物理数学の世界 #24 〜ベクトル解析（2）〜

物理数学の世界。始まります！

前回はベクトル解析（ベクトル関数の微分）の話に突入しました。微分演算子を使用した計算処理（勾配）を扱いました。

今回はその続きで、発散と回転について説明します。勾配・発散・回転はベクトル解析を学ぶ上で必要不可欠な３本柱なので、ぜひ押さえて頂けたらと思います。

それでは、続きから進めることにします。

整理したノートを公開

実際にノートにまとめてみました。今回は発散と回転の２つに絞り込んで説明しています（勾配は前回の記事を参照のこと）。

ここでも復習しますが、勾配はスカラー量（Φ）と微分演算子を用いてベクトル量に変換します（各軸方向の傾き（変化の割合）について求める）。

発散の説明は流体力学に近いものが多いですが、微小体積要素の出入量を示しながら導出しています。ベクトル場と微分演算子の内積になります。

回転の説明はトルクで例えることが多いです。単位体積当たりのベクトル場の渦の大きさと方向を表します。ベクトル場と微分演算子の外積になります。

前にも書いてますが、ベクトル場とスカラー場の使い分けがだいじになります。入力にベクトル量とスカラー量のどちらが使われるか、出力はどうか。そこを意識するだけでも理解度に違いが生まれると思います。

ベクトル解析で「場」を理解する 〜再掲〜

物理学を学んでいくと、何かと「場」という概念にぶつかります。私が専門とする材料力学だと「応力場」という言葉をよく聞いたものです。

このような「場」の共通点は、方向と大きさの２種類の概念を持ち合わせている点です。今回のベクトル場と同じ考え方です。

実際に「場」が出てきたところで、次に知りたいのは場の状態です。その場が回転しているのか、噴き出しているのか、どの程度の方向と強度を持つのかなど。それに対する答えを導くために必要となるのが、ベクトル解析の手法です。

上記に挙げた３つの特性は、ベクトル解析で言うところの「回転」と「発散」と「勾配」に対応します。ちなみに、英語表記（略語）で表す場合もあります（Φはスカラー場でＡはベクトル場です）。

・勾配（gradient）：grad(φ)
・発散（divergence）：div(A)
・回転（rogation）：rot(A)

この辺は好みの差でもあるので、覚えておいて損は無いくらいです。

おわりに

今回はベクトル解析の後半ということで、ベクトルと微分演算子を用いた操作（勾配・発散・回転）の意味について説明しました。

それぞれのイメージを掴むことが最優先になると思います。今回の計算方法は電磁気学や流体力学で多く登場するので、かなり重要な事項になります。

次回は今回までに紹介した３つの方法を応用して、様々な定理の解説をしていきたいと思います。

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最後まで読んでいただき、ありがとうございました。実際は非定期ですが、毎日更新する気持ちで取り組んでいます。あなたの人生の新たな１ページに添えるように頑張ります。何卒よろしくお願いいたします。

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