[線形代数] 内積空間と正規直交基底

内積が定義された空間は、前ヒルベルト空間というべきものです。
実数体上の内積空間を標準内積空間、複素数体上はエルミート内積空間
と言います。
内積の定義から、ベクトルの大きさ(ノルム)や、ベクトルが直交
する・しない　が出てきます。

１．内積空間の定義
　　　Ｆを、実数体Rまたは複素数体Cとし、ＨをＦ上のベクトル空間とする
　　　Ψ、Φ∈Ｈ　に対して、数＜Ψ、Φ＞ ∈Ｆ　が、
　　　以下の４つの性質を満たす時、＜Ψ、Φ＞を、
　　　Ｈの「内積」とよび、ＨをＦ上の「内積空間」という。
　　　(1) 線形性：　任意のΨ、Φ1、Φ2 ∈Ｈ　と　a,b∈Ｆ　に対して、
　　　　　　　　　＜Ψ、aΦ1 + bΦ2＞ ＝　a＜Ψ、Φ1＞＋ b＜Ψ、Φ2＞
　　　(2) 対称性：　任意のΨ、Φ ∈Ｈ　に対して、
　　　　　　　　　＜Ψ、Φ＞ ＝　＜Φ、Ψ＞*
　　　　　　　　ここで、<Ψ、Φ>の値を　aとすると、a* は a の複素共役
　　　(3) 正値性：　すべての　Ψ∈Ｈ　に対して、
　 　　　　　　　　　＜Ψ、Ψ＞ ≧　０　
　　　(4) 正定値性：＜Ψ、Ψ＞＝０　ならば、Ψ＝０（Ｈの零ベクトル）
　　　　　正定値性を満たさないが、(1)(2)(3)を満たすベクトル空間を
　　　　　半正定値性内積空間と呼ぶ。
　　　　　複素ベクトル空間において、エルミート内積でなく
　　　　　標準内積を定義すると、例えばΨ＝(i,1) ならば＜Ψ、Ψ＞＝０
　　　　　なので、この空間は、半正定値性内積空間である。

２．エルミート内積は非可換
　　　縦ベクトルΨ2を |Ψ2> と書き、それを転置し複素共役をとったもの
　　　を <Ψ2| と書くと、<Ψ2| は横ベクトルとなり、
　　　＜Ψ1、Ψ2＞＝<Ψ2｜Ψ1>　は、スカラー値になります。
　　　僕は、エルミート内積でも、値∈Ｒと思いこんでいました。
　　　が間違いです。
　　　また、標準内積は、交換しますが、エルミート内積は
　　　交換しません。
　　　<Ψ2｜Ψ1>＝（Ψ1、Ψ2*）= (Ψ2*、Ψ1)* = (<Ψ1｜Ψ2>)*

３．ベクトルのノルム
　　　実ベクトル空間の元v において、自分自身との標準内積
　　　複素ベクトル空間の元v において、自分自身とのエルミート内積
　　　の値∈Ｒの√は、ベクトルの大きさであり、
　　　これを、ノルムと呼ぶ。

４．ベクトルの直交
　　　実ベクトル空間の元u,v において、標準内積が０
　　　複素ベクトル空間の元u,v において、エルミート内積が０
　　　の時、u,v　は直交すると言う。
　　　基底 v1,v2,v3、、、v_N が、全て直交する時、つまり、
　　　< v_n, v_m> = δn,m
　　　正規直交基底と呼ぶ。
　　（なぜ正規かと言うと、基底のノルムはすべて１にとるから）