Porous Medium Equation, Fast Diffusion Equationにおける質量保存則について(その1)

これから, Porous Medium EquationとFast Diffusion Equationの性質の特徴である質量保存則について述べる.

まず, $${m > 1}$$のときに質量保存則が成立することを示す. 前回に述べたように, $${m > 1}$$の場合は拡散速度が非常に遅いため, これは直感的にも成立しそうということがわかる.

では, 次の初期値問題

$$
(1) \ \ \
\begin{cases}
\partial_tu = \Delta u^m &
{\rm in}\ \mathbb{R}^N \times (0,\infty),\\
u = u_{0} &{\rm on}\ \ \R^N \times \{t = 0\}
\end{cases}
$$

を考え, 問題(1)の解の定義を与える. 

$${u = u(x,t)}$$が問題(1)のVery weak solutionであるとは, 次をみたすことである.

1. $${u \in C([0, \infty); L^{1}(\R^N)) \cap L^\infty(\R^N \times (0,\infty))}$$,

2. 任意の$${\varphi \in C_0^\infty(\mathbb{R}^N \times (0,\infty))}$$に対して, $${\\\displaystyle \int_0^\infty\int_{\R^N}u(x,t)\partial_t\varphi(x,t)\ dxdt = \int_0^\infty\int_{\R^N}u^m(x,t)\Delta\varphi(x,t)\ dxdt\\}$$をみたすことである.

さて, 次の定理を示していく.

Theorem 1(Mass conservation law for the porous medium equation)

$${m > 1}$$, $${u_0 \in L^1(\R^N)}$$かつ$${u_0 \geqslant 0}$$をみたすとする. このとき, 問題(1)のVery weak solution $${u = u(x,t) \geqslant 0}$$が一意に存在し, 任意の$${t > 0}$$に対して

$$
\displaystyle (2)\ \ \ \ \int_{\R^N}u(x,t)\ dx = \int_{\R^N}u_0(x)\ dx
$$

が成立する.

証明

今回は(2)のみを形式的に示す. 計算の正当化は後の解の存在の証明で行う.

$${\zeta_n \in C_0^\infty(\R^N)}$$を

1. $${\zeta_n = 1}$$ for $${|x| \leqslant n-1}$$,

2. $${\zeta_n = 0}$$ for $${|x| \geqslant 0}$$,

3. $${\zeta_n \in (0,1)}$$ for $${n-1 < |x| < n}$$

かつ, $${n \geqslant 2}$$に対して, 2階微分が$${\R^N}$$で一様有界であるようなカットオフ関数とする. よって, 部分積分より,

$$
\begin{array}{}
\displaystyle\int_{\R^N}u(x,t)\zeta_n(x)\ dx - \int_{\R^N}u_0(x)\zeta_n(x) dx &=&\displaystyle\int_0^t\int_{\R^N}\partial_su(x,s)\zeta_n(x)\ dxds \\
&=&\displaystyle \int_0^t\int_{\R^N}\Delta u^m(x,s)\zeta_n(x)\ dxds\\
&=&\displaystyle \int_0^t\int_{\R^N}u^m(x,s)\Delta \zeta_n(x)\ dxds\\
&=&\displaystyle \int_0^t\int_{n-1 \leqslant |x| \leqslant n} u^m(x,s)\Delta \zeta_n(x)\ dxds\\
&\to& \displaystyle 0\ \ {\rm as}\ \ n \to \infty\ \ \\
\end{array}
$$

がしたがう. $${n\to\infty}$$としたとき最後の積分が0になるのは, $${u}$$が$${\R^N}$$上で可積分であるので, 無限遠方ではほぼ0になっているからである. 以上の議論より,

$$
\displaystyle \int_{\R^N}u(x,t)\ dx = \int_{\R^N}u_0(x)\ dx
$$

が得られ, 質量保存則が示された. $${\square}$$

$${0 < m < 1}$$の場合, つまりFast Diffusion Equationでは, 同様の手法を用いて示すことはできない. なぜなら, $${u}$$が$${\R^N}$$上で可積分でも, $${u^m}$$が可積分がどうかわからないからである. 例えば, $${\dfrac{1}{1+x^2}}$$は$${\R}$$上で可積分であるが, これを$${\dfrac{1}{2}}$$乗した関数$${\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}}$$は可積分ではない. したがって, Fast Diffusion Equationの場合では別の手法を用いて証明しなければならない.

次回ではFast Diffusion Equationの質量保存則について述べる.