二次方程式と出会った生徒に考えてほしいこと

１　方程式とは

　方程式とは、等式の１つです。
　等式の中に未知数（たとえば$${x}$$）が含まれるものです。
　例えば
　$${2x+3=1 , -3x-2=4}$$

　この方程式が成り立つ$${x}$$の値を求めることを方程式を解くといいます。
　例
  $${2x+3=1}$$
　        $${2x=1-3}$$
           $${2x=-2}$$
             $${x=-1}$$

２　二次方程式との出会い

　生徒たちの二次方程式との出会いは、中学３年生です。
　２次方程式と出会うまでに、１次方程式と連立方程式を学習しています。

３　方程式の特徴の見方

　１次方程式や連立方程式を学習したときに、生徒には２つの方程式のちがいを、「式の形」「解き方」「解の個数」の３つの視点でとらえてほしいです。そして、共通点と相違点で見ることが大切です。

・式の形

　式の形は、下の図に示す通り、一次方程式と連立方程式の違いは明らかです。

式の形の違い

　共通点は、どちらも一次式であるというところです。

・解き方

　一次方程式の解き方は、次の通りです。

一次方程式の解き方

　一次方程式では、等式の性質を使って解きます。

　連立方程式の解き方は次の通りです。

連立方程式の解き方

上の解き方で、①の両辺から②の両辺を引くというのは、加減法といわれる方法ですね。他にも代入法があります。

　解き方の共通点は、等式の性質を使って文字の値を求めるところです。
　解き方の相違点は、代入するという過程があるというところです。

・解の個数

　解の個数は、どちらも１つです。
　連立方程式では、「無数の解」や「解が存在しない」というパターンも存在しますが、これは高校で学習する内容なので、ここでは考察する内容から除外しています。

４　二次方程式の特徴

・式の形

　二次方程式は、$${ax^2+bx+c=0}$$という形です。
　一次方程式や連立方程式との違いは、次数が2の項があるというところです。

・解き方

　二次方程式の解き方には因数分解するパターンもありますが、それができない場合もあります。
　一般的な二次方程式を解くときには、解の公式を活用します。

二次方程式の解の公式

　この公式を導くには、等式の性質を使います。これは共通点です。
　相違点は、平方根を考えるということです。

・解の個数

　解の個数は、２個です。その根拠は、解の公式から明らかです。
　これが相違点です。

おわりに

　中学の3年間、各学年で新しい方程式と生徒たちは出会います。
　そのときに記事で書いた3つの視点をもって考察できる生徒に育てたいと考えています。
入試を解ければいい、正解できればいい、という考えになってしまいがちですが、レポートにまとめさせるなど、方法を工夫していきたいです。

　最後まで読んでいただき、ありがとうございました！