Fast Diffusion Equationにおける解の有限時刻消滅(Extinction in finite time)について

今回は, $${m \in \left(0, \dfrac{[N-2]_+}{N}\right)}$$のとき解の有限時刻消滅が起こることを示す.
次の定理を示す.

Theorem(Extinction in finite time)

$${N \geqslant 3}$$, $${0 < m < \dfrac{N-2}{N}}$$, $${u_0 \in L^1(\R^N) \cap L^p(\R^N)}$$, $${u_0 \geqslant 0}$$をみたすとする. このとき,

$$
u \in C([0,\infty); L^1(\R^N)) \cap L^\infty(\R^N \times (0,\infty)),\\
\partial_t u = \Delta u^m\ \ {\rm in}\ \ \mathcal{D}'(\R^N\times(0,\infty))
$$

をみたす$${u = u(x,t) \geqslant 0}$$が存在する. さらに, $${p > \dfrac{N(1-m)}{2}}$$のとき

$$
\|u(t)\|_{L^\infty(\R^N)} \equiv 0,\ \ \forall t \geqslant T_0
$$

となる$${t = T_0}$$が存在する.

証明
簡単のため, $${u = u(x,t)}$$とする. 方程式$${\partial_t u = \Delta u^m}$$の両辺に$${pu^{p-1}}$$をかけて$${\R^N}$$上で積分すると, 左辺は

$$
\displaystyle \int_{\R^N}pu^{p-1}\partial_t u\ dx = \frac{d}{dt}\int_{\R^N}u^p\ dx
$$

であり, 右辺はGreenの定理と合成関数の微分を用いると

$$
\begin{array}{}
\displaystyle p\int_{\R^N}u^{p-1}\Delta u^m\ dx
&=&\displaystyle-p\int_{\R^N}\nabla u^{p-1}\cdot \nabla u^m\ dx\\
&=& \displaystyle -p(p-1)m\int_{\R^N}u^{p-2}u^{m-1}\nabla u \cdot \nabla u\ dx \\
&=&\displaystyle -p(p-1)m\int_{\R^N}u^{\frac{p+m-1}{2}-1}u^{\frac{p+m-1}{2}-1}\nabla u \cdot \nabla u\ dx \\
&=& \displaystyle-\frac{4p(p-1)m}{(p+m-1)^2}\int_{\R^N}\left|\nabla \left(u^{\frac{p+m-1}{2}}\right)\right|^2\ dx
\end{array}
$$

となる. ここで, Sobolevの不等式を用いると,

$$
\begin{array}{}
 \displaystyle -C(m,p)\int_{\R^N}\left|\nabla \left(u^{\frac{p+m-1}{2}}\right)\right|^2\ dx
&\leqslant&\displaystyle -C(m,p, N)\left(\int_{\R^N} u^{\frac{p+m-1}{2}\cdot\frac{2N}{N-2}}\ dx\right)^{2\cdot\frac{N-2}{2N}} \\
&=&\displaystyle -C(m,p,N)\left(\int_{\R^N} u^{\frac{p+m-1}{N-2}}\ dx\right)^{\frac{N-2}{N}}
\end{array}
$$

となる. ここで, $${p < \dfrac{(p+m-1)N}{N-2}}$$, すなわち$${p > \dfrac{N(1-m)}{2}}$$を用いると,

$$
\displaystyle -C(m,p,N)\left(\int_{\R^N} u^{\frac{p+m-1}{N-2}}\ dx\right)^{\frac{N-2}{N}} \leqslant -C(m,p,N)\left(\int_{\R^N} u^p\ dx\right)^{\frac{N-2}{N}}
$$

を得る. 以上をまとめると,

$$
\displaystyle \frac{d}{dt}\int_{\R^N}u^p\ dx  + C(m,p,N)\left(\int_{\R^N} u^p\ dx\right)^{\frac{N-2}{N}} \leqslant 0
$$

となるので, 両辺を$${\displaystyle \left(\int_{\R^N}u^p\ dx\right)^\frac{N-2}{N}}$$で割ると,

$$
\displaystyle \left(\int_{\R^N} u^p\ dx\right)^{-\frac{N-2}{N}}\frac{d}{dt}\int_{\R^N}u^p\ dx  + C(m,p,N) \leqslant 0
$$

である. ここで, $${\displaystyle U_p(t) = \int_{\R^N}u^p\ dx}$$とおき, 両辺を$${0}$$から$${t}$$まで積分すると,

$$
\displaystyle \int_0^t U_p^{-\frac{N-2}{N}}(s)U'_p(s)\ ds = U_p^{\frac{2}{N}}(t) - U_p^{\frac{2}{N}}(0)
$$

より

$$
\displaystyle \int_{\R^N}u^p\ dx \leqslant \left[\left(\int_{\R^N}u_0^p\ dx\right)^{\frac{2}{N}} - Ct\right]^{\frac{N}{2}}
$$

を得る. したがって, $${\displaystyle \|u_0\|_{L^p(\R^N)}^{\frac{2p}{N}} - CT_0 = 0}$$となるようにすれば, 非負関数の積分が$${0}$$であることから任意の$${t \geqslant T_0}$$に対して$${\|u(t)\|_{L^\infty(\R^N)} \equiv 0}$$となることがわかる. $${\square}$$

証明では, Sobolevの不等式や$${{\rm H\"{o}lder}}$$の不等式を全空間で用いたが, 本来は証明中での$${u}$$は近似古典解$${u_n \in C^{2,1}(B_n(0)\times(0,\infty))\ {\rm and}\ u_n \equiv 0\ {\rm outside}\ B_n(0)}$$を用いている. ここで, $${B_n(0)}$$は半径$${n}$$の$${N}$$次元球である.

実はPorous Medium, Fast Diffusionでのほとんどの評価は古典近似解を用いて証明を行なっており, この近似古典解はStandard quasi-linear theoryから存在することが知られている.

次回以降では, Fast Diffusion, Porous Medium equationの解の構成について述べる.