【東京工業大学2020年度前期入試数学第3問】立体問題の体裁をとった平面問題

今回の問題は立体図形の問題ですが、実は平面図形の問題です。なかなかよくできた問題だと思います。ただし、出題範囲の点で少し疑義があります。

東京工業大学　本館
2011年5月19日、03撮影、Wikipediaより

[問題] 座標空間に5点
　　　O(0, 0, 0),　　A(3, 0, 0),　　B(0, 3, 0),　　C(0, 0, 4),　　P(0, 0, -2)
をとる。さらに 0< a < 3, 0 < b < 3 に対して 2点 Q(a, 0, 0) と R(0, b, 0) を考える。
(1) 点 P, Q, R を通る平面を H とする。平面 H と線分 AC の交点 T の座標，および平面 H と線分 BC の交点 S の座標を求めよ。
(2) 点 Q, R, S, T が同一円周上にあるための必要十分条件を a, b を用いて表し，それを満たす点 (a, b) の範囲を座標平面上に図示せよ。

(1) は難しくないでしょう。問題は (2) です。

(1) はベタに考えるなら、平面 H は (x/a) + (y/b) - (z/2) = 1 と表されるので、これと直線 AC, BC の交点を求めればいいわけですが、直線 AC は y = 0 上に、直線 BC は x = 0 上にあるので、平面上の2直線の交点の問題として考えるといいでしょう。

まず交点 T ですが、(x/a) - (z/2) = 1 と (x/3) + (z/4) = 1 を解くと { (1/a) + (2/3) } x = 3 となるので、x = 9a/(2a + 3), z = 2 × { 9/(2a + 3) - 1} = (12 - 4a)/(2a + 3) が得られます。もちろん、0 < a < 3 より分母が 0 ではないことを確認するようにして下さい。

よって、T (9a/(2a + 3), 0, (12 - 4a)/(2a + 3)) となります。

交点 S も同様で、x と y の対称性から S (0, 9b/(2b + 3), (12 - 4b)/(2b + 3)) となります。

(2) は方べきの定理およびその逆を用いるのが簡単だと思います。

実はこの定理は学習指導要領にはない認識でいたので、用いることを最初はためらっていましたが、確認すると平成29年告示の学習指導要領には記載されていたので心置きなく使うことにします。

(注) メネラウスの定理、チェバの定理、方べきの定理はもちろん受験対策として知っておくべき定理ですが、学習指導要領に登場したのは平成29年告示版からのような気がします。それ以前では確認できませんでした。
問題を作成する際、学習指導要領の範囲内で解答が可能であることが条件となっているので、その意味で今回の問題に方べきの定理を適用するのは「邪道」の可能性があります。
それにしても、現在の学習指導要領は過去の詰め込み教育の否定から生まれたものであったはずですが、詰め込み教育の極みにあるこれらの定理を採用している矛盾をどう説明するのでしょう。文科省にはこのことを曖昧にすることなく、過去の学習指導要領を否定した「間違い」に対してお詫びしていただきたいものです。

5点 P, Q, R, S, T は平面 H 上にあり、P, Q, T と P, R, S はそれぞれ直線上に存在するので、方べきの定理およびその逆から、4点 Q, R, S, T が同一円周上にあるための必要十分条件は PQ × PT = PR × PS が成立することになります。

PQ^2 = (a - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (0 + 2)^2 = a^2 + 4 であり、z 座標を比較することにより PQ : PT = (0 + 2) : { (12 - 4a)/(2a + 3) + 2 } = (2a + 3) : 9 であるので、PQ × PT = PQ × PQ × 9 / (2a + 3) = 9(a^2 + 4) / (2a + 3) となります。

同様に、PR^2 = (0 - 0)^2 + (b - 0)^2 + (0 + 2)^2 = b^2 + 4 であり、z 座標を比較することにより PR : PS = (0 + 2) : { (12 - 4b)/(2b + 3) + 2 } = (2b + 3) : 9 であるので、PR × PS = PR × PR × 9 / (2b + 3) = 9(b^2 + 4) / (2b + 3) となります。

これらを PQ × PT = PR × PS に代入すると、9(a^2 + 4)/(2a + 3) = 9(b^2 + 4)/(2b + 3) すなわち (a^2 + 4)(2b + 3) = (b^2 + 4)(2a + 3) となり、展開して左辺に移項して整理すると 2ab(a - b)  + 3(a + b)(a - b) - 8(a - b) = 0 すなわち (a - b)(2ab + 3a + 3b - 8) =0 が得られます。

したがって、必要十分条件は a - b = 0 もしくは 2ab + 3a + 3b - 8 = 0、すなわち、b = a もしくは b = -(3/2) + 25/{2(2a + 3)} が成立することとなります。もちろん、問題の条件 0 < a < 3 かつ 0 < b < 3 であることに注意すると次のようなグラフが得られます。

(注) 上記で4つの点 (0, 0), (3, 3), (8/3, 0), (0, 8/3) は含まれません。

さて、この問題でもし方べきの定理を使わなかったらどうなるかを考えてみたのですが、少なくとも私の調べた範囲内では数式がすごいことになって、とても試験時間内に終わるような方法は見つかりませんでした。

もしそのような解法がないとなると出題範囲を逸脱していたことになるため、個人的に想定解答を知りたいところです。

もし方べきの定理を使わないで簡単に計算がすむ方法がありましたらご連絡いただけると幸いです。