放送大学「量子物理学」の理解のために

学部１年くらいの方が、この講義を理解するための記事です。

０．状態の重ね合わせとシュレーディンガの猫

NTT物性科学基礎研究所

　　よく言われる「０と１の重ね合わせ」では、何のことか分からない
　　と思います。要はベクトルの「和」なのです。
　　１をベクトル(1,0) で表し、０を (0,1)で表すと、
　　その和は、(1,1) であり、このベクトルの大きさを１に揃えたものを
　　「０と１の重ね合わせ」
　　と呼んでいるだけです。
　　「シュレーディンガの猫」は、主に以下の意味で使われます。
　　「生」をベクトル(1,0) で表し、「死」を (0,1)で表すと、
　　その和(1,1) ＝「生と死の重ね合わせ」は、我々の世界(マクロ世界)
　　で存在するか？　という話です。
　　この問題は、NTTの実験でマクロとミクロの中間領域では、
　　存在することが確かめられています。
　　https://www.brl.ntt.co.jp/J/2016/11/latest_topics_201611042223.html
　　また、マクロな素子をもつ量子コンピュータが動作すること自体
　　が、マクロ世界に「重ね合わせ」が存在することの証明と思います。
　　したがって、この教科書のp321　中段
　　　「マクロなレベルではシュレーディンガの猫状態は存在しない」　　　　と言い切るのは、おかしいと思います。
　　ここで引用している1986年の「Yurka - Stoler論文」は、
　　「コヒーレンス状態でなければ、猫状態は存在しない」
　　と言ってるだけで、
　　マクロであっても、はなから(t=0)から「コヒーレンス状態でない」
　　とは、言ってないはずです。

１．速習　線形代数 → ヒルベルト空間

　　ベクトル空間とは、以下を満たす集合である
　　　（和も定数倍も、結果が自集合に含まれる　ということがミソ）
　　　・任意の２つの元u,vの和も、自集合に含まれる。
　　　・任意の元vの定数倍も、自集合に含まれる。
　　　・v+0=0+v=v, 0v=v0=0 という「０ベクトル」が存在する。
　　　（大きさ(ノルム)や距離や積は定義してもしなくてもよい）
　　ベクトルの１次独立・１次従属
　　　　https://note.com/kafukanoochan/n/n5c88d2a438e4
　　線形変換、固有ベクトル、固有値
　　　　量子力学では、固有値が測定値になるので
　　　　固有値を求めることは、重要です。
　　　　https://note.com/kafukanoochan/n/ne4b20e285095
　　内積空間と正規直交基底
　　　　https://note.com/kafukanoochan/n/nd17f6e8ce600
　　ヒルベルト空間
　　　　完備な内積空間が、ヒルベルト空間です。
　　　　（Ｒ^n や Ｃ^n はOK。しかし Q^nはダメ）
　　　　完備とは、厳密には「コーシー列」で定義されますが、
　　　　内積空間の場合は、任意の元(ベクトル）の和が、必ずその内積空間
　　　　に含まれることです。
　　　　例えば、有理数のベクトル空間Q^2 の場合、
　　　　(1,1) のノルムは√2 ですが、(√2, 0) というベクトルはQ^2には
　　　　存在しないので、Q^2（一般にQ^n）は完備でないです。
　　　　量子力学は、完備な内積空間上のベクトルと、それに対する
　　　　演算子をベースにした「物理量を演算子とする力学理論」です。

２．速習　解析力学 → ハミルトン方程式、正準共役

　　　解析力学について速習するには　西野友年先生の
　　　「ゼロから学ぶ解析力学」をお勧めします。
　　　ラグランジアンが「運動エネルギー－位置エネルギー」と
　　　書けるとすると、ハミルトニアンＨは、
　　　「運動エネルギー＋位置エネルギー」になり、
　　　ハミルトンの正準方程式（正準運動量＝Ｐ_q　ただし q=x,y,z）
　　　∂Ｈ/∂Ｐ_q = dq/dt　　　　∂Ｈ/∂q = －dＰ_q/dt
　　　を満たします。
　　　これらの変数ｑとＰ_qの組は、互いに正準共役であると言います。
　　　シュレーディンガ方程式^Eψ(q,t) ={ (^Ｐ_q)^2/2m + V(q) }ψ(q,t) で
　　　^Ｐ_q＝ -ih'∂/∂q と置けるのは、正準共役である必要があります。

３．波動関数のちゃんとした定義

　　　現代で言う「波動関数」は、わけのわからない物質波でも、
　　　シュレーディンガ方程式の解そのもの　でもありません。
　　　ψ(q) と書いた場合、状態ベクトルの「物理量演算子qの固有空間」
　　　への射影で定義されます。つまり、
　　　ψ(q) |q> = |q><q|ψ>
　　　のψ(q)　が、ｑ表示の波動関数　です。
　　　シュレーディンガ描像では、これが、シュレーディンガ方程式
　　　に従って時間変化（時間発展）して行くとします。

４．状態ベクトルと「状態」の関係

　　状態ベクトルは、エルミート内積空間の元であり、
　　０ベクトルも状態ベクトルの１つである。
　　「状態」は、状態ベクトルの長さ(ノルム)を１に
　　規格化した射線であるので、「状態」に０ベクトルは含まれない。
　　また、「状態」の定数倍は、同じ「状態」なので、
　　状態空間（状態の集合）は、ベクトル空間ではありません。

５．量子力学の５つの公理(要請)

　　以下、清水明「新版量子論の基礎」による。
　　Ⅰ　系の純粋状態は、ある複素ヒルベルト空間Ｈの
　　　　規格化された「射線」で表される
　　Ⅱ　可観測量は、Ｈ上の自己共役演算子によって表される
　　　　自己共役演算子＝エルミート演算子とは限りません。
　　Ⅲ　状態|ψ>について、物理量Aの「誤差がない（無視できる）」
　　　　測定を行った時、測定値はAの固有値のどれかに限られる
　　　　その確率は「ボルンの確率規則」に従う。
　　Ⅳ　閉じた系の時間発展は、状態|ψ>が変化する描像では、
　　　　シュレーディンガ方程式に従う（ユニタリ発展）
　　　　物理量演算子が変化する描像では、
　　　　ハイゼンベルグの方程式に従う（ユニタリ発展）
　　Ⅴ　測定後の状態|ψ2>は、射影仮説に従う（非ユニタリ発展）

６．描像（表示）と形式

　　表示には、状態が時間変化(時間発展)するシュレーディンガ表示と
　　物理量(演算子)が時間発展するハイゼベルグ表示　があります。
　　形式には、波動関数と行列によるものがあります。
　　ハイゼベルグ表示では、行列形式だけですが、
　　シュレーディンガ表示では、どちらの形式でも記述できます。
　　「表示」といっても、波動関数を「位置表示の」とか書いてあるので
　　文脈に注意が必要です。
　　尚、教科書によって、表示のことを「描像」、形式のことを「表示」
　　と書くものが、かなりあります。