Porous Medium Equation, Fast Diffusion Equationにおける質量保存則について(その3)

では, 次のHerrero-Pierreの不等式を証明する.

Lemma 1(Herrero-Pierre's ineq.)

Theorem 1と同じ仮定をする. このとき, 任意の$${R>0}$$, $${t,s \geqslant 0}$$に対して,

$$
\displaystyle \left(\int_{B_R}u(x,t)\ dx\right)^{1-m} \leqslant \left(\int_{B_{2R}}u(x,s)\ dx\right)^{1-m} + C(m,N)|t-s|R^{-2+N(1-m)}
$$

が成立する. ただし, $${B_R}$$は原点中心半径$${R}$$の$${N}$$次元球である.

証明

方程式

$$
\partial_tu = \Delta u^m
$$

の両辺に$${\varphi \in C_0^\infty(\R^N)}$$, $${\alpha \in C_0^\infty(0,\infty)}$$をかけて両辺を積分すると,

$$
\displaystyle -\int_0^\infty\alpha'(t)\int_{\R^N}\varphi(x)u(x,t)\ dxdt = \int_0^\infty\alpha(t)\int_{\R^N}\Delta\varphi(x)u^m(x,t)\ dxdt
$$

となる. これは

$$
\displaystyle \frac{d}{dt}\int_{\R^N}\varphi(x)u(x,t)\ dx = \int_{\R^N}\Delta\varphi(x)u^m(x,t)\ dx\ \ {\rm in}\ \ \mathcal{D}'(0,\infty)
$$

を意味する. 右辺は, $${{\rm H\"{o}lder}}$$の不等式より,

$$
\begin{array}{}
\displaystyle \left|\int_{\R^N}\Delta\varphi(x)u^m(x,t)\ dx\right|
&\leqslant& \displaystyle \left(\int_{\R^N}|u(x,t)|\ dx\right)^{m}\left(\int_{\R^N}|\Delta\varphi(x)|^{\frac{1}{1-m}}\ dx\right)^{1-m}\\
&<& \infty \hspace{7cm}
\end{array}
$$

と評価できるので,

$$
\displaystyle (5)\ \ \ \ \ \ \frac{d}{dt}\int_{\R^N}\varphi(x)u(x,t)\ dx = \int_{\R^N}\Delta\varphi(x)u^m(x,t)\ dx\ \ {\rm in}\ \ L^1_{loc}(0,\infty)
$$

が得られる. (5)の右辺に対して再度$${{\rm H\"{o}lder}}$$の不等式を用いると,

$$
\begin{array}{}\displaystyle
\left|\int_{\R^N}\Delta\varphi(x)u^m(x,t)\ dx\right|
&=& \displaystyle \left|\int_{\R^N}\Delta\varphi(x)\varphi^{-m}(x)\varphi^m(x)u^m(x,t)\ dx\right| \hspace{3cm}\\
&\leqslant& \displaystyle \left(\int_{\R^N}\left|\Delta\varphi(x)\right|^{\frac{1}{1-m}}\varphi^{-\frac{m}{1-m}}(x)\ dx\right)^{1-m}\left(\int_{\R^N}\varphi(x)u(x,t)\ dx\right)^{m} \\
&=:& \displaystyle C(\varphi)\left(\int_{\R^N}\varphi(x)u(x,t)\ dx\right)^{m}\hspace{4.5cm}
\end{array}
$$

と評価できる. ここで,

$$
\displaystyle U(t) = \int_{\R^N}\varphi(x)u(x,t)\ dx
$$

とおけば, 常微分不等式

$$
\displaystyle (6)\ \ \ \ \ \frac{d}{dt}U(t) \leqslant C(\varphi)U^m(t)
$$

を得る. よって, (6)を

$$
\displaystyle U^{-m}(t)\frac{d}{dt}U(t) \leqslant C(\varphi)
$$

と変形し, 両辺を$${s}$$から$${t}$$まで積分すると,

$$
\displaystyle U^{1-m}(t) - U^{1-m}(s) \leqslant C(\varphi)|t-s|
$$

となる. よって,

$$
\displaystyle \left(\int_{\R^N}u(x,t)\ dx\right)^{1-m} \leqslant \left(\int_{\R^N}u(x,s)\ dx\right)^{1-m} + C(\varphi)|t-s|
$$

を得る. ここで, $${\varphi \in C_0^\infty(\R^N)}$$が

$$
\displaystyle (7)\ \ \ \ \ \ \ 0 \leqslant \varphi \leqslant 1,\ \ \varphi = 1\ \ {\rm on}\ \ B_R,\ \ \varphi = 0\ \ {\rm outside}\ \ B_{2R}
$$

をみたすものとすると,

$$
\displaystyle C(\varphi) \leqslant C(m,N)R^{-2+N(1-m)}
$$

が成立する. 実際, $${\varphi(x) = \psi\left(\dfrac{x}{R}\right)}$$とすれば,

$$
\begin{array}{}
\displaystyle C(\psi)
&=&\displaystyle \left(R^{- \frac{2}{1-m}}\int_{B_{2} \setminus B_1} \left|\Delta\psi\left(\frac{x}{R}\right)\right|^{\frac{1}{1-m}}\left|\psi\left(\frac{x}{R}\right)\right|^{-\frac{m}{1-m}}\ dx \right)^{1-m} \\
& = & \displaystyle \left(R^{- \frac{2}{1-m}+N}\int_{B_{2} \setminus B_1} \left|\Delta\psi\left(y\right)\right|^{\frac{1}{1-m}}\left|\psi\left(y\right)\right|^{-\frac{m}{1-m}}\ dy \right)^{1-m} \\
&\leqslant& C(m,N)R^{-2+N(1-m)}
\end{array}
$$

と評価できる. 以上をまとめると,

$$
\displaystyle \left(\int_{B_R}u(x,t)\ dx\right)^{1-m} \leqslant \left(\int_{B_{2R}}u(x,s)\ dx\right)^{1-m} + C(m,N)|t-s|R^{-2+N(1-m)}
$$

が得られ, (4)の証明が得られた. $${\square}$$

証明中の$${C(\varphi)}$$が可積分かつ(7)をみたす$${\varphi}$$の選び方は

$$
\varphi(x) =
\begin{cases}
1 & {\rm if}\ \ |x| < R,\\
\exp{\left(-\dfrac{R}{|x|(2R-|x|)}+1\right)} & {\rm if}\ \ R \leqslant x \leqslant 2R,\\
0 & {\rm if}\ \ |x| > 2R
\end{cases}
$$

とすればよい.

以上で, Porous Medium Equation, Fast Diffusion Equationにおける質量保存則についての証明を与えることができた.

次回は, Fast Diffusion Equationの解の有限時刻消滅(Extinction in finite time)について述べる.