中３　数学　平方根

平方根

もうすぐ２歳の息子が最近電卓に興味を持ち始めました。

押して何か変化が起きるのが面白いらしく、よく触っています。

皆さんはスマホに電卓アプリが内蔵されているorウェブ上で電卓を使うことが多いと思うので、「√」（ルート、根号）にあまり興味を持たなかった世代かもしれません。

「３」→「√」と押すと、意味不明な小数が現れます。

平方根とは、２乗してその数になる数字のことです。

例えば、９の平方根を聞かれたら、２乗して９になる数字を答えれば正解です。

正解は３とー３。

±３でもOKです。

２５の平方根は±５。

１２１の平方根は±１１。

ここまでは余裕です。

問題は７の平方根。

２乗して７になる数字なくない？

って感じで困ります。

そんな時にルートを使おう！って話です。

７の平方根は±√7です。
（ルートの中に７を書いてください。）

１１の平方根は±√11です。
（ルートの中に１１を回転ください。）

難しくないっていうか、むしろめっちゃ楽。

一生永遠と続く小数が、√（ルート、根号）使うとこんな短く表せる。

ルート２やルート３は語呂合わせがあるので、学校の先生に覚えろと言われたら覚えましょう。

無理数と有理数と時々循環小数

ルート２＝１．４１４２１３５６〜みたいに一生永遠と続く数字を無理数と言います。

他の代表例は円周率のπです。

３．１４１５〜と一生永遠と続きます。

ただ、一生永遠と永遠と続く数字の中にも有理数が存在します。

有理数っていうのは分数、しかも分母も分子も整数、で表せる数字のこと。

ルート２とかπとかは分数では表せません。

一方で、循環小数と呼ばれる少数は分数で表せるので、有理数となります。

例えば、０．６６６６６６６６〜みたいな数字。

これが循環小数です。

他にも０．１２１２１２１２〜とか。

これらの循環小数も一生永遠と続くけど、分数で表すことが出来ます。

手順が難しいですが、是非確認してください。

ｘ＝０．６６６６６６６６〜って方程式を作ります。

両辺を１０倍します。

１０ｘ＝６．６６６６６６６６〜

１０倍した式から元の式を引くと、

９ｘ＝６
ｘ＝２／３

ということで、０．６６６６６６６６〜という循環小数は分数で表すことができるので有理数です。

ルートの大小

ルートの大小は簡単です。

ルートの中の数字が大きい方が大きいです。

もちろんマイナスの世界では真逆です。

√２＜√３

ー√３＜－√２

２＜√５
（２＝√４）

ルートのかけ算割り算

計算力が問われるところです。

色々流派があり、人によって計算方法に多少違いがあります。

√２✕√３
＝√６

√５✕√５
＝５

２√２✕３√５
＝６√１０

√１２÷√３
＝√４
＝２

４√６÷２√３
＝２√２

√１５✕√１０
＝√３✕√５✕√５✕√２
＝５√６

あとは符号だけ気を付けましょう。

a√bの変形

３√２を√１８に変形する問題です。

めちゃくちゃ大事なところなので秒で出来るようにしてください。

√aの変形

こっちの方が頻度高め。

ポイントは素因数分解しないこと。

素因数分解なんかしたら死刑だよ。

そんな指導者がいたら、多分高校数学勉強してない。

ルート（根号）の外に数字を出せるということは、ルート（根号）の中に平方数があるってこと。

つまり、４、９、１６、２５、３６、４９などの整数を２乗した数字。

それを使ってルート（根号）の外に数字を出します。

√１２
＝√４✕√３
＝２√３

√１８
＝√９✕√２
＝３√２

√２０
＝√４✕√５
＝２√５

√３２
＝√１６✕√２
＝４√２

こんな感じ。

素因数分解なんて絶対にするなよ！

分母の有理化

分母にルートがあったら有理化しましょう。

決められたルールだし、方法は簡単だから、教科書で確認して基礎問で演習あるのみ。

平方根の近似値

この問題もよく出ます。

まぁ意外と簡単です。

√２って一生永遠と続くんだけど、１．４１４だとして、√２関連の数字がどのくらいになるか調べましょうって話。

√２００＝√１００✕√２＝１０√２

つまり√２００は√２の１０倍だから、小数点１個移動して１４．１４。

√８は２√２だから√２の２倍。

√０．０２は１／１０√２だから√２の１０分の１倍。

あとは√２０を使うパターンと、１００倍、１００分の１倍、の組み合わせの問題。

ルートの足し算引き算

ルートの足し算引き算は文字に似ています。

２ｘ＋３ｘ
＝５ｘ

と同じ様に、

２√２＋３√２
＝５√２

です。

ただ、２乗するとルートが外れるので注意が必要です。

もっと具体的に言えば、分配法則と乗法公式が出てきます。

（√２＋√３）²など。

乗法公式に自信がない人は絶対に確認してください。

整数になる最小の自然数ｎ

実は１年生の時に習っています。

２４に最小の自然数をかけて整数の２乗にしたい。

なにをかければ何の２乗になる？

２４は４✕６。

これに６をかければ
４✕６✕６
＝２²✕６²
＝（２✕６）²
＝１２²

全部２乗になるようにすればOK。

ということで、２４に６をかけると１２の２乗になります。

これをルート（根号）の中で行います。

√５４ｎ
＝√９✕√６✕√ｎ
＝３✕√６✕√

ｎのところに６が入れば
３✕√６✕√６
＝１８

整数部分と小数部分

√２＝１．４１４２１３５６～

√２の整数部分は１です。

小数部分は０．４１４２１３５６～なんですが、一生永遠と続くので表すことが出来ません。

そこで発想を変えます。

√２から整数部分の１を引けば、小数部分だけ丸々残るって考えます。

だから、√２の小数部分は√２－１です。