俺の視覚的な予想 

$$
\lim_{+x \to +0}\sum_{k=1}^{∞}k^2exp(-kx√3)cos(kx)=0
$$

$$
\sum_{k=1}^{∞}k^2exp(-k\cdot0\cdot√3)cos(k・0)=∞
$$

 以下では、俺は$${\sum_{k=1}^{∞}k^2exp(-kx\sqrt3)cos(kx)}$$をグラファーで表現していく。始めに、俺は$${k=1}$$を視覚化してみよう。画像は「俺作成」である。なお、類似した計算は上記と同様であるので、省略する。

図7

 上記の図7を見ると、$${x=0}$$における杉山式の値は$${1}$$である。$${k}$$が$${1}$$のとき、$${x=0}$$における杉山式の値は$${1}$$である。計算は次である。$${k}$$が$${1}$$であるとき、杉山式は$${1^2exp(-1x\sqrt3)cos(1x)}$$である。次に、俺は$${0}$$を$${x}$$に代入する。その時、俺は$${1^2exp(-1\cdot0\cdot\sqrt3)cos(1\cdot0)}$$を獲得する。従って、$${x=0}$$における杉山式の値は$${1}$$である。

また、日常的な感覚でも、自然数の総和$${\sum_{1}^{1}k^2}$$は$${1=1}$$である。次に、俺は$${k=2}$$を視覚化してみよう。

図8

 上記の図8を見ると、$${x=0}$$における杉山式の値は$${5}$$である。$${k}$$が$${2}$$のとき、$${x=0}$$における値は$${5}$$である。計算は次である。$${k}$$が$${2}$$であるとき、杉山式は$${1^2exp(-1x\sqrt3)cos(1x)+2^2exp(-2x\sqrt3)cos(2x)}$$である。次に、俺は$${0}$$を$${x}$$に代入する。その時、俺は$${1^2exp(-1\cdot0\cdot\sqrt3)cos(1\cdot0)+2^2exp(-2\cdot0\cdot\sqrt3)cos(2\cdot0)}$$を獲得する。従って、$${x=0}$$における杉山式の値は$${1+2^2=5}$$である。

また、日常的な感覚でも、自然数の総和$${\sum_{1}^{2}k^2}$$は$${1+2^2=5}$$である。同様に、俺は$${k=3}$$や$${k=4}$$を視覚化していく。次に、俺は$${k=10}$$を取ってみる。俺は次の図を獲得する。

図9

 上記の図9を見ると、$${x=0}$$における杉山式の値は見当たらない。$${k}$$が$${10}$$のとき、$${x=0}$$における値は$${385}$$である。計算は次である。$${k}$$が$${10}$$であるとき、杉山式は$${1^2exp(-1x\sqrt3)cos(1x)+2^2exp(-2x\sqrt3)cos(2x)+…+10^2exp(-10x\sqrt3)cos(10x)}$$である。次に、俺は$${0}$$を$${x}$$に代入する。その時、俺は$${1^2exp(-1\cdot0\cdot\sqrt3)cos(1\cdot0)+2^2exp(-2\cdot0\cdot\sqrt3)cos(2\cdot0)…+10^2exp(-10\cdot0\cdot\sqrt3)cos(10\cdot0)}$$を獲得する。従って、$${x=0}$$における杉本式の値は$${1^2+2^2+…+10^2=385}$$である。

また、日常的な感覚でも、自然数の総和$${\sum_{k=1}^{10}k^2}$$は$${1^2+2^2+…+10^2=385}$$である。

ここで、俺は黄色の楕円に着目する。$${x>0}$$における楕円の内部には、ある値が存在しているように見える。俺の予想として、もし俺が$${k}$$を大きくするならば、この楕円の部分が$${0}$$に近い値になるだろう。次に、俺は$${k=100}$$を取ってみる。

図10

 上記の図10を見ると、$${x=0}$$における杉山式の値は見当たらない。$${k}$$が$${100}$$のとき、$${x=0}$$における値は$${1}$$から$${100}$$までの平方数の和である。俺はその値を観察することはできない。

$${k}$$が$${100}$$であるとき、杉山式は$${1^2exp(-1x\sqrt3)cos(1x)+2^2exp(-2x\sqrt3)cos(2x)+…+100^2exp(-100x\sqrt3)cos(100x)}$$である。次に、俺は$${0}$$を$${x}$$に代入する。その時、俺は$${1^2exp(-1\cdot0\cdot\sqrt3)cos(1\cdot0)+2^2exp(-2\cdot0\cdot\sqrt3)cos(2\cdot0)…+100^2exp(-100\cdot0\cdot\sqrt3)cos(100\cdot0)}$$を獲得する。。従って、$${x=0}$$における杉本式の値は$${1^2+2^2+…+100^2}$$である。また、日常的な感覚でも、自然数の総和$${\sum_{1}^{100}k^2}$$は$${1^2+2^2+…+100^2}$$である。

上記をみると、$${x}$$が$${0}$$に近い範囲では、杉山式は特定の値を取っているように見える。また、一つの非常に小さな山がある。俺が上記を拡大して、俺は次の図11を獲得する。

図11

 $${x>0}$$における直線をとる値は$${0}$$であるように感じる。数学的な厳密性を捨てて、個人的な印象を提示すると、俺が$${k}$$を無限にするとき、もし俺が$${x}$$を正から$${0}$$へと変化させるならば、その時、$${lim(x→+0)}$$における杉本式の値は$${0}$$にもなるように思える。当然、その時、自然数の総和$${\sum_{1}^{∞}k^2}$$は無限である。

$${k}$$が無限のとき、$${x=0}$$における値は自然数の総和$${∞}$$である。俺はその値を観察することはできない。$${k}$$が無限であるとき、杉本式は$${1^2exp(-1x\sqrt3)cos(1x)+2^2exp(-2x\sqrt3)cos(2x)+…}$$である。次に、俺は$${0}$$を$${x}$$に代入する。その時、俺は$${1^2exp(-1\cdot0\cdot\sqrt3)cos(1\cdot0)+2^2exp(-2\cdot0\cdot\sqrt3)cos(2\cdot0)…}$$を獲得する。従って、$${x=0}$$における杉本式の値は$${1^2+2^2+…=∞}$$である。また、日常的な感覚でも、自然数の総和$${\sum_{1}^{∞}k^2}$$は$${1^2+2^2+…=∞}$$である。

ただし、$${k}$$が無限のとき、もし俺が$${0}$$を$${x}$$に代入せずに、$${x}$$を正から$${0}$$へと変化させるならば、杉本式は$${\lim_+x \to +0}$$における杉本式の値は$${0}$$にもなるように思える。当然、上記の図によると、$${0}$$を取らない山がある。だから、もしこの山が消失しないならば、たとえ俺が$${x}$$を正から$${0}$$へと変化させるとしても、$${\lim_+x \to +0}$$における杉本式の値は$${0}$$にもならないように思える。だから、上記を主張するためには、この山の除去や山の解釈が必要である。または、上記を主張するためには、この最も$${0}$$に近い山や波それ自体が$${0}$$になることが必要である。

 (まとめは上記と同様であるので、省略する)

3章 無限級数1^3+2^3+3^3+4^3+…=1/120

 同じ文章形式で同様に、以下では、俺は$${1^3+2^2+3^3+4^2+…}$$をMacのsoftware Grapherを使用して、この無限級数を解釈するつもりである。結論から言うと、この数式は2つの値のような数を取る。一番目は無限であり、二番目は$${1/120}$$である。俺は無限級数$${1^3+2^3+3^3+…}$$を$${1^3exp(-1\cdot0\cdot(1+\sqrt2))cos(1\cdot0)+2^3exp(-2\cdot0\cdot(1+\sqrt2))cos(2\cdot0)+3^3exp(-3\cdot0\cdot(1+\sqrt2))cos(3\cdot0)+…}$$と解釈する。

俺はこの無限級数を$${\lim_{+x \to +0}\sum_{k=1}^{∞}k^3exp(-kx(1+\sqrt2))cos(kx)}$$と解釈する。なお、俺はこの数式を杉山の電子場所(電飛)で発見した。そこで、俺はこの数式を杉山式と便宜的に呼ぶ。また、立方数の総和を$${\sum_{k=1}^{∞}k^3}$$を表現する。


グラファーによる視覚化

 俺の視覚的な予想 

$$
\lim_{+x \to +0}\sum_{k=1}^{∞}k^3exp(-kx(1+\sqrt2))cos(kx)=1/120
$$

$$
\sum_{k=1}^{∞}k^3exp(-k\cdot0\cdot(1+\sqrt2))cos(k・0)=∞
$$

 以下では、俺は$${\lim_{+x \to +0}\sum_{k=1}^{∞}k^3exp(-kx(1+\sqrt2))cos(kx)}$$をグラファーで表現していく。始めに、俺は$${k=1}$$を視覚化してみよう。画像は「俺作成」である。

図12

 $${k}$$が$${1}$$のとき、$${x=0}$$における杉山式の値は$${1}$$である。計算は次である。$${k}$$が$${1}$$であるとき、杉山式は$${1^3exp(-1x(1+\sqrt2))cos(1x)}$$である。次に、俺は$${0}$$を$${x}$$に代入する。その時、俺は$${1^3exp(-1\cdot0\cdot(1+\sqrt2))cos(1・0)}$$を獲得する。$${x=0}$$における杉本式の値は$${1}$$である。

また、日常的な感覚でも、自然数の総和$${\sum_{k=1}^{1}}$$は$${1^3=1}$$である。次に、俺は$${k=2}$$を視覚化してみよう。

図13

 $${k}$$が$${2}$$のとき、$${x=0}$$における値は$${9}$$である。計算は次である。$${k}$$が$${2}$$であるとき、杉山式は$${1^3exp(-1x(1+\sqrt2))cos(1x)+2^3exp(-2x(1+\sqrt2))cos(2x)}$$である。次に、俺は$${0}$$を$${x}$$に代入する。その時、俺は$${1^3exp(-1\cdot0\cdot(1+\sqrt2))cos(1\cdot0)+2^3exp(-2\cdot0\cdot(1+\sqrt2))cos(2\cdot0)}$$を獲得する。$${x=0}$$における杉山式の値は$${1^3+2^3=9}$$である。

また、日常的な感覚でも、自然数の総和$${\sum_{k=1}^{2}}$$は$${1^3+2^3=9}$$である。同様に、俺は$${k=3}$$や$${k=4}$$を視覚化していく。次に、俺は$${k=10}$$を取ってみる。俺は次の図を獲得する。

図14

 $${k}$$が$${10}$$のとき、$${x=0}$$における値は$${1^3+…+10^3}$$である。計算は次である。$${k}$$が$${10}$$であるとき、杉山式は$${1^3exp(-1x(1+\sqrt2))cos(1x)+2^3exp(-2x(1+\sqrt2))cos(2x)+…+10^3exp(-10x(1+\sqrt2))cos(10x)}$$である。次に、俺は$${0}$$を$${x}$$に代入する。その時、俺は$${1^3exp(-1\cdot0\cdot(1+\sqrt2))cos(1\cdot0)+2^3exp(-2\cdot0・(1+\sqrt2))cos(2\cdot0)…+10^3exp(-10\cdot0\cdot(1+\sqrt2))cos(10\cdot0)}$$を獲得する。$${x=0}$$における杉山式の値は$${1^3+2^3+…+10^3}$$である。また、日常的な感覚でも、自然数の総和$${\sum_{k=1}^{10}}$$は$${1^3+2^3+…+10^3}$$である。

ここで、俺は黄色の楕円に着目する。$${x>0}$$における楕円の内部には、ある値が存在しているように見える。俺の予想として、もし俺が$${k}$$を大きくするならば、この楕円の部分が$${\frac{1}{120}}$$に近い値になるだろう。俺は上記の図を拡大して、$${y=\frac{1}{120}}$$を導入する。

図15

薄い直線が$${y=\frac{1}{120}}$$である。上記は非常に見づらいが、$${x>0.5}$$の時、杉本式はある$${0}$$でないある値を取っているように見える。次に、俺は$${k=100}$$を取ってみる。

図16

 $${k}$$が$${100}$$のとき、$${x=0}$$における値は$${1}$$から$${100}$$までの立方数の和である。俺はその値を観察することはできない。 $${k}$$が$${100}$$であるとき、杉本式は$${1^3exp(-1x(1+\sqrt2))cos(1x)+2^3exp(-2x(1+\sqrt2))cos(2x)+…+100^3exp(-100x(1+\sqrt2))cos(100x)}$$である。次に、俺は$${0}$$を$${x}$$に代入する。その時、俺は$${1^3exp(-1\cdot0\cdot(1+\sqrt2))cos(1\cdot0)+2^3exp(-2\cdot0\cdot(1+\sqrt2))cos(2\cdot0)…+100^3exp(-100\cdot0\cdot(1+\sqrt2))cos(100\cdot0)}$$を獲得する。$${x=0}$$における杉山式の値は$${1^3+2^3+…+100^3}$$である。また、日常的な感覚でも、自然数の総和$${\sum_{k=1}^{100}k^3}$$は$${1^3+2^3+…+100^3}$$である。

 上記をみると、$${x}$$が$${0}$$に近い範囲では、杉山式は特定の値を取っているように見える。また、一つの非常に小さな山がある。俺が上記を拡大して、俺は次の図を獲得する。

図17

薄い線が$${y=\frac{1}{120}}$$である。上記は非常に見づらいが、$${x>0.08}$$の時、杉山式はある$${0}$$でないある値$${y=\frac{1}{120}}$$を取っているように見える。

$${x>0}$$における直線をとる値は$${\frac{1}{120}}$$であるように感じる。数学的な厳密性を捨てて、個人的な印象を提示すると、俺が$${k}$$を無限にするとき、もし俺が$${x}$$を正から$${0}$$へと変化させるならば、その時、$${\lim_{x \to +0}}$$における杉本式の値は$${1/120}$$にもなるように思える。その時、自然数の総和$${\sum_{k=1}^{∞}k^3}$$は無限である。

 $${k}$$が無限のとき、$${x=0}$$における値は自然数の総和$${∞}$$である。俺はその値を観察することはできない。$${k}$$が無限であるとき、杉山式は$${1^3exp(-1x(1+\sqrt2))cos(1x)+2^3exp(-2x(1+\sqrt2))cos(2x)+…}$$である。次に、俺は$${0}$$を$${x}$$に代入する。その時、俺は$${1^3exp(-1・0・(1+\sqrt2))cos(1\cdot0)+2^3exp(-2\cdot0\cdot(1+\sqrt2))cos(2\cdot0)…}$$を獲得する。$${x=0}$$における杉山式の値は$${1^3+2^3+…=∞}$$である。また、日常的な感覚でも、自然数の総和$${\sum_{k=1}^{∞}k^3}$$は$${1^3+2^3+…=∞}$$である。

ただし、$${k}$$が無限のとき、もし俺が$${0}$$を$${x}$$に代入せずに、$${x}$$を正から$${0}$$へと変化させるならば、杉本式は$${\lim_{x \to +0}}$$における杉本式の値は$${\frac{1}{120}}$$にもなるように思える。当然、上記の図によると、$${\frac{1}{120}}$$を取らない山がある。だから、もしこの山が消失しないならば、たとえ俺が$${x}$$を正から$${0}$$へと変化させるとしても、$${\frac{1}{120}}$$における杉山式の値は$${\frac{1}{120}}$$にもならないように思える。だから、上記を主張するためには、この山の除去や山の解釈が必要である。または、上記を主張するためには、この最も$${x=0}$$に近い山や波それ自体が$${\frac{1}{120}}$$になることが必要である。

 (まとめは上記と同様であるので、省略する)

4章 1^n+2^n+3^n+4^n+…への一般化

 以下では、俺はこれらを一般化して、$${n=4}$$以上の$${1^n+2^n+3^n+…}$$について述べるつもりである。

n=4

 俺の視覚的な予想 

$$
\lim_{+x \to +0}\sum_{k=1}^{∞}k^4exp(-kxcot(\frac{π}{10}))cos(kx)=0
$$

$$
\sum_{k=1}^{∞}k^4exp(-k・0・cot(\frac{π}{10}))cos(k・0)=∞
$$

 まず、俺は$${n=4}$$を視覚化する。俺は$${k}$$を$${k=100}$$とする。$${\sum_{k=1}^{100}k^4exp(-kxcot(\frac{π}{10})cos(kx)}$$である。

図18

 上記を見ると、$${\sum_{k=1}^{100}k^4exp(-kxcot(\frac{π}{10}))cos(kx)}$$は$${0}$$に$${x>0}$$から$${x=0}$$へと収束するように見える。俺は上記の図を拡大してみる。

図19

 $${x=0.08}$$において、小さな山がある。俺の印象では、$${\sum_{k=1}^{∞}k^4exp(-kxcot(\frac{π}{10}))cos(kx)}$$は$${0}$$に$${x>0}$$から$${x=0}$$へと収束するように見える。

n=5

 俺の視覚的な予想

$$
\lim_{+x \to +0}\sum_{k=1}^{∞}k^5exp(-kxcot(\frac{π}{12}))cos(kx)=?
$$

$$
\sum_{k=1}^{∞}k^5exp(-k・0・cot(\frac{π}{12}))cos(k・0)=∞
$$

 次に、俺は$${n=5}$$を視覚化する。俺はkをk=100とする。$${\sum_{k=1}^{100}k^5exp(-kxcot(\frac{π}{12}))cos(kx)}$$である。

図20

上記を見ると、$${\sum_{k=1}^{100}k^5exp(-kxcot(\frac{π}{12}))cos(kx)}$$は$${0}$$に$${x>0}$$から$${x=0}$$に近い負の値へと収束するように見える。俺は上記の図を拡大してみる。

図21

俺の印象では、$${\sum_{k=1}^{100}k^5exp(-kxcot(\frac{π}{12}))cos(kx)}$$は$${0}$$に$${x>0}$$から$${x=0}$$に近い負の値へと収束するように見える。

n=6

 俺の視覚的な予想 

$$
\lim_{+x \to +0}\sum_{k=1}^{∞}k^6exp(-kxcot(\frac{π}{14}))cos(kx)=0
$$

$$
\sum_{k=1}^{∞}k^6exp(-k・0・cot(\frac{π}{14}))cos(k・0)=∞
$$

 次に、俺は$${n=6}$$を視覚化する。俺は$${k}$$を$${k=100}$$とする。$${\sum_{k=1}^{100}k^6exp(-kxcot(\frac{π}{14}))cos(kx)}$$である。

図22

上記を見ると、kを無限にすると、$${\sum_{k=1}^{100}k^6exp(-kxcot(\frac{π}{14}))cos(kx)}$$は$${0}$$に$${x>0}$$から$${x=0}$$に近い値へと収束するように見える。俺は上記の図を拡大してみる。

図23

俺の印象では、kを無限にすると、$${\sum_{k=1}^{100}Σk^6exp(-kxcot(\frac{π}{14}))cos(kx)}$$は$${0}$$に$${x>0}$$から$${x=0}$$、または$${0}$$に近い負の値へと収束するように見える。

n=7

 俺の視覚的な予想 

$$
\lim_{+x \to +0}\sum_{k=1}^{∞}k^7exp(-kxcot(\frac{π}{16}))cos(kx)=?
$$

$$
\sum_{k=1}^{∞}k^7exp(-k・0・cot(\frac{π}{16}))cos(k・0)=∞
$$

 次に、俺は$${n=7}$$を視覚化する。俺は$${k}$$を$${k=100}$$とする。$${\sum_{k=1}^{100}k^7exp(-kxcot(\frac{π}{16}))cos(kx)}$$である。

図24


上記を見ると、$${\sum_{k=1}^{100}k^7exp(-kxcot(\frac{π}{16}))cos(kx)}$$は0にx>0からx=0に近い値へと収束するように見える。俺は上記の図を拡大してみる。

図25

俺の印象では、$${\lim_{+x \to +0}\sum_{k=1}^{100}k^7exp(-kxcot(\frac{π}{16}))cos(kx)}$$は$${0}$$に$${x>0}$$から$${x=0}$$、または$${0}$$に近い正の値へと収束するように見える。

まとめ

 以下では、俺は俺の行為をまとめる。数式は杉山に依存する。

俺の行為

 俺の行為1 俺は杉山式を杉山と異なる方法で視覚化した。その結果、俺は無限級数において収束値が$${x>0}$$から$${x=0}$$へと近づいて行く様子を獲得した。同時に、俺は無限級数が$${x=0}$$で感覚通りに発散することも視覚化した。

 杉山はkを横軸にとり、yを縦軸に取った。そして、彼はkを大きくすると、yが大きなk(項数)において$${-\frac{1}{12}}$$になることを視覚化した。彼はxを微小な数として取った。それに対して、俺はxを横軸に取り、yを縦軸に取った。そして、それぞれのnに対して、俺はkを大きくしていった。それぞれのkは一枚のグラフ(図)に対応する。その結果、俺は俺は無限級数において収束値、例えば$${-\frac{1}{12}}$$が$${x>0}$$から$${x=0}$$へと近づいて行く様子を獲得した。同時に、俺は$${1+2+3+\ldots}$$が感覚通りに発散する視覚化も同じ一枚のグラフの中で獲得した。杉山の視覚化では、$${1+2+3+...}$$が無限になり、かつ$${-\frac{1}{12}}$$になることを視覚化できていない。一方、上記の視覚化では、俺は$${1+2+3+\ldots}$$が無限になり、かつ$${-\frac{1}{12}}$$になることを視覚化した。

 俺の行為2 俺は複素数や解析接続を使用せずに、俺はある種の無限級数が特定の値、例えば$${-\frac{1}{12}}$$を取ることを視覚化することができた。

$${1+2+3+\ldots}$$が$${-\frac{1}{12}}$$になることを証明するためには、複素数や解析接続の考えが必要であるらしい。しかし、俺の図示では、俺は$${1+2+3+\ldots}$$が$${-\frac{1}{12}}$$と$${1+2+3+\ldots}$$が無限になることを直感的に視覚化することができるようになった。つまり、$${1+2+3+\ldots}$$が無限になるのは、$${x=0}$$上でのyの値が無限へと大きくなることであり、$${1+2+3+\ldots}$$が$${-\frac{1}{12}}$$になるのは、$${x>0}$$から$${x=0}$$へと$${y=-\frac{1}{12}}$$が近づいていくことである。

 俺の行為3 俺は杉山式を視覚的に意味づけして、$${1+2+3+\ldots}$$が$${-\frac{1}{12}}$$と$${1+2+3+\ldots}$$が無限になることを視覚的に解釈した。

杉山のグラフでは、杉山式が$${-\frac{1}{12}}$$になることのみが視覚化されている。杉山の図示では、杉山は杉山式が$${-\frac{1}{12}}$$を取ることを確認した。それに対して、俺の図示では、俺は$${1+2+3+\ldots}$$が$${-\frac{1}{12}}$$なることと$${1+2+3+\ldots}$$が無限になることを同時に視覚的に意味づけした。俺は$${1+2+3+\ldots}$$が$${-\frac{1}{12}}$$なるのは$${-\frac{1}{12}}$$が$${x>0}$$から$${x=0}$$へと近づいていった結果であると視覚的に解釈した。俺は$${1+2+3+\ldots}$$が$${-\frac{1}{12}}$$なるのは無限が$${x=0}$$で無限大へと発散した結果であると視覚的に解釈した。その結果、俺は$${x=0}$$での発散と$${x=0}$$での収束値と$${x>0}$$から$${x=0}$$への収束値を図示の中で視覚的に発見した。

電飛

 以下では、俺は上記に関連した電飛(link)を提示するつもりである。。なお、俺は数式の間違いやグラファーへの打ち間違い、俺の単なる勘違いや間違いの可能性を排除しない。当然のことながら、閲覧者は上記の文章を疑うことができる。繰り返すが、俺は数学について素人である。だから、俺は上記の情報を正しいと断言しない。閲覧者は怪しい情報を暇つぶしに楽しんで。

 俺は数式を一番から引用した。しかし、俺の印象では、俺の解釈は彼の解釈と異なるように見える。特に、俺は彼の電網場所で提示された図をうまく理解できなかった。彼はn(またはk)を横軸にとっているように見える。俺はxを横軸にとり、yを縦軸にとった。yは杉山数式における(xに対応する)値それ自体である。

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無限級数1^n+2^n+3^n+4^n+…の視覚的な図示〜1≦n〜

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