素因数分解で約数の個数を求める

電気代を考えて、そろそろエアコンを買い替えたい…妻の提案で機種を探す。通販会社に電話をすると設置日は7月下旬とのこと。それまで酷暑にならないこと、15年以上がんばった今のエアコンが故障しないことを祈りつつ、本日の問題はこれ。

［A］はAの約数の個数を表すものとします。たとえば，8の約数は1，2，4，8の4個なので［8］=4となります。Aを1から20までの整数とするとき，［A］=2となる整数Aは全部で何個ありますか。

（桜美林中・一科 2022年度）

$${n}$$の約数の個数は以下の式で求めることができます。まず$${n}$$を素因数分解します。
$${ \Large{ n = A^p \times B^q \times C^r } }$$

上記のように素因数分解できた時、約数の個数は以下になります。
$${ \Large{ 約数の個数 = ( p + 1 ) \times ( q + 1 ) \times ( r + 1 ) } }$$

約数の個数が２個ということは素因数分解すると以下のような式になります。
$${ n = A^1 }$$
Aは素数なので、この問題は１から20までで素数の個数は、何個ありますか？ と言い換えることができます。
ちなみに１は素数ではありません。これ大事！

１から20までの素数は…
　２、３、５、７、11、13、17、19

答え.8個

98 桜美林中学校 2023年度用 3年間スーパー過去問 (声教の中学過去問シリーズ)

約数の個数でよく出題されるのは、３個の時です。

[A]=3 となる整数は何個ありますか。

素因数分解すると以下のようになった時、約数は３個になります。
$${ n = A^2 }$$
素数の平方数の時に、約数の個数が３個になります。
Aが４、９の時、[A]=3になります。
答え.２個