自作模試第二弾！慶應理工模試「数学」
みなさんこんにちは、ゆーきゃんです。
今回は、慶應理工模試「数学」の解説を行っていきます。
早稲田理工に引き続き、自作模試の第二弾です。
本番に即した問題構成・難易度となっておりますので、
過去問演習等を一通り終えてしまった方はぜひ挑戦してみてください。
本番と同様に120分で取り組んでみましょう。
問題の概要
今回、取り扱う問題は以下の通りです。
解答と解説
解答・解説は以下の通りです。
また、各大問毎の出題背景等を述べていきます。
1.の解説
例年、1問目は小問集合となっていることが多いです。
出題内容は多岐に渡り、年度によって出題される内容が異なることが多いです。
今回は、「複素数」・「媒介変数で表示された曲線」・「整数問題」から出題しました。
（１）では、解を極形式でおくことができれば、あとはスムーズに解けるかと思います。
（２）では、「カージオイド」の長さを実は求めています。
（３）では、特に京大で出題実績の多い「3の平方剰余」を背景としています。
2.の解説
2.は「ベクトル」を背景とした問題です。
「ベクトル」はほぼ毎年のように出題されております。
小問集合に「ベクトル」が含まれることもあれば、それが独立した大問として出題されることもあります。
慶應理工の「ベクトル」は計算量が多いのが特徴です。
そのため、今回の問題も計算量が多くなるよう作問しています。
特に、（３）では正射影ベクトルを活用して少しでも計算量が減らせるとよいです。
3.の解説
3.は「積分不等式」および「極限」をテーマとした問題です。
これらを背景とする問題はたびたび出題されています。
今回の問題は「ウォリス積分」をテーマとした問題です。
（ス）の導出の仕方はぜひ覚えておきましょう。
2018年度の問題でもこれを背景とした問題が出題されています。
こちらもぜひ挑戦してみましょう。
4.の解説
4.は「確率」および「微分」をテーマとした問題です。
慶應理工では毎年のように「確率」が出題されています。
毎年、複雑な状況設定の問題が出題されているのが特徴です。
今回は新傾向の問題として「二項分布のベイズ推定」をテーマとした問題を作ってみました。
昨今話題の「機械学習」の背景には、「ベイズ統計学」があります。
それをもととしたパラメータ推定のことを「ベイズ推定」と呼びます。
これらのほか、連続確率分布もテーマとしており、大学で学ぶ「確率論」の基礎につながる問題となっています。
これらの詳しい内容をぜひ大学に入って学んでもらいたいと思います。
ところで、（ニ）を求める際、積分に関する裏ワザとして、
$${m,n}$$を0以上の整数とする。このとき、以下の等式が成り立つ。
$${\displaystyle \int_{0}^{1} x^m(1-x)^ndx=\dfrac{m!n!}{(m+n+1)!}}$$
をぜひ覚えておきましょう。
5.の解説
5.は「高次方程式」および「軌跡と領域」をテーマとした問題です。
これら2つも慶應理工ではよく出題されています。
（ノ）に関しては定数分離をしやすい式の形となっているので、この手法を採ると解きやすいかと思います。
文字を含んだまま3次方程式を考え、それが異なる3実解を持つ条件を考察するやり方でももちろん解けます。
また、（ハ）についてはいわゆる「順像法」を用いて解いています。
余力のある方は「逆像法」を用いた別解もぜひ考えてみてください。
まとめ
いかがでしたか。
今回は、慶應理工模試「数学」の解説を行いました。
慶應理工は早稲田理工とは異なり大部分の解答形式が客観式です。
そのため、盤石とした計算力が求められます。
工夫して計算できるところは工夫し、なるべく計算量を減らしていくことが大切です。
最後までご覧いただきありがとうございました。
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