固有ベクトルとユニタリ行列

どうも、お久しぶりです。
前回の投稿が4月。なぜこれほど次の投稿まで間隔が空いたのかというと、院試があったからです。こんな僕も暇じゃないのです。

さて、今回のテーマは固有ベクトルとユニタリ行列の関係について。これはまさに僕が院試の勉強をしていた時に疑問に思ったことだったので、せっかくだし記事にしようということで今回バーベル並みに重い筆を執った次第です。

疑問のきっかけ

院試の勉強で物理数学か量子力学かなんかをやっていた時に、行列の対角化の問題が出てきた。これはよくある操作で、物理学徒には必須のスキルである。対角化の際には、変換行列というものを使う。
ここで僕はふと疑問に思った。
「あれ、変換行列とユニタリ行列って何が違うんだっけ・・・」
なぜそう思ったのか。具体的に式を見てみよう。

変換行列とユニタリ行列

さて、簡単のため２×２行列を例にとって考えてみよう。今、行列$${A}$$があったとして、固有値$${\lambda_{1}}$$，$${\lambda_{2}}$$に対する固有ベクトルが$${\bm{v}_{1}=(x_{1},y_{1})}$$，$${\bm{v}_{2}=(x_{2},y_{2})}$$とすると、変換行列$${T}$$は

$$
T=(\bm{v}_{1},\bm{v}_{2})=\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}\\y_{1}&y_{2}\end{pmatrix}
$$

となる。つまり固有ベクトルを縦に並べれば良いわけである。
本筋ではないけど、この変換行列とその逆行列で$${A}$$を挟めば固有値が対角成分に並んだ行列$${\tilde{A}}$$が得られるのであった。

$$
\tilde{A}=T^{-1}AT
$$

一方、ユニタリ行列は「逆行列と随伴行列が等しい」行列として定義される。

$$
U^{\dagger}=U^{-1}
$$

ある正規行列$${B}$$があったとき、ユニタリ変換によって行列は対角化されることが知られている。

$$
\tilde{B}=U^{-1}BU=U^{\dagger}BU
$$

おい！これさっきの変換行列による対角化と同じじゃん！
てことは固有ベクトルを並べた変換行列はもれなくユニタリ行列になるってこと・・・？
いや、でもちょっと待てよ。ユニタリ行列が対角化できるのは正規行列というものらしいから、これが何か違いを生んでそうだ。

直交性を考えよ！

先に答えを書いておくと、変換行列はユニタリ行列になる場合がある。でも一般的にはそうなるとは限らない。

一般に任意の行列に対する固有ベクトルは、直交するとは限らない。これが今回の話の肝である。
変換行列の各列ベクトル（固有ベクトル）は、一般には直交基底をなすとは限らないのである。
一方で、ユニタリ行列は各列ベクトルが正規直交基底をなす。つまりこの直交基底をなすかどうかが両者の違いだったのだ。（固有ベクトルは適当に定数を決めれば正規化できるため正規化されているかは本質的な問題ではない）

では固有ベクトルが直交するのはどのような場合か。
それは先ほどチラッと出たが、行列が「正規行列」であるときだ。正規行列とは、ある行列$${P}$$について

$$
P^{\dagger}P=PP^{\dagger}
$$

が成り立つものをいう。例えば対称行列やエルミート行列がそれに含まれる。

つまり、考えている行列が正規行列であれば、固有ベクトルは直交基底をなす。すなわち正規行列の変換行列は自ずとユニタリ行列となるのである！

まとめ

なんだ、たったそれだけのことか。「というかユニタリ行列で正規行列を対角化できるってわかっているんだったらそりゃ変換行列はユニタリ行列ってことになるだろうよ」とか思った人もいるかもしれない。これは本当にそう。ごめん。変なところでこねくり回してしまった。

だけどせっかくだからまとめてみるとこんな感じ。

正規行列　⇒　変換行列 ＝ ユニタリ行列
正規行列じゃない　⇒　変換行列 ≠ ユニタリ行列

見てみるとあっけない幕引き。でも分からないことって大抵こんな感じで解決していくものだ。全くこれだから学びはやめられない。とまでは行かなかったがそれとなく趣は感じられた。
今回「ユニタリ行列は正規行列を対角化する」とか「ユニタリ行列の各列ベクトルは正規直交基底をなす」とかの証明は示さなかったけど、無限に広がるネットの海にいくらでも説明があるので、そちらを参照していただきたい。僕が書くよりはるかに分かり易い説明をしているはずだ。

相変わらずこの記事は自己満足の域を超えないけど、前回書いたルジャンドル変換の記事が以外にも多くの人に読んでもらえたし、院試という一つの山を越えたから、これからは少し投稿頻度を上げていけたらいいなあ。