物理数学の世界 #15 〜関数の偏微分〜

物理数学の世界。始まります！（本業が忙しくなり、長らく空いてしまいました）。

かなり前ですが、前回は高等数学の話に戻り、１変数関数のテイラー展開について扱いました。

今回はこれまでの１変数関数の微分の拡張として、２変数以上の関数における微分（その名も偏微分）について扱います。

一般的な物理学（工学）で扱う関数は変数が多いことの方が普通なので、その実用書とも言える話です。

整理したノートを公開

実際にノートにまとめてみました。２変数関数の偏微分を対象にしますが、特殊なことはしていません。一つの変数に着目して、その他の変数は「定数」と考えて微分します。偏微分の由来は「偏った微分」なのです。

そもそも、微分の意味とは「変数を少し動かしたら関数がどう変化するか」を調べる方法であります。偏微分の場合も同じく、ある変数に限定して少し動かしたら関数がどう変化するかを調べます。

１変数関数では２次元空間の曲線になりますが、２変数関数では３次元空間の曲面として表されます。これにより、２変数関数のある点での偏微分は、局面での接平面の「傾き」として表されます。

そして、各変数の偏微分を全体に拡張させたもの（総和したもの）は「全微分」と呼ばれます。

偏微分の意味

先ほども書いた通り、一般的な物理学（工学）で扱う方程式は、多変数関数であることが多いです（１変数関数であることの方が珍しい）。そんな時に使われるのが偏微分です。

おそらく高校では学習しない範囲になるので、少し難しい話に聞こえるかもしれませんが、従来の「１つの関数について微分すること」とおおよそ同じなので、それほど身構えなくても良いです。

１変数関数では「dx」と書いていましたが、明確に分けるために、微分記号も別のものを用いています。

そして、この処理は１階微分だけでなく、高階微分でも同じです。そう考えれば、前回のテイラー展開（マクローリン展開）に関しても、２変数関数の拡張版も容易に導けると思います。

おわりに

今回は２変数以上の関数の微分（偏微分）について、基礎的なところを扱いました。これにより、一般的な多変数関数に対しても解析的に扱うことができます。より世界も広がると思います。

積分についても、１変数関数の場合と２変数以上の関数で扱いが異なります（重積分と呼びます）。次回はそんな重積分について扱います。

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最後まで読んでいただき、ありがとうございました。実際は非定期ですが、毎日更新する気持ちで取り組んでいます。あなたの人生の新たな１ページに添えるように頑張ります。何卒よろしくお願いいたします。

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