[線形代数]線形変換と固有ベクトル

１．線形写像
　　ベクトル空間のベクトルを変換して新しいベクトル空間に
　　写像(Map)するものです。
　　(線形変換とは、新しいベクトル空間でなくて元の空間の場合)
定義：R上のベクトル空間U、Vがあった時、この間の写像T:U→Vが
　　　次の条件を満たす時、線形写像という。
　　　　　　(1) T(u+v)＝T(u)+T(v)　　　　 u,v∈U
　　　　　　(2) T(cu)＝c T(u)　　　　　　 u∈U　c∈R
　　註：　
　　　　T:U→Vと書いただけで、T(u)＝u' T(v)＝v'　u',v'∈V u,v∈U
　　　　を意味する。
　　　　有界な多項式の集合は、ベクトル空間であるから、
　　　　多項式の微分・積分は、有界であれば線形写像である。
　　　　有界なら、フーリエ変換も線形写像と言える。

２．固有値と固有ベクトル
　　　線形変換T：V→V　とする。
　　　T(u)＝λu　　　（u∈V　u≠０　λ∈Ｒ）
　　　となるλを固有値と呼び、
　　　uを固有値λに属する固有ベクトルと呼ぶ。

　　　ベクトル Tuーλu = 0 u なので、行列 TーλＩ = 0　が言える。
　　　つまり、行列 TーλＩに、逆行列が存在しないことが条件。
　　　行列式 |TーλＩ| = 0を固有多項式と呼び、
　　　λについて解くと、λが固有値になる（一般に複数ある）
　
３．行列の対角化
　　　行列Ｂを線形変換Ｔ(Ｂ)により、対角行列Ａ　にする
　　　ことを、行列の対角化という。
　　　ベクトル空間Vのある基底を　u1、u2、、、uN　とする。
　　　この時　Ｔ(u_i)＝λu_i　（λ∈Ｒ）となっていたなら
　　　Ｔを行列で表すと、対角要素をλ_i とする対角行列Ａになる。
　　　対角行列Ａ＝Ｔ(Ｂ)＝Ｐ^-1 Ｂ Ｐ　と置くと、
　　　Ｐは、u_iを縦ベクトルとすると
　　　Ｐ＝（u1、u2、、、uN）という行列になる。
　　　証明：
　　　行列AとＢの関係は、ＰA=ＢＰ
　　　図で書くと、
　　　　　U　－(A)→　λU　　　　　　
　　　　　｜　　　　　｜
　　　　　P　　　　　　P　　　P：恒等写像
　　　　　↓　　　　　　↓
　　　　　U　－(B)→　U　
　　　の関係であり、
　　　左上端から右上端に行ったのと、下を通って行ったのが
　　　同じ結果になることから、
　　　　　　　Ａ＝Ｔ(Ｂ）＝P^-1BP
　　　が言える。
　　　この　対角行列Aを求めることは、即ち　P^-1BPの行列P
　　　を求めることに等しい。
　　　Ｐは、上記より、（u1、u2、、、uN）という行列となる。
　　　//
　　　特に、A、Pが実数行列なら「Bは実数体上で対角化される」という
　　　このＰをＴの変換行列。ＢをＴの表現行列　という。

４．固有空間
　　　１において、固有値λに対して、
　　　集合W(λ、T)＝｛u∈V｜T(u)＝λu｝とおき、
　　　このWをTの固有値λの固有空間という。