統計学：ディストリビューション

このセクションでは、結果が離散値である離散分布と、結果が連続値をとる連続分布の両方を検討する。

確率分布関数とは、結果の確率、または変数の値が発生することを示すグラフの形式で簡単に要約したもの。確率分布のすべてのバーの高さの合計は1に等しくなければならないことに注意すること。

ベルヌーイ試行

確率の観点から最も単純なタイプの実験の1つは、2つの可能な結果しかない実験。例えば、コインの裏と表の結果は0.5になる。このような確率をベルヌーイ試行と呼ぶ。

表示する確率は2つしかないため、ベルヌーイ試行は非常に単純な確率分布になる。

幸いなことに、分布のタイプである二項分布がある。これは、一連の独立した同一のベルヌーイ試行で特定の数の成功を得る確率を決定するときにいつでも使用できる。二項分布を使用するには、ベルヌーイ試行が独立している必要があることに注意すること。

使用する正確な二項分布は、関係するベルヌーイ試行の数と各ベルヌーイ試行の成功確率によって異なる。ベルヌーイ試行の数と成功確率を分布のパラメーターと呼ぶ。

その他のディストリビューション

一様分布：各結果が等しくなる確率が高い分布
ポアソン分布；ある時間間隔で発生する事象の回数を表す離散確率分布

連続分布

連続確率分布関数は、特定の連続確率変数が指定された間隔内にある確率を表す確率分布関数。

人々の身長の調査、ギャンブルの結果の予測、測定誤差の推定など、さまざまなアプリケーションで何度も現れる分布の形が1つある。これは、正規分布またはガウス分布として知られるようになっている。

二項分布の確率分布関数の正確な形状が、モデル化する実験でのベルヌーイ試行の数とそれに関連する成功確率によって異なるように、正規分布の確率分布関数の正確な形状は2つのパラメーターに依存する。これらは平均であり、分散、または同等に標準偏差。

平均は分布の位置に関連し、分散（または標準偏差）は分布の広がりに関連する。

平均と分散の値に関係なく、正規分布関数は常に「ベル型」で対称であることに注意すること。一般に、標準偏差はσと表記され、分散は標準偏差の2乗に等しいため、平均はギリシャ文字の「mu」、μ、分散は「シグマの2乗」、σ2で表す。

平均μと分散σ2の正規分布をN（μ、σ2）と書く。

いくつかの種類のディストリビューション

分散と標準偏差の両方が統計家によって頻繁に使用され、多くの目的のために、それらは範囲または四分位範囲への広がりの好ましい尺度。

分散は、単純に標準偏差の2乗。変数の分散または標準偏差が低い場合、対応するデータ値は平均に非常に近く、あまり分散していない。一方、変数の分散または標準偏差が大きい場合、対応するデータ値はかなり分散しており、平均からさらに離れている可能性がある。

分散は次のように計算される。

・値の平均を計算。
・各値を取り、それぞれからこの平均を引く。
・これらの数字のそれぞれを二乗し、それらを足し合わせる。
・この数を値の数で割る。

標準偏差は、この値の平方根をとることによって見つけることができる。

・指数分布
指数分布は、既知の（一定の）速度でランダムに発生する連続するイベント間の待機時間を表す。正規分布とは異なり、指数分布には、その形状に影響を与えるパラメーターが1つだけある。
イベントが発生する速度。ギリシャ文字のラムダ「λ」と表記する。Exp（λ）としてレートλの指数分布を記述する。

多くの連続変数は、正規分布や指数分布などの分布に従いますが、多くはそうではない。一般に、変数の確率分布関数は、さまざまな形をとることができる。

分布の形はかなり変化する可能性がありますが、すべての（連続）確率分布関数が従わなければならないいくつかの規則があります。

・分布関数（線）は常に横軸より上にある必要があります。負の値を取ることはできません。
・分布関数と横軸の間の領域の面積は、常に1に等しくなければなりません。これは、任意の2つの値の間にある領域の部分の面積が、指定された変数がこれらの値の範囲内にある確率に等しいためです。変数は可能性の全範囲内のどこかにある必要があるため、このイベントの確率は1です。
・分布関数のパスをたどる場合は、常に左から右または右から左に移動する必要があります。ラインがそれ自体で二重に戻ったり、ループをループしたりすることはできません。

ヒストグラムや棒グラフの場合と同様に、中央に反射線がある場合、連続確率分布を対称として記述することができます。左に長い尾がある場合は左に歪んでおり、右に長い尾がある場合は右に歪んでおり、2つ以上のピークがある場合はバイモーダルまたはマルチモーダルである。