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数学科で学ぶ分野とキーワード

はとまつ

[最終更新日 2024年5月1日]

この記事では、数学科のカリキュラムの全体像を紹介します。大学の学部数学のシラバスを作りたいと考えています。


内容について About

大学の学士課程（B1~B4）のことを「学部」といいます。学部で勉強する数学を「学部数学」といいます。

数学の勉強は、学部や修士といった区切りが存在しないため、本来は自分の好みや能力に応じて学べます。しかし、効率的に学習するためには、基礎知識や学習の順序が大切です。大学のカリキュラムは、大学の先生方がその点を考慮に入れて設計されています。

このページでは、学部数学の範囲で、数学科で習う数学を紹介したいと思います。学部で習う数学は大学によって差異はあるものの、多くの大学で共通していることをリサーチして、まとめていきたいと思います。

【読者対象】

  • 大学数学に興味のある高校生

  • 数学を専門とする大学生・大学院生

  • 数学科に編入したい学生

  • 大学数学に興味のある社会人や数学科OB

【記事の構成】

大学の学年ごとに、分野とその内容をまとめています。

理解しておきたい概念を、分野ごとのキーワードとして並べています。

最後に、その分野の参考書とwebサイトを挙げています。

参考にした資料は、この記事の末尾に掲載しています。

【言い訳・注意点】

自分が勉強不足な箇所に関しては、かなりテキトウです。
各大学のシラバスを見ながら作成しています。

将来埋める予定のところをTBAと書いています。後半の方はTBAが多いです。推測で書いた分野も多いです。

また、一度の投稿で書ききれないので、随時加筆・更新していきたいと思います。更新頻度は遅いです。

B1

集合・写像・論理 
Basic Set Theory and Mathematical Logic

　大学数学では「集合」や「写像」といった概念が欠かせません。集合に「関係」や「順序」を定めることもあります。また証明の根底となる「論理」も必要です。数学科の学部では、まず始めに徹底指導を受けます。
　1年目の前半には、以下のキーワードを勉強します。

集合と要素$${x \in A}$$
和集合$${A \cup B}$$ / 共通部分$${A \cap B}$$ / 部分集合 $${A \subset B}$$
べき集合$${2^A}$$
  集合の相等$${ A=B }$$
必要十分条件$${ P \Leftrightarrow Q }$$
全称記号$${\forall}$$と存在記号$${\exists }$$  
 集合族 / ド・モルガンの法則  
写像$${f \colon A \to B}$$
値域 / 像$${f(A)}$$, 逆像$${f^{-1}(B)}$$ / 単射 / 全射 / 全単射
台$${ \text{supp} f }$$ / 写像の制限$${f|_A}$$
直積集合 $${A \times B}$$

　1年目の前半から後半の時期には、「関係」と呼ばれる元どうしの性質にも触れます。定義を覚えることが重要になってきます。

同値関係 / 同値類
順序関係  / 半順序集合 Poset
全順序集合 / ハッセ図  
上界, 下界 / 上限や下限 / 最大元や極大元 
ツォルンの補題 / 整列原理 / 選択公理 $${A.C.}$$

　1年目の後半の時期には、集合の元の個数に関する話題として集合の濃度などが紹介されます。後半の方は難しいので、軽く把握するだけでも良いと思います。

濃度
 有限集合 / 無限集合 / 一対一の対応
可算と非可算
$${\aleph_0}$$ や $${\aleph}$$
べき集合の濃度
ベルンシュタインの定理
カントールの定理 / 連続体濃度　

ラッセルのパラドックス
ブラリ＝フォルティのパラドックス

　集合や写像の入門にオススメの本として、以下を挙げます。
[1] 藤岡敦, 『手を動かしてまなぶ 集合と位相』,裳華房
[2] 内田伏一, 『集合と位相』, 裳華房
[3] 松坂和夫, 『集合・位相入門』, 岩波書店
[4] 森田茂之, 『集合と位相空間』, 朝倉書店, 2002
[5] 新井敏康, 『基幹講座 数学 集合・論理と位相』, 東京図書, 2016
[6] 竹山美宏, 『数学書の読みかた』, 森北出版, 2022
[7] Daniel Solow, 『証明の読み方・考え方』,共立出版, 2023

数学科の新入生に向けて　～数学科に入る前に知っておく/やっておくといいかもしれないこと～ - Period-Mathematics (hatenablog.com)


フラクトゥールや筆記体の書き方は、次の記事が大変参考になります。


線形代数 
Linear Algebra

いくつかの要素を並べた「行列」の和や積などを学びます。行列$${A}$$の不変量にあたるトレース $${\text{trace}  A }$$や行列式$${\det A}$$の計算方法を学んだり、行列の基本変形の習得を目指します。

　１年の前半では以下のキーワードを学習します。前半は、主に計算力が問われます。

行列 / 行列の和 / 行列の積 / スカラー
行ベクトルと列ベクトル / 転置行列 / 共役行列
エルミート行列 / 対称、反対称行列
対角行列 / トレース $${\text{trace}  A }$$
行列のブロック（ブロック行列）
置換や互換 / 対称群 / 置換の偶奇
$${\text{sgn} (\sigma ) = \pm 1 }$$
行列式$${\det A}$$の定義

$$
\det A = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn} (\sigma ) a_{1 \sigma(1) } a_{2 \sigma(2) } \cdots a_{n \sigma(n) }
$$

$${\text{trace}  A }$$や$${\det A}$$や行列式の性質
線形性 / 転置不変性

$$
\begin{cases}
\text{trace} (A+B) = \text{trace} (A) + \text{trace} (B) \\
\det (AB) = \det (A) \cdot \det (B)
\end{cases}
$$

行列の基本変形 / サラスの公式
行列式の余因子 / 余因子展開 / 逆行列と正則行列
$${n}$$次連立方程式 / クラメルの公式 
ガウスの消去法
掃き出し法

　また複素数や３次元ユークリッド空間の幾何学を扱います。

複素平面 / ド・モアブルの定理 / $${n}$$乗根
代数学の基本定理 / 三角不等式
コーシーシュワルツの不等式
ベクトルの内積 / ベクトルの外積 　

　１年の後半では、「線型空間」と呼ばれる集合と線形写像について扱います。前半の計算力も問われつつ、次第に抽象的な議論が増えていきます。

線型空間の公理 / ゼロベクトルや単位ベクトル
1次結合 / 線型空間の具体例 / 部分空間 
線型空間の共通部分 / 直和 
1次独立と1次従属 / 基底 / 次元 /  ランク
$${ \dim W_1 + \dim W_2 = \dim (W_1 + W_2) + \dim (W_1 \cap W_2) }$$
線形写像 / 線形写像の性質
核 $${ \text{Ker} f}$$ や 像 $${ \text{Im} f}$$ / 次元定理 
$${ \dim V = \dim (\text{Ker}f) + \dim (\text{Im} f) }$$
解空間 / 連立方程式の基本解
商線型空間 / 準同型定理
$${ V / \text{Ker} f  \cong \text{Im} f}$$

　線形代数パート２につづく…

行列や線形代数の入門書を挙げます。問題集も含めると、線形代数関連の書籍は膨大です。

[1] 三宅敏恒, 『入門線形代数』, 培風館, 1991
[2] 藤岡敦,『手を動かしてまなぶ 線形代数』, 裳華房, 2015
[3] 加藤文元, 『大学教養 線形代数』, 数研出版, 2019
[4] P.R. Halmos, Finite-Dimensional Vector Spaces, Springer New York, 2011
[5] Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra 5th edition

微分積分学 
Calculus

 　微積分学は、微分や積分について学びます。微積分学は解析学の入門にあたる分野です。高校までの微積分をϵ-δ論法によって定義・証明します。高校までは主に１変数関数の微分積分を考えましたが、大学からは2変数以上のものも扱います。
　
　1年目の前半では, 以下のキーワードを学びます。

 上界や下界 /$${\inf}$$や $${\sup}$$ / 数列
$${\epsilon }$$ - $${N}$$論法論法 / 極限の性質 / コーシー列 
実数の完備性 / アルキメデスの原理
$${\epsilon }$$ - $${\delta}$$論法
級数 / 連続関数 / 有界関数 
一様連続性
最大値・最小値の存在定理 / 中間値の定理
微分の定義 / 微分可能性 / ロルの定理 
平均値の定理 / 増加関数・減少関数
ネイピア数 / 指数関数や対数関数
三角関数や逆三角関数 / マクローリン展開
テイラー級数展開 / ランダウの記号 

$$
f(x) \approx f(a) + f^{(1)}(a)(x-a) +  f^{(2)}(a) \frac{(x-a)^2}{2!} +  f^{(3)}(a) \frac{(x-a)^3}{3!} + \cdots
$$

リーマン積分 / 微積分学の基本定理  
広義積分 / ガウス積分 / ガンマ関数

　後半は、前半の内容を踏まえつつ多変数関数も扱いや計算を求められます。

多変数関数の微分 / 偏微分 / 全微分
合成関数の微分 / 連鎖律 / ヤコビアン
2 変数のテイラーの定理 / ヘッセ行列式
 極大・極小
陰函数定理
逆関数定理
ラグランジュの未定乗数法 / 重積分
体積・曲面積 / 広義の重積分


[1] 三宅敏恒, 『入門微分積分』, 培風館, 1992
[2] 加藤文元, 『大学教養 微分積分』, 数研出版, 2019
[3] 斎藤 毅, 『微積分』,東京大学出版会, 2013
[4] 斎藤正彦,『微分積分学』, 東京図書, 2006
[5] 黒田成俊,『微分積分』,共立出版, 2002
[6] M. Spivak,  Calculus
[7]  James Stewart , Essential Calculus
[8] Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill International Editions

微分方程式 
Differential Equations

基本的な微分方程式の解き方を学びます。

チェインルール / ライプニッツ則
テイラー展開 / ランダウ記法
ロピタルの定理 / 微積分学の基本定理
置換積分 / 部分積分

常微分方程式
連立微分方程式
偏微分方程式
微分方程式の解
初等的解法

１階線形微分方程式
定数係数１階線形微分方程式
変数分離形 / 同次形
特殊解/ 一般解
特異解
ベルヌーイの微分方程式
リッカチの微分方程式
完全微分方程式
１階高次微分方程式

ロンスキアン
ヘシアン　

非線形１階微分方程式
平衡点 / 摂動
ロジスティック方程式

熱方程式
波動方程式
境界値問題

常微分方程式論や偏微分方程式論にて、解の存在や性質を厳密に研究します。

[1] 石村園子,『 改訂版 すぐわかる微分方程式』, 東京図書, 2017
[2] 三宅敏恒, 『微分方程式―やさしい解き方』, 培風館, 2007
[3] 原岡喜重, 『微分方程式 増補版』, 数学書房, 2016
[4] 笠原晧司, 『新微分方程式対話 新版』, 日本評論社, 2014
[5] 笠原晧司,『微分方程式の基礎』, 朝倉書店, 1982
[6] 稲見武夫, 『常微分方程式』, 岩波書店, 1998
[7] 中西襄, 『微分方程式』(サイエンス・パレット) , 丸善出版, 2016

[8] Lawrence Perko, Differential Equations and Dynamical Systems, Springer


群論 
Group Theory

代数で初めに出会うのは「群」と呼ばれる代数構造を持った集合です。
集合$${G}$$に演算$${ \cdot }$$ が定義されていて、結合法則、単位元、逆元がある代数系$${  (G , \cdot ) }$$ を群といいます。

群は現代数学において最も基本的で重要なものであります。はじめは有限群の性質を学習します。以下のキーワードを勉強します。

群$${G}$$の公理 / 群の具体例
対称群 $${S_n}$$ / 置換$${ \sigma }$$
交代群$${A_n}$$
二面体群$${D_n}$$ / 直交群$${O_n}$$
部分群$${H<G}$$ / アーベル群　
群の準同型 
共役元 $${ghg^{-1}}$$
左剰余類$${ gH }$$
右剰余類$${ Hg }$$
正規部分群$${\mathcal{N}}$$ / 同値関係 
剰余類(商群) $${G/ H}$$
群の同型 / 準同型定理
$${G/ \ker(\phi) \cong \text{Im}(\phi) }$$

群の位数$${|G|}$$ / 指数$${ [G:H] }$$
ラグランジュの定理$${|G| = (G \colon H)|H|}$$
群の作用
群軌道$${ G \cdot x }$$
安定部分群 (固定部分群) $${ \text{Stab}_G(x) }$$
群の中心 $${ \text{Z}(G)= \{ z \in G \mid zg = gz , \forall g \in G\} }$$
共役類$${ g H g^{-1} }$$
正規化群 $${ N_H(G)= \{ g \in G \mid g H g^{-1} = H \} }$$
シロー$${ p }$$部分群
シロー群の存在と性質
コーシーの定理 (群論)
ラグランジュの定理の逆が成り立つパターン
シローの定理
シローの定理と同値な命題
群環 $${R[G]}$$ / 半直積
バーンサイドの補題

$$
\#\{ \text{orbit} \}= \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} | \text{Fix}_x(g)|
$$


群論からは環や体といった、より複雑な構造に繋がっていきます。

　入門的な群論の参考書を挙げます。
[1] は赤色の表紙から「赤雪江」と呼ばれています。

[1] 雪江明彦, 『代数学 1 群論入門』, 日本評論社
[2] 浅野啓三, 永尾汎, 『群論』, 岩波書店, 2014
[3] 新妻 弘, 木村 哲三, 『群・環・体入門』, 共立出版
[4] 結城浩, 『群論への第一歩』, SBクリエイティブ, 2024
[5] 永井保成, 『代数学入門』, 森北出版, 2024
[6] Charles C Pinter, A Book of Abstract Algebra: Second Edition, Dover
[7] Peter J. Cameron, Introduction to Algebra, Oxford University Press, 2008
[8] I. Martin Isaacs , Finite Group Theory, AMS 2008
[9] I. N. Herstein, Topics In Algebra,‎ John Wiley & Sons, 1975

またYoutubeの講義動画も参考になります。
[10] 渡邉究 中央大学数学科准教授,「群論」@YouTube


初等整数論 
Elementary Number Theory

高校の整数分野の延長です。

素数 / 素因数分解の存在性・一意性
メルセンヌ素数 / 完全数
素数定理
ユークリッドの互除法 / 不定方程式の整数解
ベズーの等式
合同式 / フェルマーの小定理
トーシェント関数 / オイラーの定理
中国の剰余定理
ラグランジュの定理
原始根と指数 / 平方剰余
 平方剰余の相互法則
オイラーの規準 / ガウスの補題
ルジャンドル記号 / ヤコビ記号
同次二次形式 
平方和 / ガウス整数 / フェルマーの二平方和定理  
 フェルマーの最終定理(n=4)
フェルマー法
ペル方程式 / 連分数 / 2次体
ディリクレの算術級数定理

抽象的な整数論にはイデアルが必要なので、環論と並行して勉強する場合もあります。

[1] J.H.シルヴァーマン, 鈴木治郎, 『はじめての数論　原著第4版』, 丸善出版, 2022
[2] 青木昇, 『素数と2次体の整数論』（数学のかんどころ 15）, 共立出版, 2012
[3] 高木貞治、『初等整数論講義』
[4] Gareth A. Jones, Elementary Number Theory, Springer
[5] 山崎隆雄, 『初等整数論 数論幾何への誘い』 , 共立出版, 2015
[6] Martin H. Weissman , 安福 悠 , 『図解する整数論』, 丸善出版, 2022
[7] 荒川 恒男, 伊吹山 知義, 金子 昌信, 『ベルヌーイ数とゼータ関数 新装版』, 共立出版, 2022
Bernoulli Numbers and Zeta Functions, Springer Monographs in Mathematics

ユークリッド幾何学 
Euclid Geometry

群論や線形代数を用いてユークリッド空間について学習します。

合同変換
合同変換群
等長変換
平行移動
反転
鏡映
ユークリッドの運動群
二面体群

射影幾何やリー群論につながります。

[1] 藤岡敦 , 『幾何学入門教室』, 共立出版, 2024
[2] 岩堀長慶, 『復刻版　初学者のための合同変換群の話』, ‎ 現代数学社, 2020
[3] John Stillwell, Geometry of Surfaces, Universitext, 1992
[4] RUI WANG, Lecture Notes in Modern Geometry
https://math.berkeley.edu/~ruiwang/pdf/161.pdf  
[5] George E. Martin, Transformation Geometry An Introduction to Symmetry, Undergraduate Texts in Mathematics, ‎Springer, 1982
[6] Robert Bix, Topics in Geometry, Academic Press, 2014
[7] エヴァン・チェン, 『数学オリンピック幾何への挑戦　ユークリッド幾何学をめぐる船旅』,日本評論社, 2023

離散幾何学 
Discrete Geometory

タイル張り
パズルの数理
コンウェイ・タイル
ペンローズ・タイル

[1] M.A.アームストロング, 『対称性からの群論入門』, 丸善出版, 2012
[2] 秋山仁, 『離散幾何学フロンティア』, 近代科学社, 2020
[3] 高橋礼司, 『対称性の数学 文様の幾何と群論』, 筑摩書房, 2022
[4] Branko Grunbaum, Tilings and Patterns Second Edition, Dover Books on Mathematics


プログラミング 
Programming

数学科では、プログラミングも勉強します。純粋数学よりもプログラミングが好きで、IT系に就職する人も多いです。

プログラミングの基礎

プログラミング言語によって細かい違いはありますが、チュートリアルの段階で学習する事は共通しています。プログラミングの基礎知識は、アルゴリズムや機械学習などに必須です。
プログラミングの基礎として、以下の要素があります。

アセンブリ
コンパイル言語 / スクリプト言語
Hello world / プログラムの実行
四則演算 / 算術演算子
 演算の優先順位
論理演算子 / 比較演算子
if else分岐 / for ループ / while ループ
変数 / 整数型 / 実数型
文字列（string）
グローバル変数 / ローカル変数
変数のスコープ
配列
 リスト構造 
クラス（class）
関数の定義 / 再帰関数
ファイル読み込み / ファイル書き込み
Matplotlib などのデータ可視化 
正規表現

大学の授業では,伝統的な C言語 や、それとよく似た C++ が講義で用いられます。C言語はメモリやポインタの仕組み、C++はオブジェクト指向プログラミングを学べます。しかし、使えるアプリを作るには Python や JavaScript のほうが便利です。東京大学の「Python プログラミング入門」や京都大学の「プログラミング演習 Python」が公開されており、非常に参考になります。また、大学に在学していなくても、PythonやJavaScriptの学習には様々なオンラインコースが用意されています。

https://amorphous.tf.chiba-u.jp/lecture.files/chem_computer/index.html

LaTeX (組版ソフト)

数学科のレポート、スライドや卒論には、$${ \LaTeX }$$を用います。

$${ \LaTeX }$$は、1984年にドナルド・クヌースによって開発されたマークアップ言語です。厳密にはプログラミングではありませんが、プログラミングの要領で書くことが出来て、数式やグラフの入った文章作成に便利です。$${ \TeX }$$ の記法は、多くの数学者に利用されています。

スライド資料さえも、$${ \LaTeX }$$ の記法を用いた Beamer で作成します。

数学の勉強の成果を$${ \LaTeX }$$で記述しておくことで、理解が深まり、電子データとしても保存できます。

この記事の数式部分も、$${ \LaTeX }$$の記法で書いています。

Overleaf や CloudLaTeX というサイトに登録することで、オンライン上で無量で$${ \LaTeX }$$文書を作成できます。

またローカル（オフライン）環境の構築の記事はこちらにあります。


$${ \LaTeX }$$について深く学びたい方は、以下を参照すると良いでしょう。
[1] 奥村晴彦, 黒木裕介,『改訂第8版　LaTeX2ε美文書作成入門』, 技術評論社
[2] y. , 『TEX 講習会資料』,  http://iso.2022.jp/math/texintro2016/resume.pdf

[3] 村上友哉, TeXなど技術の情報まとめ

[4] 小田忠雄, 『数学の常識・非常識—由緒正しい TEX 入力法』
http://www.math.tohoku.ac.jp/tmj/oda_tex.pdf  

[5] 結城浩, 『数学文章作法 基礎編』, ちくま学芸文庫
[6] 結城浩, 『数学文章作法 推敲編』, ちくま学芸文庫

数学ソフト 
Mathematical Software

高度な数学になると、人間の手では処理できない方程式やグラフに出くわします。その場合、数式処理ソフトウェアを用いることで、簡単に解を得たり、デジタル画像を生成したりすることが出来ます。

よく利用されるソフトとして、Maple や Wolfram Mathematica などがあります。Juliaも話題になります。代数系の数式処理ソフトとして、Magma Calculator や SageMath などがあります。数値解析系のソフトとして、Matlab があります。統計系のソフトとして Excel や R などがあります。 グラフ計算機として、GeoGebra や Desmos などがオンライン上で利用できることで有名です。オフラインのグラフ描画ソフトとして、GraphCalc があります。また、他のプログラミング言語を利用して計算した結果を gnuplot などで可視化することが出来ます。

数式処理ソフトの中には有料のものがあります。大学生は、大学のライセンス契約によって個人で購入することなく利用できる場合があります。また、学割を申請できる場合もあります。

各言語の仕様や記述方法は、オンラインのチュートリアルや、公式ドキュメントを読み込んで勉強しましょう。

古典力学 
Classical Mechanics

高校の力学から発展した力学を扱います。

ニュートン力学
一般化座標系
最小作用の原理
オイラー＝ラグランジュ方程式
運動量保存
ネーターの定理
微小振動
剛体
角速度
角運動量
慣性テンソル
オイラーの運動方程式
オイラー角
$${SO(3)}$$
ルジャンドル変換
ハミルトニアン
相空間
ポアソン括弧
正準変換
リウヴィルの定理
ハミルトン–ヤコビ方程式

数学科のなかでも、理論物理（ゲージ理論など）に近しいことをやりたい人向けかもしれません。日本では、数学屋と物理屋は明確にカリキュラムが分かれていますが、カリキュラムを調べた限り、英国の名門大学では柔軟に物理も学んでいる印象があります（←個人の見解）。

[1] 兵頭俊夫, 『考える力学 第2版』, 学術図書出版社, 2021
[2] 藤原邦男, 『物理学序論としての力学』, 東京大学出版会, 1984
[3] 井田大輔, 『入門 現代の力学』, KS物理専門書, 講談社, 2022
[4] David Morin , Introduction to Classical Mechanics, Cambridge University Press, 2008

B2


位相と距離 
Topology and Metric Space

集合の後に習うものとして、位相空間や距離空間があります。解析学において「連続」という概念が非常に大切です。それを一般的に考えるために「近さ」を一般化したものが位相です。また、実解析での$${\epsilon }$$ - $${\delta}$$論法の一般化などを考えます。
距離空間については以下のキーワードを学びます。

距離の公理 / 三角不等式 / 距離空間の例 
$${ l^1 , l^2 , l^\infty }$$ ノルム
ヘルダーの不等式 / ミンコフスキー不等式
離散距離 / ユークリッド距離
開球$${B( \alpha , \epsilon )}$$
開集合 / 閉集合 / 近傍
開集合の性質 / 点列の収束
閉包 / 集積点 / 稠密性 
連続写像 $${f(B(a,\delta )) \subset B(f(a), \epsilon) }$$
コーシー列 
完備性 / 等長写像
距離空間の完備化  
バナッハの不動点定理 $${ \mathscr{F}(f)=f }$$

位相空間に関しては以下のキーワードを学びます。

位相空間の公理 / 位相空間の例
近傍 / 閉集合 / 収束 / 連続
$${ f(\bar{A}) \subseteq \bar{f(A)} }$$
内部 / 閉包 / 境界
孤立点 / 集積点 / 稠密性
ハウスドルフ空間 / 同相写像
連結 / コンパクト空間 / 開被覆
位相的性質 / 部分位相 / 積位相
点列コンパクト / 全有界空間 / 完備性
アルツェラ=アスコリの定理
一様連続 / 一様収束

[1] 藤岡敦, 『手を動かしてまなぶ 集合と位相』, 裳華房
[2] 内田伏一, 『集合と位相』, 裳華房
[3] 松坂和夫, 『集合・位相入門』, 岩波書店
[4] 志賀浩二, 『位相への30講』, 朝倉書店
[5] Bert Mendelson, Introduction to Topology, Dover
[6] MAT327 • TOPOLOGY, 2019

[7] Sidney A. Morris, Topology without tears,
https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/morris.pdf

[8] George F. Simmons, Introduction to Topology and Modern Analysis, Krieger Pub Co, 1983

解析学 
Real Analysis

実数の関数を中心とした、厳密な解析学を学びます。

実数列 / 級数
絶対収束 / リーマン再配列定理
ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理
級数の収束条件

連続性 / 中間値の定理
有界区間上の関数

微分の定義 / 微分可能性
和の微分 / 積の微分
連鎖律 / 逆関数の微分
ロルの定理
平均値の定理
逆関数の定理
テイラーの定理
ラグランジュの剰余形式
偏微分 / 多変数関数の微分
多変数テイラーの定理
最大値・最小値 / 極値

複素ベキ級数 / 収束半径
指数関数 / 三角関数 / 双曲関数

リーマン積分の定義
リーマン・スチルチェス積分
リーマン積分の性質
微積分学の基本定理
不定積分 / 部分積分
広義積分

[1] 田島一郎,『解析入門』 (岩波全書 325), 岩波書店, 1981
[2] 杉浦光夫,『解析入門I, II』,東京大学出版会, 1980
[3] 宮島静雄, 『微分積分学I, II』, 共立出版, 2003
[4] 小平邦彦, 『解析入門I, II』, 岩波書店
[5] Ernst Hairer, Gerhard Wanner, Analysis by Its History, Undergraduate Texts in Mathematics , Springer, 2008
( 蟹江幸博 (訳), 『解析教程 上・下』, 丸善出版, 2012)
[6] Stephen Abbott , Understanding Analysis. Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 2015
[7] M. Spivak, Calculus,  Addison–Wesley/Benjamin–Cummings, 2006
[8] Walter Rudin, Real and Complex Analysis, 1921
[9] Halsey Royden , Patrick Fitzpatrick, Real Analysis 4th edition, 2010
[10] Tom M. Apostol, Calculus, Wiley, 1967
[11] Teo Banica, Calculus and applications, arXiv:2401.00911, https://arxiv.org/abs/2401.00911 , 2024

線形代数 パート２
Advanced Linear Algebra

１年の線形代数の続きです。線形写像とその行列表現の関係や、線型空間の性質をより深く学びます。

張られる部分空間 / 商線型空間
補空間 / ４つの基本部分空間
固有値 / 固有ベクトル / 固有空間
固有方程式 / 最小多項式 / 重複度
ケーリーハミルトンの定理
対角化 / 表現行列 / 基底の変換
ユニタリ対角化
直交対角化
射影 / スペクトル分解
広義固有空間
ジョルダン標準形 / 三角化可能
ゲルシュゴリンの定理
二次形式 / 二次曲線の分類 / 回転行列

「双対」と言われる概念も学びます。

一次形式 / 双対基底
クロネッカーのデルタ$${\delta_{ij}}$$
双対線型空間$${V^*}$$ / カノニカル同型 
（ブラケット記法 ）

ベクトル$${ u,v \in V}$$に内積$${ \langle u,v \rangle }$$やノルム$${ \| u\| = \sqrt{ \langle u,u \rangle} }$$、距離 $${ d(u,v) = \| u-v \| }$$が定まります。

$${\mathbb{R}}$$上 または $${\mathbb{C}}$$上の内積空間
共役線形　
標準内積 / エルミート内積 / ノルム
コーシーシュワルツの不等式
三角不等式 / 中線定理
the polarization identity
平行四辺形の法則 
フォン・ノイマン-ジョルダンの定理
距離 / 等長変換 / 直交性 
直交基底 / シュミット直交化 
ルジャンドル多項式 / QR分解 
ヒルベルト基底 / ハメル基底  

正規行列 / テープリッツの定理

中級の線形代数を学ぶのにオススメの本
[1] 三宅敏恒, 『線形代数学 初歩からジョルダン標準形へ』, 培風館, 2008
[2] 佐武一郎, 『線型代数学』, 裳華房
[3] 齋藤正彦, 『線型代数入門』, 東京大学出版会, 1966
[4] 笠原皓司, 『新装版 線型代数と固有値問題』, 現代数学社, 2019
[5] 室田一雄, 杉原正顯, 基礎系 数学『線形代数I』『線形代数II』, 東京大学工学教程, 2015
[6] Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 2023
[7] P.R. Halmos,  Finite-dimensional vector spaces, Benediction Classics, 2015
[8] C.W. Curtis, Linear Algebra an introductory approach, Springer
[9] Gabriel Nagy, LINEAR ALGEBRA, https://users.math.msu.edu/users/gnagy/teaching/la.pdf



環論 
Theory of Rings

群論に引き続き、環や体というものを学びます。群論、初等整数論の知識を要します。

簡単に言えば、たし算、かけ算が自由にできる代数系を環といいます。また、わり算まで自由にできる代数系を体といいます。

環の定義
$${\mathbb{Z}}$$
多項式環
行列環
可換環 / 単位的環
 逆元や単位元の性質 /
環準同型 / 準同型定理
単元（単数,可逆元） / 単数群
零因子
整域
環の特徴づけ
体の定義 　
零因子 / べき零因子 

環準同型
剰余環
 $${ \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} }$$
 $${1}$$変数多項式環
多項式の次数の性質
多項式の剰余定理

イデアル $${\mathcal{I}}$$ を扱います。イデアルとは「〇倍数全体」という概念を一般化したものと言えます。

  • 例えば、整数全体$${\mathbb{Z}}$$に対して、偶数全体 $${  2\mathbb{Z} = \{0, \pm2, \pm4, \dots\} }$$は、条件１,２が成り立ち、$${\mathcal{I} =2\mathbb{Z}}$$は$${\mathbb{Z}}$$上のイデアルとなる。

    1. 「偶数の和は偶数」
      $${ 2n + 2n^\prime = 2 ( n+n^\prime )  \in 2 \mathbb{Z} }$$

    2. 「偶数の整数倍も偶数」
      $${ m \cdot (2n) = 2(mn)  \in 2\mathbb{Z}  }$$

イデアル $${\mathcal{I}}$$ は、群論の正規部分群$${\mathcal{N}}$$ と同じ役割をもち、環論において非常に大切です。

部分環
 イデアル
イデアルの生成元 / 単項イデアル
第一準同型定理
中国剰余の定理
イデアルの例
単項イデアル整域（PID）
ベズーの補題
$${R}$$のイデアルと$${R/I}$$の関係
素イデアル / 極大イデアル
一意分解整域(UFD)   
ユークリッド整域

ユークリッド整域とは、商と余りを求めることができる整域のことです。

ガウス整数環$${ \{\, a+b\sqrt{-1} \mid a,b \in \mathbb{Z} \ ,\} }$$
ガウス整数環はPID, UFD
ガウス整数環上での素元分解
ガウスの補題
アイゼンシュタインの既約判定法

体の構成
商体 / 可除環
体の標数
素体
$${ \mathbb{C} =\mathbb{R} [x]/(x^2+1) }$$
体の拡大次数

[2] は、青色の表紙から「青雪江」と呼ばれており有名です。青雪江は第２版がおすすめです。

[1] 桂利行,『代数学3 体とガロア理論』, 東京大学出版会, 2005
[2] 雪江明彦, 『代数学2 環と体とガロア理論』, 日本評論社
[3] 堀田良之 ,『代数入門(新装版) 群と加群』, 裳華房, 2021
[4] 永井保成, 『代数学入門』, 森北出版, 2024
[5] 中島匠一,『 代数と数論の基礎』‎ , 共立出版, 2000
[6] Peter J. Cameron, Introduction to Algebra, Oxford University Press, 2008
[7] Paul M. Cohn, Introduction to Ring Theory , Springer Undergraduate Mathematics Series, 2000
[8] Thomas W. Hungerford, Algebra, GTM 73, Springer, 1980


[9] 渡邉究, 中央大学数学科准教授「環論」@Youtube

[10] 明治大学数学科 後藤研究室 教科書
https://www.commalg.jp/~goto/teachings/textbook/ 

確率と統計 
Probability and Statistics

確率論の基礎

確率論の基礎です。数学科では「公理的確率論」を学びます。初めに確率とは何かを定義して、その定義から色んな確率に関する性質を証明していくスタイルです。３年、４年に進むと、測度論を用いたガチガチの確率論や確率解析といった内容に発展します。

標本空間$${\Omega}$$ / 事象
確率の公理 / 確率の性質
確率分布関数 / 独立性
条件付き確率 / ベイズの定理
確率変数 
（累積）分布関数 / 確率質量関数
確率密度関数
離散一様分布 / ベルヌーイ分布
二項分布 / ポアソン分布
幾何分布 / 負の二項分布
連続確率変数  / 一様分布
(標準)正規分布(or ガウス分布)
ガンマ分布 / ベータ分布
t分布、コーシー分布
指数分布 / χ2乗分布 
 2変数の確率分布
条件付き分布

期待値$${E[X]}$$  / 期待値の性質
分散$${V[X]}$$   / 共分散$${ \text{Cov}(X, Y) }$$ / 相関係数
和の分散 $${V[X+Y]= V[X] + V[Y] + 2 \text{Cov}(X, Y) }$$
条件付き期待値
モーメント母関数

マルコフ不等式  / チェビシェフ不等式
イェンセンの不等式
独立同一分布（I.I.D）
概収束 / 平均収束 
確率収束 
法則収束
大数の法則
弱大数の法則 $${ \lim_{n \to \infty } P[ \bar{X}_n - \mu > \epsilon ] = 0 }$$
強大数の法則 $${ P[ \lim_{n \to \infty } \bar{X}_n = \mu ] = 1 }$$
 中心極限定理
デルタ法

統計の基礎

統計学の基礎です。統計の仕組みや、検定の計算方法などをメインに学びます。次のキーワードを学びます。

母集団 / 標本調査
正規母集団 / 統計量
標本平均 / 標本分散 / 不偏分散
$${ \chi^2 }$$分布 / $${ F }$$分布 / $${ t }$$分布

点推定 / 尤度関数 
フィッシャー情報量
クラメールラオの不等式
最尤推定量
区間推定 / 信頼度
信頼区間 /  正規化
母比率 母平均 母分散の区間推定

仮説検定
帰無仮説 / 対立仮説
第１種の誤り / 第２種の誤り
有意水準 / 棄却域
両側検定 / 片側検定
母比率, 母平均の検定
母比率の差の検定

確率と統計を学ぶのに参考となる本を挙げます。
[1] 吉田伸生, 『新装版 確率の基礎から統計へ』, 日本評論社, 2021
[2] 藤田岳彦, 『弱点克服 大学生の確率・統計』, 東京図書, 2010
[3] 小島寛之, 『完全独習 統計学入門, ダイヤモンド社』, 2006
[4] 永田靖, 『統計学のための数学入門30講』, 朝倉書店, 2005
[5] Larry Wasserman, All of Statistics, Springer Texts in Statistics
さらに次のサイトが参考になります。
統計WEBの統計学の時間 

統計学のテストは、ルートキーのある電卓を用意するといいです。
おすすめの電卓は CASIO JF-120GT です。


フーリエ解析 
Fourier Analysis

線形代数の知識を用います。TBA

$$
\hat{f}(k) = \int_0^{2\pi} f(x)e^{-2 \pi i k x} dx
$$

$$
S[f] = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \hat{f}(k) e^{2 \pi i k x}
$$

直行系
フーリエ係数
フーリエ級数展開 / ベッセルの不等式 
パーセバルの等式 / プランシュレルの定理
リース表現定理
ディラックの$${delta}$$-関数
分布関数
フーリエ変換
ラプラス変換

常微分方程式の解法
ラプラス方程式
熱方程式

調和解析などに繋がります。

[1] エリアス・M. スタイン, ラミ・シャカルチ, 『フーリエ解析入門 (プリンストン解析学講義)』, 日本評論社, 2007
[2] 新井仁之, 『フーリエ解析学』, 朝倉書店, 2003
[3] T. W. Koerner, Fourier Analysis, Cambridge University Press, 1988
[4] 小出昭一郎 , 『物理現象のフーリエ解析』 (ちくま学芸文庫), 2018

曲線・曲面論 
Curves and Surfaces

曲線や曲面の解析をする分野です。線形代数・微分積分の幾何学への応用となっています。

平面曲線の定義
速度ベクトル / 曲線の長さ
正則曲線 / 特異点
弧長パラメータ
曲線のパラメータ表示・陰関数表示　
接ベクトル / 法ベクトル / 単位ベクトル
フレネ標構 / 曲率$${ \kappa }$$
フレネ・セレの公式 
捩率
内積 / 外積
 ヤコビ行列
$${ \mathbb{R}^3 }$$内の曲面の定義
第一基本形式
第二基本形式 / ガウス曲率
平均曲率
曲面上の測地線
曲面論の基本定理
測地三角形
ガウス・ボンネの定理
ポアンカレ・ホップの指数定理
ガウス方程式
コダッチ方程式

曲面の厳密な定義や性質を考えたことで、より高次元の幾何構造を考えることができるようになり、多様体論へと繋がります。

[1] 小林昭七, 『改訂版 曲線と曲面の微分幾何』, 裳華房, 1997.
[2] Loring W. Tu, Differential Geometry, Springer, 2017

ベクトル解析 
Vector Analysis

ベクトル解析は、物理（電磁気学、相対性理論など）に用いられます。

内積 / 外積
スカラー三重積$${ (\bm{a},\bm{b},\bm{c}) = \bm{a} \cdot (\bm{b}\times \bm{c})  }$$ 
方向微分 / 線積分
接ベクトル / 法ベクトル
スカラー場 / ベクトル場
回転$${ rot }$$ $${ curl }$$
発散$${ div }$$
勾配 $${\nabla}$$ 
ラグランジアン$${\Delta }$$ 
１の分割
グリーンの定理
面積分
ストークスの定理
ガウス発散定理
マクスウェル方程式
ラプラス方程式
ポアソン方程式
テンソル
アインシュタインの縮約記法
微分形式

[1] 小林真平,『曲面とベクトル解析』, 日本評論社, 2016
[2] 壁谷喜継, 川上竜樹, 『ベクトル解析入門 初歩からテンソルまで』,共立出版, 2019
[3] 小林亮, 高橋大輔, 『ベクトル解析入門』, 東京大学出版会, 2003
[4] 新井朝雄, 『現代ベクトル解析の原理と応用』 , 共立出版, 2006
[5] 岩堀長慶, 『ベクトル解析』, 裳華房, 1908

波動・電磁気学 
Waves and Electromagnetism 

微分方程式・ベクトル解析の知識を用います。

電磁気学は、時間変化のない静電場、静磁場から始まり、時間変化する電場磁場を学習します。

静電場
電流
電荷保存
ローレンツ力
ガウスの法則
電荷分布
点電荷、直線上の電荷、平面上の電荷
導体中の電荷

静磁場
アンペールの法則
ビオ・サバールの法則
電荷保存の法則
マクスウェル方程式
電磁波
偏波

ローレンツ変換
特殊相対性理論
マクスウェル方程式のテンソル表示


[1] 長岡 洋介, 新装版 物理入門コース『電磁気学I』『電磁気学Ⅱ』,岩波書店, 2017
[2] 深谷賢治『電磁場とベクトル解析』, 岩波書店, 2004
[3] 砂川重信, 物理テキストシリーズ4 電磁気学, 岩波書店, 1987
[4] Thomas A Garrity, Electricity and Magnetism for Mathematicians, Cambridge University Press , 2015

[5] The Feynman Lectures on Physics Vol. II, 『ファインマン物理学Ⅲ』

[6] EMANの電磁気学


ゲーム理論 
Game Theory

ミクロ経済学で有名なゲーム理論です。

ナッシュ均衡
ミニマックス定理
戦略
混合戦略
マックスミニ戦略 / ミニマックス戦略
2人ゼロ和ゲーム
鞍点

[1] 川越敏司, はじめてのゲーム理論, ブルーバックス, 講談社, 2012
[2] 岡田 章, 『ゲーム理論・入門 新版--人間社会の理解のために』 , 有斐閣, 2014
[3] 岡田章, 『ゲーム理論 第3版』,有斐閣, 2021
[4] H.W.クーン, S.ナサー, 『ナッシュは何を見たか―純粋数学とゲーム理論』,丸善出版,2014


B3

4回生の院試に備えて、3回生から院試対策の友人グループを見つけておくと良いでしょう。

測度とルベーグ積分 
Measure and Lebesgue Integrals

リーマン積分の一般化をします。そのためにはルベーグ測度という、「線分の長さの一般化」を考えます。測度を使ってルベーグ積分を定義します。ルベーグ積分の性質として、積分と極限の順序の交換などを学びます。ルベーグ積分は、リーマン積分よりも広いクラスの関数を積分できます。微積分学と集合位相の知識を要します。

有限加法的な集合族
有限加法的な測度 
有限加法性 / 単調性 / 有限劣加法性
完全加法的な測度
カラテオドリ外測度 $${\Gamma}$$
外測度 $${\Gamma}$$の構成
$${\text{inf}}$$の性質

$$
\text{inf}(S) = a \; \Leftrightarrow
\begin{cases}
\forall s \in S \;,\; a \leq s \\
\forall \epsilon >0, \; \exists s^\prime \in S\; s.t. \; s^\prime < a + \epsilon 
\end{cases}
$$

リーマン積分では、有界区間、有界関数についての積分を考えますが、ルベーグ積分では可測集合、可測関数に関する積分を考えます。リーマン積分可能ならばルベーグ積分可能なので、一般化になっています。

零集合
$${\Gamma}$$-可測 / 可測集合
$${\sigma}$$-加法族$${\mathfrak{B}}$$ / 測度$${\mu}$$
測度空間 $${ (X, \mathfrak{B}, \mu) }$$
測度の上方連続性 / 下方連続性
$${\Gamma}$$-可測集合全体は$${\sigma}$$-加法族
ボレル加法族
ほどんど至るところ $${ a.e. }$$ / ディリクレの関数
$${ A \ominus B = ( A \backslash   B) \cup ( B \backslash   A) }$$
測度空間の完備化 $${ (X, \bar{\mathfrak{B}}, \bar{\mu} ) }$$
可測関数
押し出し、引き戻し
連続関数との関係
単関数
単関数の積分
非負値可測関数の積分
可測関数の積分
リーマン積分との関係

単調収束定理 $${ \Leftrightarrow }$$ ファトゥーの補題 
$${ \Leftrightarrow }$$ ルベーグ優収束定理 
$${ \Leftrightarrow }$$ 級数の項別積分

収束定理の応用
熱方程式 / ディリクレ問題

外測度
外測度から得られる測度
ルベーグ外測度
ルベーグ測度の構成
カントール集合
単調族
ディンキンの補題
直積測度
フビ二の定理
重積分の順序交換
トネリの定理
積分記号下での微分
変数変換
微分と積分の順序交換
変数変換
$${L^p}$$空間
ヘルダーの不等式
ミンコフスキー不等式
絶対連続測度 $${ \nu }$$
ラドン・ニコディムの定理

$${  \lambda(A) = \int_A d \lambda = \int_A g d \nu \quad (A \in \mathcal{f})  }$$
ラドン・ニコディム微分
確率密度関数

[1] 吉田伸生, 『新装版 ルベーグ積分入門』, 日本評論社, 2021
[2] 相川弘明, 小林政晴, 『ルベーグ積分 要点と演習』, 共立出版, 2018
[3] 伊藤 清三,『新装版 ルベーグ積分入門』, 裳華房, 2017
[4] Marek Capinski, Measure Integral and Probability, Springer Undergraduate Mathematics Series, 2004
[5] Walter Rudin, Real & Complex Analysis
[6] A.N.Kolmogorov, S.V.Fomin, Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis, Dover Books, 1990
[7] Elliott H. Lieb, Michael Loss, Analysis, Graduate Studies in Mathematics, AMS, 2001
[8] René L. Schilling, Measures, Integrals and Martingales 2nd Edition, Cambridge University Press, 2017

多様体論 
Manifolds

微積分学、位相空間、曲線・曲面論の知識を用います。

多様体 $${\mathcal{M} }$$の定義 / 多様体の例
接空間 / 写像の微分
チェインルール
埋め込み / はめ込み
部分多様体
臨界値 / 正則値
余接空間 / 微分形式 / 双対性
外微分
微分形式の積分
ベクトル場 / 積分曲線 / フロー
リーマン計量 / 1の分割
サードの定理
向き付け可能多様体
ストークスの定理 $${ \int_{\mathcal{R}} d \varphi = \int_{\partial\mathcal{R}}  \varphi  }$$
ド・ラームの定理
ベクトル束

リー群，微分幾何(リーマン幾何)，モース理論などに繋がります。

"1の分割"のモチベーションは, 杉浦解析Ⅱに少し記述がある. 

[1] 川平友規, 『多様体の基礎のキソ』,  https://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/courses/kiso.html
]2[ Loring W. Tu, 枡田幹也, 阿部拓, 堀口達也, 『トゥー 多様体』, 裳華房, 2019
[3] 松本幸夫, 『多様体の基礎』, 東京大学出版会, 1988
[4] 松島与三,『多様体入門』, 裳華房, 2017

位相空間論 
General Topology

general topology (ジェネトポ)や analytic topology と呼ばれる分野です。位相空間のより細かい性質を学びます。

分離公理
リンデロフ可算コンパクト空間
分離空間
フィルター　超フィルター
フィルターの収束
チコノフの定理
アレクサンドロフ 一点コンパクト化
ストーン-チェック コンパクト化
固有射
連結性
局所連結
連結成分
ウリゾーンの距離化定理
パラコンパクト
ストーンの定理
ストーン双対性

[1] 神保秀一, 本多尚文, 『位相空間』, 数学書房, 2011
[2] 森田紀一,『位相空間論』,岩波オンデマンドブックス, 2017
[3] 児玉之宏, 永見啓応,『位相空間論』,岩波オンデマンドブックス, 2017
[4] シュヴァルツ, 斎藤正彦,『位相と関数解析』,東京図書,1974
[5] Tai-Danae Bradley, Tyler Bryson, John Terilla, 小森洋平 『圏論によるトポロジー』, 森北出版, 2023
[6] John Kelley, General Topology, Springer
[7]  William F. Basener, Topology and Its Applications, Wiley, 2006

次のサイト π-Base は、位相空間の具体例を調べるのに役立ちます。


群論 パート２
Advanced Group Theory

有限群論の詳しい性質と、位相幾何に必要な連続群の知識を学びます。

マグマ / 半群 / モノイド

自由群
被約語の一意性と普遍性
自由群の正規部分群
第一準同型定理
第二、第三準同型定理

単純群
単純群の例$${A_n}$$
組成列
ジョルダン・ヘルダーの定理
単純群の分類定理の概要
交換子部分群
可解群
導来部分群
半直積 / 群の拡大

コホモロジー群
クルル-シュミットの定理

位相群
線型群 ベキ級数
基本群 ファイバー空間
リー群 リー部分群
テイラーの展開定理

[1] 近藤 武, 『群論』 岩波基礎数学選書 , 岩波書店, 1991
[2] 鈴木通夫, 『群論』岩波オンデマンドブックス, 岩波書店, 2015
[3] 村上信五, 『連続群論の基礎』 朝倉復刊セレクション , 朝倉書店, 2019
[4] I. Martin Isaacs , Finite Group Theory, AMS 2008

代数的トポロジー 
Algebraic Topology

（代数的）トポロジーの入門的な内容です。代数的トポロジーとは、図形の位相的な性質を、代数的な性質に置き換え、その代数的な性質を調べることで、元の図形の幾何学的性質や不変量を調べる分野です。

位相空間論、群論、線形代数の知識を用います。

ホモトピー
ホモトピー群
連続写像のホモトピー
ホモトピー同値
基本群
ホモトピー不変性

被覆空間
道の持ち上げ / 写像度
ホモトピーリフト性質
基本群の計算
自由群 / 自由積 / 融合積
ザイフェルト - ファン・カンペンの定理

単体的複体
特異複体 / 胞体複体 / チェイン複体
単体的ホモロジー
ホモロジーの計算
ブラウアー固定点定理
鎖準同型
マイヤー・ヴィートリス完全系列
鎖複体（チェイン複体）
鎖群 $${C_r(K)}$$
境界作用素 $${ \partial_r \colon C_r(K) \to C_{r-1}(K) }$$
整数係数のホモロジー群

$$
\text{Hr}(K) = \begin{cases}
\text{Ker} (\partial_r )/ \text{Im} (\partial_{r+1} ) & 0 \leq r \leq n \\
 \{ 0 \} & {n>r}
\end{cases}
$$

球面のホモロジーと応用
曲面のホモロジー
 閉曲面の分類
オイラー数
オイラー標数と種数の関係
$${ \chi(S_g) = 2-2g}$$

[1] 杉原厚吉, 『トポロジー』, 朝倉書店, 2019
[2] 佐藤隆夫, 『基本群と被覆空間』, 裳華房, 2023
[3] 一樂重雄, 『位相幾何学』, 朝倉書店, 2019
[4] A.B.Sossinsky, TOPOLOGY-2, Math in Moscow Lecture Notes https://old.mccme.ru/ium//postscript/f09/TOP-2.pdf

 [5] 瀬山士郎, 『トポロジー』, 朝倉書店, 1989

[6] Allen Hatcher , Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2001


結び目理論 
Knot Theory

Knot Theory と呼ばれる分野です。

結び目
結び目の分類
結び目不変量
ライデマイスター移動
ジョーンズ多項式
カウフマン括弧
ブレイド群（組みひも群）

[1] Colin Adams, Knot Book An Elementary Introduction to Mathematical Theory of Knots, 1994
(C. アダムス, 『結び目の数学　結び目理論への初等的入門』, 丸善出版, 2021)
[2] W. B. Raymond Lickorish, An Introduction to Knot Theory, Springer, 1997
[3] 村上順 , 『結び目と量子群』 (すうがくの風景), 朝倉書店, 2000
[4] Dale Rolfsen, Knots and Links, AMS Chelsea Publishing, 2004
[5] Richard H. Crowell, Ralph H. Fox, Introduction to Knot Theory, Springer, 1963


複素解析 
Complex Analysis

Complex Analysis と呼ばれる分野です。複素関数論とも呼びます。複素解析とは、$${ \mathbb{C} }$$上の関数を中心に展開する解析学の分野です。微分積分と位相の知識を用います。リーマン面の理論や多変数複素関数論などに繋がります。

複素関数$${ f(z)= u +i v}$$ / 複素数の微分
偏微分 / 全微分 $${ \frac{d f}{d z} }$$
コーシー・リーマンの関係式

$$
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \;,\; \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} 
$$

正則関数
三角関数 / 双曲線関数
対数関数 / 累乗関数 / 多価関数  
領域 / 内点・外点・境界
連結性 / 弧状連結  
収束・発散・集積点
コーシーの収束条件 / 絶対収束
コーシー・アダマールの判定法
ダランベールの判定法
級数・積分の順序交換
ベキ級数の項別微分
ベキ級数の係数の一意性

ジョルダン曲線 / 単連結
パラメーター表示 / 線積分
ベキ関数の円周積分
$${\oint_C \frac{1}{z} dz = 2 \pi i}$$
コーシーの積分定理 $${\oint_C f(z) dz = const.}$$
周回変形の原理 / 回転数
コーシーの積分公式

$$
f(z) = \frac{1}{\; 2 \pi i \;} \oint_C \frac{ \; f(\zeta) \;}{\zeta - z} d \zeta
$$

正則関数のテイラー展開 / グルサの定理
モレラの定理 / リュービルの定理
代数学の基本定理
正則関数の零点 / 一致の定理
最大値原理 / シュワルツの補題
特異点 / ローラン展開
留数$${ \text{Res} }$$ / 留数定理
除去可能特異点 / 極 / 真性特異点
リーマン除去可能定理
ピカールの大定理
ルーシェの定理
偏角の原理
開写像定理

無限遠点 / リーマン球面 $${ \widehat{\mathbb{C}}=\mathbb{C} \cup \{ \infty\} }$$
立体射影 / 球面計量
有理関数 / フーリエ変換
主値積分
メリン変換　フレネル積分
偏角の原理 / ルーシェの定理
等角写像 / メビウス変換
円々対応 反転 
リーマンの写像定理
解析接続 
一価性の定理・モノドロミー定理
ガンマ関数 / ベータ関数 / ゼータ関数 

[1] 川平友規,  『入門複素関数』, 裳華房, 2019
[2] 川平友規,  『複素関数の基礎のキソ』
https://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/courses/kansuron.pdf
[3] 相川弘明, 『複素関数入門』, 共立出版, 2016
[4] Lars V. Ahlfors, Complex Analysis, 1979
[5] R.V.チャ-チル, J.W.ブラウン,『複素関数入門』新装版,数学書房, 2008
[6] T. ニーダム, 『ヴィジュアル複素解析』, 培風館, 2002
[7] 相原義弘, 野口潤次郎, 『複素解析　一変数・多変数の関数』, 裳華房, 2024
[8] H. A. Priestley , Introduction to Complex Analysis, Oxford Univ Press, 2003
[9]  Serge Lang, Complex Analysis, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1999


加群の理論・テンソル代数 
Modules and Tensor Algebra

加群の理論とは、線形代数の一般化です。線型空間の係数体を、環で置き換えたものが、環上の加群といいます。線形代数で成り立った主張が、加群では成り立たない場合が出てきます。

線形代数と環論の知識を要します。


加群の定義
ベクトル空間と加群の違い
部分加群
剰余加群
直和
直積
テンソル積
第一準同型定理

単因子論
行列の簡約化
単因子標準形(スミス標準形)
有理標準形
フィッティングの補題
ジョルダン標準形

自由加群
有限生成加群
ネーター性
完全系列 / 可換図式
加群の構造定理
ヒルベルト基底定理

[1] 堀田良之 ,『代数入門(新装版) 群と加群』, 裳華房, 2021
[2] 桂利行,『代数学 II 環上の加群』, 東京大学出版, 2007
[3] 岩永恭雄, 佐藤眞久, 『環と加群のホモロジー代数的理論』, 日本評論社, 2002
[4] 山崎圭次郎,『環と加群』岩波基礎数学選書, 岩波書店, 1990

[5] 松田茂樹, 加群について, 千葉大学大学院理学研究院
https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~matsu/math/module.pdf

体とガロア理論 
Field Theory and Galois Theory

群論・環論・初等整数論の知識を要します。

「５次方程式は（代数的な）解を持たない」こと（アーベル-ルフィニの定理）で有名なガロア理論です。方程式論に限らずガロア理論は、現代の代数学の基本的な手法となっています。また、派生した逆ガロア問題は今でも盛んに研究されています。

体の拡大$${  L / K  }$$
代数拡大 / 超越拡大 / 拡大次数$${ [ L \colon K ] }$$
単拡大$${ [ K(\alpha) ] }$$
有限次拡大は単拡大
持ち上げ / 中間体 / 合成体
最小多項式 / 既約多項式
アイゼンシュタインの判別式
代数閉体 / 代数閉包
分離拡大 / 分離多項式
完全体
最小分解体 / 代数的な元
自己同型群
分離閉包 / 不定元
純非分離拡大
正規拡大
有限体

ガロア拡大とガロアの基本定理
ガロア推進定理
クンマーの理論
ヒルベルトの定理90
アーベル-ルフィニの定理
作図可能性

[1] 加藤文元, 『ガロア理論12講』,KADOKAWA, 2022
[2] 永田雅宜, 『可換体論』, 裳華房, 1985
[3] Emil Artin, Galois Theory,Dover Publications, 1997
[4] Harold M. Edwards ,Galois Theory, Springer GMT101, 1984

[5]「代数学Ⅱ」全14回 雪江 明彦 理学研究科教授（2014年度）@Youtube

群論とガロア理論の歴史的な発展を知りたい人には, [6] がわかりやすい。
[6] 原田耕一郎,『群の発見』 ,岩波書店 , 2001

可換環論 
Commutative Rings

環論、体論とガロア理論の知識を要します。３～４回生で勉強します。

環の局所化
局所環
ヤコブソン根基
$${\text{Spec} A}$$
ザリスキー位相
ヒルベルトの基底定理
一意分解環
ネーター環
環の有限次拡大
ネーター正規化
素イデアル
クルル次元
アフィン環の次元
準素イデアル
既約イデアル
準素イデアル分解
準素分解の最短表示
デデキント環
正則環
次元論
DVR / 正規整域

群環 $${R[G]}$$
既約 / 完全可約 / 直既約
アルティン 性
組成列 / 正規列
ジョルダンヘルダーの定理
ヤコブソン根基
中山の補題
直積環
ウェダーバーンの定理
半単純環の構造定理

イデアル進完備化,
非特異代数曲線,
正則局所環
分岐被覆
デデキント環
一意分解

[1] 後藤四郎, 『可換環論の勘どころ』, 共立出版, 2017
[2] アティア, マクドナルド, 『可換代数入門』, 共立出版, 2006
[3] 堀田良之,『可換環と体』,岩波書店, 2006
[4] 松村英之, 『復刊 可換環論』, 共立出版, 2000
[5] 永田雅宜,『可換体論』, 裳華房, 1985
[6] David Eisenbud, Commutative Algebra: with a View Toward Algebraic Geometry, Springer, 1995
[7] M. リード, 伊藤由佳理, 『可換環論入門』, 岩波書店, 2000
[8] Jean-Pierre Serre, Local Algebra, Springer Monographs in Mathematics, 2010

[2]は「アティマク」と呼ばれてます。4年次のセミナーに最適です。Haを読むには第１章から第７章までの知識が必要らしい。

松本眞, 『代数学II：環と加群』, pdf
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/m-mat/TEACH/kan-kagun6.pdf

安藤遼哉, 『可換環論』, pdf
https://ryoya9826.github.io/files/note/ring.pdf

圏論 
Category Theory

圏論の基礎を学びます。圏論は Eilenberg と MacLane によって1940年代初頭に考案されました。Čech コホモロジーに取り組んでいた彼らは、日常的な操作とより具体的な議論を区別したかったのです。結果として、圏論が適しているとわかりました。数学者の中には、圏論を「万物の理論」と呼ぶ人もいます。

ちなみに、適切でない場面で圏論を持ち出すことをアブストラクト・ナンセンスと名付けられています。意外な分野に圏論を使えることを示して
、圏論の威力を実感する好意的な意味と、逆に圏論を前提知識にして、必要な議論を手を抜いているなどの否定的な意味があります。

  • 圏（Category）

  • 関手（Functor）

  • 自然変換（Natural transformation）

  • 普遍性（Universality）

  • 随伴関手（Adjoints）

などの概念の理解を目指します。

圏 $${\mathcal{C}}$$ / 対象 $${\mathcal{O}}$$  / 射 $${\mathcal{Mor}}$$
関手 / 部分圏
集合の圏 $${\textbf{Set}}$$
アーベル群の圏 $${\textbf{Grp}}$$
アーベル群の圏 $${\textbf{AbGrp}}$$
環の圏 $${\textbf{Rng}}$$ / 位相空間の圏 $${\textbf{Top}}$$
双対性
反対圏$${\mathcal{C}^{op}}$$
自然変換 / 図式
図式追跡]
関手 functor
Hom 関手
米田の補題
米田埋め込み
表現可能関手
テンソル積
普遍性
極限 余極限
  錐 cone
余錐 cocone
引き戻し Pullbacks
押し出し Pushouts
随伴関手
双関手
随伴関手の一意性・存在性
逆極限


[1] T.レンスター, 『ベーシック圏論』, 丸善出版, 2017
Tom Leinster, Basic Category Theory, https://arxiv.org/abs/1612.09375
[2] Samuel Eilenberg, Saunders MacLane, General Theory of Natural Equivalences, 1945
[3] 中岡宏行, 『圏論の技法』, 日本評論社, 2015
[4] 斎藤毅, 『数学原論』, 東京大学出版会, 2020
[5] Tai-Danae Bradley, Tyler Bryson, John Terilla, 小森洋平 『圏論によるトポロジー』, 森北出版, 2023
[6] E. Riehl, Category theory in context, 2016, https://math.jhu.edu/~eriehl/context.pdf

[7] Paolo Aluffi , Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics, 104) , 2021

[8] Francis Borceux. Handbook of categorical algebra. Cambridge University Press, 1994

[9] Brendan Fong, An Invitation to Applied Category Theory: Seven Sketches in Compositionality, Cambridge University Press, 2019
[10] Stephen Schanuel, William Lawvere, Conceptual Mathematics A First Introduction to Categories, Cambridge University Press, 2011
[11] Jiri Adamek, Horst Herrlich, George E. Strecker, Abstract and Concrete Categories The Joy of Cats, Wiley, 1990
[12] Paolo Perrone, Notes on Category Theory with examples from basic mathematics, https://arxiv.org/abs/1912.10642
 
[13] 森田真生, 『哲学者のための圏論入門』, https://choreographlife.jp/pdf/intro.pdf 


組合せ論 
Combinatorics


デザイン
配置
差集合
群環 $${R[G]}$$
自己同型写像
アダマール行列
ラテン方陣
数独
誤り訂正符号
母関数
キュムラント
ポリアの理論
分割 (partition)
ベル数
カタラン数
第2種スターリング数

[1]  G.ポリア 他,『組合せ論入門』, 近代科学社, 1986
[2] ヴァン・リント＆ウィルソン, 『組合せ論〈上・下〉』, 丸善出版, 2018
[3] ジョージ アンドリュース, キムモ エリクソン, 『整数の分割』, 数学書房, 2006
[4] George E. Andrews, The Theory of Partitions, ‎ Cambridge University Press, 2008
[5] Richard A. Brualdi, Introductory Combinatorics, Prentice Hall, 2008
[6] J. Riordan, An Introduction to Combinatorial Analysis, Wiley
[7] Alan Tucker , Applied Combinatorics, John Wiley & Sons Inc, 2012

グラフ理論 
Graph Theory

グラフ理論は、グラフと呼ばれる点 (point) と辺 (edge) の集まりを研究する分野です。グラフ理論は、電子回路や交通ネットワークなどの数理モデルに応用されています。また純粋数学においても、組合せ論や代数的トポロジーなどで非常に重要です。

グラフ / 頂点 / 辺
$${ G=(V,E) }$$
ループ / 有向グラフ
部分グラフ
連結グラフ / 非連結グラフ
隣接行列 / 接続行列
隣接リスト
オイラーグラフ
ハミルトングラフ
木
道 / 閉路
ハミルトン経路
平面性
単純グラフ
２部グラフ
完全グラフ
完全二部グラフ
握手補題
マッチング
タットの定理
ホールの定理
重み付きグラフ
ラベル付き単純グラフ
探索
連結度
最短経路
彩色グラフ
ケイリーの公式
オイラーの定理
平面的グラフ
彩色
彩色多項式
ブルックスの定理
流れフロー
$${k}$$-流
最小全域木
フォード・ファルカーソンのアルゴリズム
メンガーの定理
ラムゼーグラフ
ラムゼー数
極地グラフ
マイナーグラフ

[1]  R.J. ウィルソン,『グラフ理論入門』, 近代科学社, 2001
[2] R. ディーステル, 根上生也, 太田克弘訳, 『グラフ理論』, 丸善出版, 2012
[3] Adrian Bondy, U.S.R. Murty, Graph Theory, Graduate Texts in Mathematics 244, 2008
[4] D.B. West, Introduction to Graph Theory, 2nd edition, Prentice Hall, 2001
[5] A.E. Brouwer & W.H. Haemers, Spectra of graphs, Springer, 2012

[6] Darij Grinberg, An introduction to graph theory,

[7] はグラフ理論の歴史的な背景に詳しい. 
[7] Norman Biggs, E. Keith Lloyd, Robin J. Wilson, Graph Theory 1736-1936, Claredon Press, Oxford, 1990

アルゴリズムとデータ構造 
Algorithm and Data Structure

代表的なアルゴリズムについて学びます。グラフ理論の用語を用います。

計算量 / 累積和
データ構造
探索（サーチ）/ 整列（ソート）
文字列照合 / 動的計画法（DP）
幅優先探索（BFS）
深さ優先探索（DFS）
グラフ理論 / 最短経路問題
最小全域木 / グリーディ法
ダイクストラ法
トポロジカルソート
最大流問題
最小費用流問題
NP困難


[1] 米田優峻, 『競技プログラミングの鉄則』,マイナビ出版, 2022

[2] Jeff Erickson, Algorithms　
https://jeffe.cs.illinois.edu/teaching/algorithms/

[3] 早水桃子, 早稲田大学「離散数学入門」 @Youtube

[4] ゴンザロ・ナバロ, 定兼邦彦, 『コンパクトデータ構造』, 講談社, 2023


テンソル解析 ・微分形式 
Tensor Analysis and differential form

ベクトル解析、曲線・曲面論の知識を要します。
TBA

射影幾何学 
Projective Geometry

TBA

アフィン平面上での曲線

[1] 秋月康夫, 滝沢精二, 『復刊 射影幾何学』, 共立出版, 2011

常微分方程式論 
ODEs

TBA


常微分方程式
コンパクト距離空間　/ バナッハ空間
アスツェラ・アスコリの定理

リプシッツ条件

$${ |f(x,z) - f(x,y) | \leq L |z - y| }$$


リプシッツ連続
縮小写像の定理・バナッハの不動点定理
常微分方程式の解の存在

スツルム＝リウヴィル型微分方程式
自己共役作用素
グリーン関数
積分作用素
スツルム=リウヴィル型固有値問題
固有関数列の完備性

確定特異点型微分方程式
確定特異点と局所解
べき級数解 / 収束性
確定特異点 / 不確定特異点
決定方程式 / フロベニウスの方法
ベッセル関数　/ ルジャンドル関数
フックス型微分方程式
　ガウスの超幾何微分方程式
　


[1] 神保秀一, 『微分方程式概論』, サイエンス社, 1998
[2] 矢嶋信男,『常微分方程式』, 岩波書店, 2019
[3] 木村俊房, 『常微分方程式』, 共立出版, 1974
[4] 高橋陽一郎, 『微分方程式入門』, 東京大学出版会, 1998
[5] Vladimir I. Arnold, Ordinary Differential Equations, Springer, 2006

数値計算 
Numerical Analysis

TBA

ラグランジュ補完法
直行多項式
多項式回帰
ガウス消去法 / LU分解 / QR分解
コレスキー分解
最小二乗法

オイラー法
反復法
ルンゲ＝クッタ法
二分法 / ニュートン法
 ハウスホルダー法
Householder 変換
数値微分
数値積分
台形公式 / ロンバーグ積分
常微分方程式の数値的解法
偏微分方程式の数値的解法
数値表現 / 誤差

[1] 山本哲朗,『数値解析入門』, サイエンス社 2003
[2] 森正武, 『数値解析』, 共立出版, 2002
[3] 齊藤宣一, 『数値解析入門』, 東京大学出版会, 2012
[4] 河村哲也, 『数値計算入門』, サイエンス社, 2006
[5] 金子晃, 『数値計算講義』, サイエンス社, 2009
[6] 伊理正夫, 藤野和建,『数値計算の常識』,共立出版, 1985
[7] 三井斌友, 『常微分方程式の数値解法』, 岩波書店オンデマンド, 2020
[8] 杉原正顕, 室田一雄, 『数値計算法の数理』, 岩波書店, 2012
[9] Endre. Süli, David F. Mayers, An Introduction to Numerical Analysis, Cambridge University Press, 2012
[10] Germund Dahlquist, Åke Bjoerck, Numerical Methods in Scientific Computing: Volume 1 , Society for Industrial and Applied Mathematics, 2008
[11] 三井斌友, 田端正久『微分方程式の数値解法I, II』, 岩波書店, 1998
[12] 星守, 吉田利信, 小野令美,『入門 数値計算』, オーム社, 1999
[13] 一松信、, 『数値解析』朝倉書店, 1982


数理最適化 
Mathematical Optimization

数理計画

最適化モデル
線形計画法
凸解析と凸計画
非線形計画法
ネットワーク計画法
整数計画法
OR モデル
ラグランジュ双対問題

[1] 梅谷俊治, 『しっかり学ぶ数理最適化』, 講談社, 2020
[2] M.S. Bazaraa, J.J. Jarvis and H.D. Sherali, Linear Programming and Network Flows, Wiley, 2009


計算理論 
Theory of Computation


チューリング計算機
クリーネの再帰的関数
アルゴリズム的ランダム性
計算量理論
逆数学
モデル理論
コンパクト性定理
超準解析
幾何的モーデル・ラング予想
関係データベース
プログラミング意味論


[1] マイケル・シプサ, 渡辺治 他訳,『計算理論の基礎』, 共立出版, 2000年

オートマトンと形式言語理論 
Automata Theory

計算理論


帰納的可算言語
レジスタマシン
チューリング機械
再帰関数
帰納的可算集合
チャーチ＝チューリングのテーゼ
停止性問題
停止問題の決定不能性
万能チューリング機械
再帰定理
$${s_{mn} }$$定理
ライスの定理
チューリング次数
NP困難　NP完全

決定性・非決定性 有限オートマトン
正則言語
正則表現
ポンピング補題

文脈自由文法
文脈自由言語
チョムスキー標準形
正則言語の文脈自由性

[1] マイケル・シプサ, 渡辺治 他訳,『計算理論の基礎』, 共立出版, 2000
[2] J. ホップクロフト, J. ウルマン『言語理論とオートマトン』, サイエンス社, 2003




B4

数学科の4年目はゼミに配属されて、１つの分野を取り組みます。３年の後半くらいの時期に選びます。数学講究や卒業研究などと呼ばれています。担当教員の専門に近い分野を学びます。講義と研究の間のようなものです。就活や院試と並行してゼミの準備を行います。

  • 代数系（代数幾何、数論、p進数、群論、表現論）

  • 解析（函数解析、確率解析、数値解析）

  • 幾何（微分幾何、位相幾何）

  • 数理科学（共形場理論）

  • 応用（ゲーム理論、数理生物学、保険数理）

  • 基礎数学（集合論、型理論）


微分幾何学 
Differential Geometry

多様体の知識を要します。特にリーマン幾何学という分野を学びます。リーマン幾何学は、曲がった空間を研究する分野で、一般相対性理論や情報幾何などに応用されています

可微分多様体
smooth map
接ベクトル
接束
誘導写像
ベクトル場
フロー
リー括弧
リー微分
外積代数
微分形式
外微分
カルタンの公式
向きつけ可能性
1の分割
多様体上の積分
ストークスの定理
ドラームコホモロジー
リーマン計量
リーマン多様体
等長写像
測地線
リーマン曲率テンソル
断面曲率
リッチー曲率
スカラー曲率
ヤコビ場
リーマン部分多様体
完備リーマン多様体
ホップ・リノーの定理
カルタン・アダマールの定理
シンジの定理　

[1] 河野 俊丈, 『曲率とトポロジー』,東京大学出版会,2021
[2] 野水克己, 『現代微分幾何入門』, 裳華房, 1981
[3] 森田茂之, 『微分形式の幾何学』(岩波オンデマンドブックス), 岩波書店, 2016
[4] Michael Spivak, Calculus on Manifolds, W. A. Benjamin, 1965
[5]  William M. Boothby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, Academic Press, 2002
[6] 杉田勝実, 岡本良夫, 関根松夫, 『理論物理のための微分幾何学』, 森北出版, 2007
[7] Sigurdur Helgason, Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces, AMS, 2001
[8] Victor Guillemin & Peter J. Haine, Differential Forms
https://math.mit.edu/classes/18.952/2018SP/files/18.952_book.pdf  
[9] 高間俊至, 『微分幾何学ノート』 https://event.phys.s.u-tokyo.ac.jp/physlab2023/pdf/mat-article04.pdf  
[10] 加須栄篤, 『リーマン幾何学』, 培風館, 2001
[11] J. ミルナー,『モース理論 多様体上の解析学とトポロジーとの関連』, 吉岡書店, 2004

J. ミルナー先生のホームページ


ホモロジー代数 
Homological Algebra

ホモロジー代数の習得は、学部レベルの代数学の目標の一つです。加群・圏論・代数トポロジーの知識を用います。$${ \text{Tor}, \text{Ext} }$$, 群コホモロジーとホモロジーの計算をします。

圏と関手
随伴関手
自然変換
アーベル圏
チェイン複体
完全系列
チェインホモトピー
コサイクル
チェイン写像
$${ \text{Tor}, \text{Ext} }$$
平坦性
キネット公式
コッスル複体

群のコホモロジー
巡回群のコホモロジー
$${ H^1, H^2 }$$
バー構成


[1] 岩永恭雄, 佐藤眞久, 『環と加群のホモロジー代数的理論』, 日本評論社, 2002
[2] Charles A. Weibel, Introduction to Homological Algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 2008
[3] Joseph J. Rotman, An Introduction to Homological Algebra, Universitext Springer, 2008
[4] Torsten Wedhorn, Manifolds, Sheaves, and Cohomology, Springer, 2016

位相幾何学 
Geometric Topology


TBA

有限生成アーベル群
ホモロジー群
コホモロジー群
ホモトピー群
特異ホモロジー群
単体複体
マイヤー・ビートリス完全列
向き付け可能性
幾何化予想

[1] John Lee, Introduction to Topological Manifolds, GTM202, Springer, 2011
[2] 加藤十吉, 『位相幾何学』, 裳華房, 1988
[3] 壬生雅道, 『位相群論概説』,岩波書店, 1976
[4] 松本幸夫, 『トポロジー入門』(オンデマンド edition), 岩波書店, 2012
[5] 田村一郎, 『トポロジー入門』(オンデマンドブックス), 岩波書店, 2015
[6] John Stillwell, Classical Topology and Combinatorial Group Theory, GTM 72, Springer, 1995

[7] Aisling McCluskey and Brian McMaster, Topology Course Lecture Notes, Topology Atlas.

[8] Emily Riehl, Categorical Homotopy Theory, Cambridge University Press, 2014

次のサイトは、Allen Hatcher先生のホームページです。

計算トポロジー
Computational algebraic topology

Computational algebraic topology と呼ばれる分野です。代数トポロジーの知識を用います。

チェイン複体のホモロジー・コホモロジー
境界写像の計算
チェインホモトピー
蛇の補題
マイヤービートリス系列
ポアンカレ双対
アレクサンダー双対
離散モース理論

パーシステントホモロジー
トポロジカルデータ解析への応用

層（シーフ）理論
シーフ・コホモロジー
文脈依存性

[1] Herbert Edelsbrunner , John L. Harer, Computational Topology An Introduction, AMS, 2010

[2] U. Tillmann, Lecture notes for CAT 2012

函数解析 
Functional Analysis

解析学において、ある性質（微分可能性、積分の値が有限）を持った関数は非常に重要です。そのような関数を集めた集合（$${C[a,b]}$$や$${L^1[a,b]}$$）を考えます。これらの集合は、線形空間となっていることが多いです。したがって、線形代数のような理論を展開できますが、線型空間の次元は無限次元だったりします。これが関数解析です。

ルベーグ積分論の知識を要します。

単関数
単調収束定理 / 優収束定理
ルベーグ測度の存在
L^p空間の定義
コンパクト性
ルベーグ微分定理
エゴロフ定理
ルジンの定理
畳み込み / 分離性

ヒルベルト空間 / バナッハ空間
有界線形作用素
完全正規直交基底
射影定理 / リース表現定理
ラドン・ニコディムの定理
アスツェラ・アスコリの定理
弱収束 / 弱コンパクト性
ハーン・バナッハ拡張定理


ベールの範疇定理
一様有界性原理 / 開写像定理 / 閉グラフ定理

フーリエ解析
リーマン・ルベーグの補題 / 反転公式
プランシュレルの公式 / 双対性

ポアソン和公式
ソボレフ空間 / ソボレフ埋め込み
レリッヒ＝コンドラショフの定理
跡公式

楕円型偏微分方程式
ラプラスの方程式
ディレクレ問題
ラプラシアンのスペクトル分解

[1] 黒田成俊, 『関数解析』, 共立出版, 1980
[2] M. Reed, B. Simon, Functional Analysis, (Methods of Modern Mathematical Physics I), Elsevier, 1980
[3] 宮島静雄,『関数解析』, 横浜図書, 2005
[4] 藤田宏, 伊藤清三, 黒田成俊，『関数解析』，岩波講座基礎数学，岩波書店
[5] 新井朝雄, 『ヒルベルト空間と量子力学　改訂増補版』, 共立講座２１世紀の数学１６, 共立出版
[6] 生西明夫，中神祥臣『作用素環入門 I　関数解析とフォン・ノイマン環』 岩波書店

[7] Tomasz Kochanek, Functional Analysis lecture notes, https://www.impan.pl/~tkoch/FA_lecturenotes.html

[8] James C. Robinson , An Introduction to Functional Analysis, Cambridge University Press, 2020


偏微分方程式論 
PDEs

解析学・ルベーグ積分・フーリエ解析の知識を要します。



波動方程式
初期値問題
ダランベールの式
ホイヘンスの原理
境界値問題
熱方程式
フーリエ解析
ラプラス方程式
ポアソン方程式
ディリクレ問題
変分法
ポテンシャル論


[1] 藤田宏, 池部晃生, 犬井鉄郎, 高見穎郎, 『数理物理に現われる偏微分方程式』,　岩波オンデマンドブックス, 2019
[2] 井川満, 『偏微分方程式論入門』, 裳華房, 1996
[3] 溝畑茂,『偏微分方程式論』, 岩波書店, 1965
[4] 宮島静雄,『ソボレフ空間の基礎と応用』, 共立出版, 2006
[5] Vladimir I. Arnold, Lectures on Partial Differential Equations, Springer, 2009
[6] Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations , Graduate Studies in Mathematics, AMS, 2010
[7] Gerald B. Folland, Introduction to Partial Differential Equations, Princeton Univ Pr, 1995

数理モデル 
Mathematical Model

物理・経済・医学生理などの現象から生まれた構造や性質を数学的に解明する分野です。れっきとした純粋数学です。

[1] 高橋陽一郎,『漸近挙動入門』, 日本評論社, 2002
[2] 今井功, 『古典物理の数理』, 岩波書店, 2003

調和解析
Harmonic Analysis

TBA

Jason Murphy, A Course in Harmonic Analysis
https://web.mst.edu/~jcmcfd/harmonic-analysis.pdf

積分論
Integration Theory

スティルチェス積分
ダンジョワ積分
ヘンストック積分


[1] Russell A. Gordon, The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock (Graduate Studies in Mathematics, 4), 1994

超関数 
Hyperfunctions

ディラックのデルタ関数
$${ C_0^{\infty} (I) }$$
超関数
線型汎関数
超関数の微分
超関数の積
畳み込み
超関数の台
超関数の収束
緩増加
シュワルツ・佐藤の超関数
ソボレフ空間

[1] 垣田高夫, 『シュワルツ超関数入門』, 日本評論社, 1999
[2] 木村弘信,『超幾何関数入門』(SGCライブラリ 55), サイエンス社, 2007

超準解析 
Non-standard Analysis

  NSA

https://web.math.princeton.edu/~nelson/books/rept.pdf



確率論 
Probability Theory 

確率と統計、ルベーグ積分と測度の知識を要します。測度論的な確率論を用いて解析を行います。第１回ガウス賞を受賞された日本人数学者、伊藤清先生が関わっている分野です。


測度空間
ボレル$${ \sigma }$$加法族 可測関数 
可測関数 / 確率変数 / 分布関数
確率測度の構成 / 確率測度の一意性
分布の一意性
多変量確率変数
ルベーグ積分による期待値の定義
像測度定理
条件付き期待値
モーメント
モーメント母関数 / 特性関数
キュムラント母関数
特性関数の性質 / 独立成分分析
変数変換公式
確率不等式
確率変数の収束
ボレル・カンテリの補題
大数の法則 / 中心極限定理
大数の強法則
レヴィのレン属性定理
確率過程 / マルコフ連鎖
マルコフ連鎖の性質と分解
再帰性 / 定常性
極限分布
筒集合
コルモゴロフの拡張定理
同様に確からしさ
末尾 σ-加法族
コルモゴロフの0-1法則

連続時間マルチンゲール
ブラウン運動
マルコフ性
確率積分
伊藤の公式
確率微分方程式

伊藤解析、カオス理論、マリアヴァン解析や金融工学へと発展していきます。

[1] 舟木 直久, 『確率論』, 朝倉書店, 2004
[2] 舟木直久, 『確率微分方程式』、岩波書店、2005
[3] 伊藤 清, 『確率論』, 岩波書店, 1991
[4] 谷口説男, 『確率幾何解析』, 朝倉書店, 2021
[5] Olav Kallenberg, Foundations of Modern Probability, Springer, 2021
[6] Rick Durrett, Probability 5th edition, ‎ Cambridge University Press,2019
[7] David Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press, 1991
[8] N. Ikeda , S. Watanabe, Stochastic Differential Equations and Diffusion Processes, North Holland, 2011

[9] 岩田耕一郎, 『測度論と確率論』, 広島大学理学部数学科確率統計 C 講義ノート, 2007
https://home.hiroshima-u.ac.jp/iwatakch/probstaC/lecturenote/probstatC2007rev.pdf



数理統計学 
Statistics 

確率と統計の知識を要します。

パラメトリック / ノンパラメトリック
十分統計量 / 最小十分統計量
ラオ・ブラックウェルの定理
最尤推定 / 信頼区間
事前分布 / ベイズ推定

仮説検定
ネイマンピアソンの補題 / 有意水準
一様最強検出力検定（UMPU）
単純仮説 / 複合仮説
尤度比 / 区間推定
分解定理
T検定とF検定
適合度検定 / 分割表

線形回帰モデル / 最小二乗法
ガウス＝マルコフの定理 / 単回帰

[1] 竹村彰通, 『現代数理統計学』,学術図書出版社,　2020
[2] 久保川 達也, 他, 『現代数理統計学の基礎』,共立出版, 2017
[3] 赤平昌文, 『統計解析入門』, 森北出版, 2003

アクチュアリー数学
Actuarial Mathematics

確率と統計の基礎知識を用います。特殊な計算力が求められます。

事象と確率
確率変数 / 確率分布
確率密度関数 / 分布関数
確率変数の平均値 / 分散
積率 / 積率母関数
確率母関数 / 特性関数
大数の法則 / 中心極限定理

統計的推定 / 区間推定
統計的検定
標本分布論 / 標本調査
最小2乗法 / 相関係数 / 回帰係数
検定
モデリング

回帰分析
時系列解析
確率過程
シミュレーション


[1] 国沢清典, 『確率統計演習 1 確率』,培風館, 1996
[2] 国沢清典, 『確率統計演習 2 統計』,培風館, 1996
[3] アクチュアリー会,『モデリング』, 2005
[4] アクチュアリー会,『確率・統計・モデリング問題集』, 2007

力学系とエルゴード理論 
Dynamical systems and ErgodicTheory


TBA

有限群の表現論 
Representation of Finite Groups

有限群の表現論とは、何らかの有限群を線型空間に作用させたときの"対称性"を研究する分野です。そして、その対称性に応じて、空間を分解し分類するのが目的です。線形代数、加群とテンソル代数、群論の知識を要します。

有限群の表現の定義
$${ \rho(g_1 g_2) = \rho(g_1)\rho(g_2) }$$
正則表現 / 同値な表現
不変空間 / 可約表現 / 既約分解
シューアの補題

$$
\text{Hom} (V,W) \cong  
\begin{cases}
\mathbb{C} & \text{if  } V \cong W \\
0 & \text{otherwise.}
\end{cases}
$$

完全可約性 / マシュケの定理

有限群の表現論では、指標の理論が非常に有力です。

有限次元表現の指標$${ \chi_g }$$
指標の直交性
置換表現とその指標
アーベル群の指標
表現のテンソル積
誘導表現
表現の制限
フロベニウスの相互律
バーンサイドの$${p^\alpha q^\beta}$$定理

バーンサイドの補題との関係
3次, 4次対称群の指標表
一般線形群 GL(n) / 特殊線形群 SL(n)の表現
ヤング図 / シューア多項式
シューア・ワイル双対性
コンパクト群の表現 / ハール測度
ハイゼンベルグ群

[1] 佐武一郎, 『線型代数学』, 裳華房
[2] 池田 岳, 『テンソル代数と表現論』, 東京大学出版会
[3] J.E.Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory GTM9, 1973 
[4] William Fulton, Joe Harris, Representation Theory A First Course, GTM129, Springer, 2013
[5]  Peter Webb, A Course in Finite Group Representation Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 2016
[6] J-P. Serre, Linear representations of finite group. Springer-Verlag, 1977

フルトンハリス[5]の解説として、次のpdfがあります。
[7] 本間泰史,『有限群の表現，対称群の表現の基礎』 , https://www.f.waseda.jp/homma_yasushi/homma2/download/representation.pdf

[8] J.H. Conway, Atlas of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups

リー代数とリー群 
Lie Algebra and Lie Groups

多様体論と加群とテンソル代数の知識を要します。リー代数とは、リー括弧とよばれる演算を定義されたベクトル空間です。リー括弧は、次のように定義されます。

$$
[L,M] = LM - ML
$$

またリー群とは、可微分多様体$${G}$$で滑らかな関数$${G \times G \to G}$$が定義されているものです。リー環はリー群の局所的な構造となっています。

行列指数 $${ e^A = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{A^n}{n!} }$$
行列対数$${ \log(B) =  \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (-1)^{k+1} \frac{ (B - I)^k }{k} }$$

リー環（代数）の定義 / ヤコビ恒等式
リー環のイデアル
半単純リー代数
可解リー環 / べき零リー環
$${ sl(2) }$$の例
カルタン部分環
カルタン分解
エンゲルの定理
カルタンの判定法

リー代数はディンキン図形と呼ばれる、ある制限によって得られたグラフによって分類されます。

キリング形式
ワイル群
ディンキン図形
古典型リー環

$$
A_{n \geq 1},\; B_{n \geq 2},\; D_{n \geq 4},\; E_6,\; E_7,\; E_8,\; F_4,\; G_2
$$

最高ウェイト$${ \lambda }$$から、既約な有限次元表現を構成する方法の一つを学びます。

普遍包絡代数
ポアンカレ・バーコフ・ウィットの定理
リー代数の構成
ヴァーマ加群
最大ウェイト加群
ワイルの指標
ハリシュ-チャンドラ同型
カルタン - ワイルの最大ウェイト分類
ワイルの指標公式
シューア　ワイル双対性

[1] Karin Erdmann , Mark J. Wildon, Introduction to Lie Algebras, Springer, 2006
[2] J.E.Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Th eory GTM9, 1973 
[3] J. Bernstein,  Lectures on Lie algebras (Representation Theory, Complex Analysis, and Integral Geometry), Springer, 2012

[4] Roe Goodman, Nolan R. Wallach, Symmetry, Representations, and Invariants, Graduate Texts in Mathematics, 2009



ユニタリ表現論 
Unitary Representations

TBA

ユニタリ表現
左作用 / 左正則表現

位相群 / ハール測度


[1] 平井 武, 『表現論入門セミナー 第Ⅰ巻 具体例からの表現論入門』, 日本評論社, 2022
[2] 平井 武, 『リー群のユニタリ表現論』 , 共立出版, 2022
[3] 丸山徹, 『群上の調和解析』, 丸善出版, 2023
[4] Roe Goodman, Nolan R. Wallach, Symmetry, Representations, and Invariants, Graduate Texts in Mathematics, 2009

代数幾何学 
Algebraic Geometry

学部ではスキーム論を学びます。ホモロジー代数と圏論の知識を用います。
スキーム論は現代の代数幾何学の標準語であり、1950年代から1960年代に、グロタンディークと J.P. セールらによって生まれた分野です。スキーム論によって、ヴェイユ予想などが解決できました。

スキーム　
層
代数多様体

アフィン代数多様体
ザリスキー位相
アフィン多様体の間の射
多様体の既約成分
射影空間
射影多様体
アフィン錐(cone)
射影多様体上のザリスキー位相
射影完備化
射影多様体のヒルベルト多項式

複体とホモロジー　射影分解　入射分解

座標環
ヒルベルトの零点定理
次元、特異点、滑らかさ

円錐曲線, 3次平面曲線, 二次曲面
有理曲面,
セグレ埋め込み
ヴェロネーゼ埋め込み
リーマンロッホの定理
ブローアップ

双有理同値
擬射影多様体
広中の特異点解消定理の概要


[1] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer 1997
[2] Qing Liu, Algebraic Geometry and Arithmetic Curves, Oxford, 2006
[3] Ernst Kunz, Introduction to commutative algebra and algebraic geometry, 2nd edition, Birkhaeuser, 1993
[4] 上野健爾,『代数幾何』, 岩波書店, 2005
[5] David Mumford, The Red Book of Varieties and Schemes, Springer, 1999
[6] Igor R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry 1,2, Springer, 2013
[7] Ulrich Goertz,Algebraic Geometry (Advanced Lectures in Mathematics), Vieweg Teubner Verlag, 2010
[8] Ravi Vakil, Foundations of Algebraic Geometry, Stanford University
    https://math.stanford.edu/~vakil/216blog/FOAGnov1817public.pdf
 
[9] A Gathmann, Algebraic Geometry lecture notes
    https://agag-gathmann.math.rptu.de/de/alggeom.php
 
[10] 宮西正宜, 増田佳代,『代数曲線入門』,  共立出版, 2016
[11] David Eisenbud, Joe Harris, The Geometry of Schemes, Springer

代数的整数論 
Algebraic Number Theory

TBA

体の拡大
最小多項式
既約多項式
代数的数
共役数 / 判別式
ガウス整数
代数的整数
代数体
2次体
代数的数のノルム
$${ \mathbb{Q}(\sqrt{d})}$$上の素因数分解
イデアル
自由 $${ \mathbb{Z}}$$-加群
$${ \mathbb{Z}}$$-basis
極大イデアル
素イデアル
イデアルの分解
イデアル分解と素因数分解の関係
イデアルのノルム
ミンコフスキーの定理
イデアル類群 / 類数
代数的整数環の類数の有限性


[1] ノイキルヒ, 『代数的整数論』, 丸善出版, 2012
[2] J.-P. Serre, A Course in Arithmetic, GTM7, 1978 (J.-P.セール , 『数論講義』, 岩波オンデマンドブックス, 2017)
[3] J.-P. Serre, Local Fields, GTM67, Springer, 1980
[4] J.W.S. Cassels, A.Frohlich, Algebraic Number Theory, London Mathematical Society, 2010
[5]中川 仁, 『代数学演習 代数的整数論』, 2014
https://www.juen.ac.jp/math/nakagawa/quadnf.pdf

[6] Ian Stewart, David Tall, Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem: Third Edition,A K Peters Ltd, 2001
[7] Daniel A. Marcus, Number Fields, Springer, 1995
[8] 福田隆, 『重点解説　岩澤理論』, SGCライブラリ, サイエンス社, 2019


数論 
Number Theory

[1] 彌永昌吉, 『数論』, 岩波書店, 1969
[2] Yves Hellegouarch, Invitation to the Mathematics of Fermat-Wiles, Academic Press, 2001

解析的整数論
Analytic Number Theory

整数の性質を解析的に調べる分野です。初等整数論、複素解析、フーリエ解析の知識を特に用います。素数の分布など有名なリーマン予想に関係のある話もあります。

メビウス関数
オイラーの$${ \phi }$$関数
約数関数
$${ \sigma }$$- 関数
ディリクレ関数
オイラー積
フォン・マンゴルト関数

$${ \mathfrak{R}(s) > 1 }$$上のリーマン$${ \zeta }$$-関数　
素数の無限性

$${ \mathbb{R}}$$, $${ \mathbb{Z}}$$, $${ \mathbb{R}/\mathbb{Z} }$$ 上のシュワルツ関数
反転公式
ポアソン総和法
リーマンゼータ関数の極

素数定理
素数分布
素数分布の漸近法則

[1] G. H. Hardy, E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford Univ Pr, 2008
[2] Harold Davenport, Multiplicative Number Theory, Springer, 2000
[3] Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer, 1976

数論幾何 
Arithmetic geometry

代数幾何などの知識を用いて数論を研究する分野です。

この分野の有名な問題として P.Deligne によって解決されたヴェイユ予想(1974)やG. Faltings によって解決されたモーデル予想(1983)などがあります. 

TBA
大学院入学までに代数幾何学、楕円曲線、局所類体論の知識を身につけるのが目標です。

Hartshorne "Algebraic Geometry"
Silverman "The Arithmetic of Elliptic Curves"
Serre "Local Fields"

の本の内容が重要になってきます。(出典: https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~gokun/tostudents.html )

組み合わせ数論
解析的整数論 代数的整数論
ラングランズ
数論トポロジー 二次形式

ワイエルシュトラスの楕円函数
楕円曲線のハッセの定理
$${p}$$-進体
Formal Group Law
有理点
楕円曲線
BSD予想
RSA暗号（公開鍵）への応用



エタールコホモロジー


[1] J.H.シルヴァーマン, J.テイト, 『楕円曲線論入門』,丸善出版, 2021

[2] グロタンディーク,『代数幾何学原論』

  • A. Grothendieck, Éléments de géométrie algébrique (EGA)

  • A. Grothendieck, Séminaire de Géométrie Algébrique (SGA)

  • Fundamental algebraic geometry – Grothendieck’s FGA explained (FGA)

数論力学
Arithmetic Dynamics

TBA

[1] Joseph H. Silverman, The Arithmetic of Dynamical Systems, Springer, 2017

p進解析 
p-adic Analysis

TBA

[1]  Neal Koblitz, p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions , GTM 58, Springer, 1984
[2] Fernando Quadros Gouvea, p-adic Numbers An Introduction , Universitext , Springer, 2020

頂点作用素代数
Vertex Operator Algebras

[1] Igor Frenkel, James Lepowsky), Arne Meurman, Vertex Operator Algebras and the Monster, Academic Press, 1989
[2] James Lepowsky, Haisheng Li , Introduction to Vertex Operator Algebras and Their Representations, Birkhaeuser, 2003
[3]  Victor G. Kac, Vertex Algebras for Beginners , AMS 1998

集合論 
Axiomatic Set Theory

公理的集合論

$${ ZF }$$公理系
ツェルメロの選択公理
論理式の絶対性
推移的 / 外延的
　再帰定理
順序数　基数
基数関数
基数算術
整列可能
集合の階数
ゲーデルの内部モデル理論
コーエンの強制法
カントールの連続体仮説
一般連続体仮説

[1] Kenneth Kunen, The Foundations of Mathematics, College Publications, 2009 (藤田博司 訳, 『キューネン数学基礎論講義』,日本評論社, 2016)
[2] alg-d , 壱大整域,  (website)

[3] 島内 剛一, 『数学の基礎』 , 日評数学選書, 日本評論社 ,1971
[4] 彌永昌吉, 『数の体系 上・下』, 岩波新書, 1972
[5] D.C. Goldrei, Classic Set Theory , Chapman & Hall Mathematics, 1996
[6] K. Hrbacek, T. Jech, Introduction to Set Theory, CRC Press, 1999


数理論理学 
Mathematical Logic

TBA

完全性定理
タブロー法
命題論理と述語論理の完全性定理
コンパクト性定理
モデル理論
公理的集合論
ZFC公理系 / 証明論
ゲーデルの不完全性定理
順序数
基数
意味論(セマンティクス)
構文論（シンタックス）
様相論理
強制法

[1] 坪井明人,『数理論理学の基礎・基本』オンデマンド版, 森北出版, 2023
[2] ケネス・キューネン, 藤田博司, 『キューネン数学基礎論講義』, 日本評論社, 2016
[3]トルケル・フランセーン, 田中 一之,『ゲーデルの定理 利用と誤用の不完全ガイド』, みすず書房, 2011
[4] 鹿島亮, 『数理論理学 (現代基礎数学)』, 朝倉書店, 2009
[5] 前原昭二, 『復刊 数理論理学序説』,共立出版, 2010

[6] Raymond M. Smullyan, Godel's Incompleteness Theorems, ‎ Oxford University press, 1992
[7] S.C. Kleene, Introduction to Metamathematics, North Holland, 1980

数学史 
History of Mathematics


～紀元前から16世紀までの数学～
メソポタミア
アラビア数字
古代ギリシャの数学
０の発見
ユークリッド原論

～17世紀の数学～
曲線論
微積分学の始まり

～18世紀の数学～
微積分学から解析学
極限
連続性
球面三角法
対数表
方程式の解

～19世紀の数学～
群論
抽象代数
現代解析学
実数の公理
公理的集合論
線形代数

～20世紀の数学～

フィールズ賞受賞者など

[1] ヴィクター・J. カッツ, 『カッツ　数学の歴史』, 共立出版, 2005
[2] 伊東俊太郎, 彌永昌吉, 吉田耕作ほか, 『数学の歴史』, 共立出版, 1979
[3] 高木貞治, 『近世数学史談』, 岩波文庫, 1995
[4] 山下純一,『ガロアへのレクイエム』, 現代数学社, 1986
[5] 高瀬正仁, 『微分積分学の史的展開 ライプニッツから高木貞治まで』, 講談社, 2015
[6] ブルバキ『ブルバキ数学史（上・下）』, 筑摩書房, 2006
[7] 伊東俊太郎,『ギリシア人の数学』, 講談社学術文庫, 1990

数学教育 
Mathematical Education

小中高の学習指導要領などを実践・研究します。

その他


数学読み物 
Readings

  • サイモン・シン, 『フェルマーの最終定理』, 新潮文庫, 2006

  • マーカス デュ・ソートイ,『シンメトリーの地図帳』, 新潮文庫, 2014

  • 志村五郎,『数学をいかに使うか』, ちくま学芸文庫, 2010
    志村五郎,『数学の好きな人のために』, ちくま学芸文庫, 2012
    志村五郎,『数学をいかに教えるか』, ちくま学芸文庫, 2014

  • G. ポリア,『いかにして問題をとくか』,丸善,1975

  • マイケル・F. アティヤ, 『数学とは何か　科学・数学論集』, 2010

  • 伊藤清,『確率論と私』, 岩波現代文庫, 2018

  • 志賀浩二, 『無限からの光芒』,日本評論社, 1988

  • E.T. ベル, 『数学をつくった人びと』, ハヤカワ文庫 NF, 2003

  • E.T. ベル, 『数学は科学の女王にして奴隷』, ハヤカワ文庫 NF, 2004

  • イアン・スチュアート ,『対称性 不変性の表現』,丸善出版, 2017

  • ロジャー ペンローズ,『皇帝の新しい心―コンピュータ・心・物理法則』,みすず書房,1994

  • D.マンフォード, C.シリーズ, D.ライト,『インドラの真珠 クラインの夢みた世界』, 日本評論社, 2013

  • 加藤文元,『ガロア 天才数学者の生涯』, 角川ソフィア文庫, 2020

  • 広中平祐,『学問の発見』, 講談社, 2018

  • 大栗博司, 『探究する精神』, 幻冬舎新書, 2021

  • 古賀真輝,『数学の世界地図』, KADOKAWA, 2023

  • 砂田利一, 『新版 バナッハ－タルスキーのパラドックス』, 岩波科学ライブラリー, 2009

  • 野崎昭弘,『不完全性定理―数学的体系のあゆみ』, ちくま学芸文庫, 2006

  • Nate Silver, The Signal and the Noise: Why So Many Predictions Fail--but Some Don't, Penguin Books, 2015

  • Grzegorz Tomkowicz, Stan Wagon, 佐藤健治, 『バナッハ-タルスキーのパラドックス 原著第2版』, 共立出版, 2023

  • 『プリンストン 数学大全』, 朝倉書店

数学サイト 
External Links

おわり


千葉雅也 著 『勉強の哲学』（文春文庫）には、以下のように書かれています。

勉強は無限に広がってしまう。逆に、絞って勉強するというのは、哲学的な言い方をすると、勉強を「有限」にする、「有限化」するということです。「まずはこれだけ」、そして「ここまででいい」という「有限性」を設定しなければ、勉強は成り立ちません。
勉強の有限化が必要である。

『勉強の哲学』より引用

大学以降の数学は膨大な内容で、学習計画を自力で立てるのは大変です。そこで、個人的に学部数学を「有限化」したいと考えて、この記事を投稿しました。

まだ完成してません。私の復習・学習が終わり次第、随時更新します。

X（twitter）やってます。 ＠hatomatzu

参考


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