昔悩んだ数学問題の解き方（後編）

昔、ビートたけしさんの番組で見た問題に悩み、ようやく解けた問題の解答続きです。

改めて問題はこちらです。

「連続する自然数の和が1000になる組み合わせを全て答えよ」

この問題が、連続する数字の個数が奇数個のときと偶数個のときを考える必要があります。

前半では奇数個の場合について考えました。（↓をどうぞ。）

今回は残り偶数の場合について考えます。

連続する数字が偶数というのは、5,6,7,8だと4個、100,101,102,103,104,105だと6個、といったような事を差します。

これらの数字というのは、奇数の時とは異なり、「真ん中の数字」というのがありません。なので、数字の「真ん中のペア」を見ていくことにします。
上の例でいけば、

5,6,7,8 → 6,7が真ん中のペア
100,101,102,103,104,105 → 102,103が真ん中のペア

というようにです。この「真ん中のペア」をA,A+1というように書くとすると、一般的には

(A-n)・・・(A-2),(A-1),A,(A+1),(A+2)・・・(A+n+1)

というふうにあらわされます。nは自然数です。これらの合計が1000になるということは

(A-n)+・・・+(A-1)+A,(A+1)+・・・+(A+n+1)=1000

となります。

ところでさっきの数字列の例で、6,7のペアの合計は、そこからプラスマイナス1した5,8のペアの合計と等しくなります。
もうひとつの組み合わせで見てみると、

102+103= 102 +(102+1)=205
101+104=(102-1)+(102+2)=205
100+105=(102-2)+(102+3)=205

となります。

つまり、一般的に表した等式をペア同士にまとめなおしてやると、

{A+(A+1)}+{(A-1)+(A+2)}+{(A-2)+(A+3)}+・・・＋{(A-n)+(A+n+1)}=1000

これは

(2A+1)+(2A+1)+・・(2A+1)=1000

ということになります。

偶数の場合は、連続する数字が奇数の場合とは違い、（2A+1）の倍数を見てやることになります。

この式が何を意味するか。1000で割り切れた結果が奇数になっていなければならないということです。

では順番に計算していくと、

倍数が1のとき 2A+1=1000（意味ない）
倍数が2のとき 2A+1=500（偶数なのであてはまらず）
倍数が3のとき （割り切れない）
倍数が4のとき 2A+1=250（偶数なのであてはまらず）
・
・
倍数が8のとき 2A+1=125
・
・
倍数が40 のとき2A+1=25
・
・

とこのような結果になります。1000を割った結果が奇数になったのは、上の結果では倍数が8,40のときでした。

では倍数が8のとき、2A+1=125です。これは何を意味するか。倍数8なので16個数字がならぶということです。左の式を解いたらA=62ですので、62,63のペアの両端にプラスマイナス７個ずつ連続した数字をくっつければよいということです。

55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,65,66,67,68,69,70

おおおおおっ！たしたら1000ではないか！

次に倍数が40のとき、2A+1が25です。これは、A=12ですので、12,13のペアの両端にプラスマイナス39個連続した数字をくっつけるということになります。しかし12の下に39個くっつけることはできないのでこのパターンは成立しないことになります。

よって、連続する数字が偶数のときには、

55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,65,66,67,68,69,70

の1通りだけが存在することがわかりました。

前回の奇数の場合の組み合わせと今回の結果から、答えは

198,199,200,201,202
28,29,30,31,・・・,49,50,51,52
55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,65,66,67,68,69,70

の3通りです。(Q.E.D.)

久々にこの”Q.E.D.”を書いてみたかったんですねえｗ

それではまた！

#日々感謝 m(_ _)m