数３積分公式まとめ

数３における積分公式のまとめです。
様々な積分計算の基本となるのでしっかり暗記しましょう！

$${C}$$は積分定数とします

基本関数の積分公式

xのα乗の積分公式

$$
\begin{align*}
\int{x}^{\alpha}dx &= \frac{1}{\alpha+1}{x}^{\alpha+1}+C \;\;\;(\alpha\neq-1) \\
\int\frac{1}{x}dx &= \log{|x|}+C \;\;\;(\alpha=-1)
\end{align*}
$$

三角関数の積分公式

$$
\begin{align*}
\int\sin{x}dx &= -\cos{x}+C \\
\int\cos{x}dx &= \sin{x}+C \\
\int\frac{1}{\cos^2{x}}dx &= \tan{x} + C \\
\int\frac{1}{\sin^2{x}}dx &= -\frac{1}{\tan{x}} + C
\end{align*}
$$

$${\tan{x}}$$の積分は下で紹介しています。

指数関数の積分公式

$$
\begin{align*}
\int e^xdx &= e^x +C \\
\int a^xdx &= \frac{a^x}{\log{a}} + C
\end{align*}
$$

$${a=e}$$の時一致していることを確認しましょう。

その他の公式

以下の公式は暗記しなくても大丈夫ですがかなり重要な積分なのですぐに計算で求められるようにしましょう！

$$
\begin{align*}
\int\log{x}dx &= x\log{x} - x +C \\
\int\tan{x}dx &= -\log{|\cos{x}|}+C \\
\int\frac{1}{\tan{x}}dx &= \log{|\sin{x}|}+C
\end{align*}
$$

積分計算における重要公式

部分積分の公式 （掛け算の積分）

$$
\int{f'(x)g(x)}dx = f(x)g(x) - \int{f(x)g'(x)}dx
$$

置換積分の公式 （合成関数の積分）

$$
\begin{align*}
\int{f(g(x))g'(x)}dx &= \int{f(t)dt} \\
\int{f(x)dx} &= \int{f(g(t))g'(t)}dt
\end{align*}
$$

部分積分や置換積分を使うことで様々な積分計算を基本関数の積分に帰着させることができます！
計算練習をたくさんして積分に慣れていきましょう！