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Fast Diffusion Equationにおける解の有限時刻消滅(Extinction in finite time)について
今回は, $${m \in \left(0, \dfrac{[N-2]_+}{N}\right)}$$のとき解の有限時刻消滅が起こることを示す.
次の定理を示す.
Theorem(Extinction in finite time)
$${N \geqslant 3}$$, $${0 < m < \dfrac{N-2}{N}}$$, $${u_0 \in L^1(\R^N) \cap L^p(
Porous Medium Equation, Fast Diffusion Equationにおける質量保存則について(その3)
では, 次のHerrero-Pierreの不等式を証明する.
Lemma 1(Herrero-Pierre's ineq.)
Theorem 1と同じ仮定をする. このとき, 任意の$${R>0}$$, $${t,s \geqslant 0}$$に対して,
$$
\displaystyle \left(\int_{B_R}u(x,t)\ dx\right)^{1-m} \leqslant \
Porous Medium Equation, Fast Diffusion Equationにおける質量保存則について(その2)
では, 次に$${0 < m < 1}$$の場合であるFast Diffusion Equationの質量保存則を示す.
次の定理がしたがう.
Theorem 2(Mass conservation law for the Fast diffusion equation)
$${0 < m < 1}$$, $${u_0 \in L^1(\R^N)}$$, $${u_0 \geqslant 0
Porous Medium Equation, Fast Diffusion Equationにおける質量保存則について(その1)
これから, Porous Medium EquationとFast Diffusion Equationの性質の特徴である質量保存則について述べる.
まず, $${m > 1}$$のときに質量保存則が成立することを示す. 前回に述べたように, $${m > 1}$$の場合は拡散速度が非常に遅いため, これは直感的にも成立しそうということがわかる.
では, 次の初期値問題
$$
(1) \ \
Fast Diffusion Equation, Porous Medium Equationについて
私が修士のときに扱っていた偏微分方程式は,
$${\partial_t u = \Delta u^m}$$
であり, これは$${m}$$の値に応じて次のような名称がついている.
$${m=1}$$: 熱方程式(Heat Equation),
$${m>1}$$: 多孔質媒質方程式(Porous Medium Equation),
$${0 < m < 1}$$: Fast Diffus