〈読書〉キーポイント線形代数（３）

こんにちは。
引き続き線形代数の本を読んでいます。

キーポイント線形代数 (理工系数学のキーポイント 2)

前回は、記事には書きませんでしたが、ポイント４（ベクトル空間になれよう）、ポイント５（線形変換とその役割）を読みました。

今回は、ポイント６（ランクの定義はどれも同じ）、ポイント７（線形代数の基本定理とは）を読んだので、気付き（というより感想）を書いておきたいと思います。

行列のランク

ポイント６で出てきますが、ランクという考え方は全く習った記憶がありません。授業でやったっけ？やったとしたら寝てたな。と、思うくらい初めて読んだ印象です。

ランクは、行列を列ベクトルの並びとみなしたとき、線形独立である列ベクトルの最大個数である

キーポイント線形代数　p.86

上記が、定義になるようです。
こう書かれると何かの役に立ちそうですが、具体的なイメージはできてません。この章は一通り納得したつもりですが、例えは思いつきません。

次元が増えたときの複数のベクトルを考えるときに何かの役に立ちそう…　と漠然と感じるくらいですね…

ポイント７の最後に、線形写像の次元数であることが示されますが、それが分かったところで…？というくらいの数学リテラシーなので、今のところはあまり興味が持てない内容でした。

線形代数の基本定理

ポイント７の基本定理も、ランクと同じで抽象的過ぎて有効性を実感できない内容ではありました。何かに使えそうだと思いますが…

n次元ベクトル空間$${R^{n}}$$からm次元ベクトル空間$${R^{m}}$$への線形写像$${y=f(\vec{x})}$$を考える。写像の各$${Ker f}$$と像$${Im f}$$はそれぞれ部分空間となり、（以下）が成り立つ。

キーポイント線形代数　p.109

$$
\begin{align*}
R^{n}/Ker\,f &\cong Im\,f \\
n-dim(Ker\,f) &= dim(Im\,f)
\end{align*}
$$

キーポイント線形代数　p.109

この基本定理のご利益の例として書かれているのは、連立1次方程式の解と係数行列の関係についてです。

この定理を用いることで、具体的な解を計算しなくても、係数行列の構造から列空間(線形写像で得られるベクトル空間)の次元を調べることができるということです。

正直、次元を調べられることで何になるか、という感じです。

この辺りは、現実世界で観察される現象に対して適用される例を見ないと理解できない気がしています。
まぁ、今はエンタメだと思って先に進もうと思いますが、仕事で使う機会があれば立ち戻って考えたいと思います。
もし現実世界の話を取り扱った書籍があれば読んでみたいと思います。

今日は以上です。