20000409　四つの4の答え

　今年の初めに出した「四つの4$${^{*1}}$$」の答え。

　「四つの4」とは数の「$${4}$$」とあらゆる演算記号とを用いて自然数を順番に作っていくクイズである。例えば「$${1}$$」ならば「$${44/44}$$」、「$${2}$$」ならば「$${4/4+4/4}$$」のように作っていく。

　究極の答えは、作りたい数を$${n}$$とすれば、

　$${n= -\log_{\sqrt{4}}\left(\log_{\sqrt{4}}\sqrt{\sqrt{\sqrt{･･･(n+2個の根号を書く)･･･(4\times4)}}}\right)}$$

　となる。2番目の$${\log}$$の底(てい)$${^{*2}}$$の$${\sqrt{4}}$$は$${4}$$でもいいが、その時、$${n+2}$$個の根号は$${n+1}$$個でいい。しかし式の見た目の優雅さを優先させるならば$${\sqrt{4}}$$の方がいいだろう。

　例えば「$${2}$$」を表したいときは

　$${-\log_{\sqrt{4}}\left(\log_{\sqrt{4}}\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{(4\times4)}}}}\right)}$$

となる。
　式を整理していくと、$${4\times4}$$は$${4}$$の自乗だから根号が一つ取れて

$${= -\log_{\sqrt{4}}\left(\log_{\sqrt{4}}\sqrt{\sqrt{\sqrt{4}}}\right)}$$

$${\sqrt{}}$$は$${1/2}$$乗だから

$${= -\log_{\sqrt{4}}\left(\log_{\sqrt{4}}(\sqrt{4})^{(1/2\times1/2)}\right)}$$

　対数の真数$${^{*3}}$$の累乗は$${\log}$$の外に出せる。また底と真数が等しい場合は対数の値が1になるので2番目の$${\log}$$は消える。

$${= -\log_{\sqrt{4}}(1/2\times1/2)}$$

$${= -\log_{\sqrt{4}}(1/2)^2}$$

$${= -\log_{2}2^{-2}= -(-2) = 2}$$

となる。

　この演算式を用いればどんな大きな自然数でも「四つの４」で記述できる。
　例えば上式で1億を表したい場合、根号を100000002個も書かなければならないので、記述する紙やモニタの面積をかなり大きくするか、筆記具を極限まで細く$${^{*4}}$$したりモニタの解像度$${^{*5}}$$を100000000✕100000000ぐらいにしないと表記できない。

*1　20000110　四つの4
*2　対数の基本公式と，底の変換公式
*3　Math-高校数学２
*4　WELLCOME TO ZEBRA SITE!
*5　Internet Business Center (接続環境－使用モニタ解像度）