中１　数学　正負の乗除

加減乗除

足し算わり算の次はかけ算わり算です。

マイナスの数字を計算するので、ルールが新しく増えます。

そのルールの説明の前に、少しだけ用語の確認をしましょう。

加減乗除という言葉があります。

加・・・足し算のこと
減・・・引き算のこと
乗・・・かけ算のこと
除・・・わり算のこと

また、和差積商も確認しましょう。

和・・・足し算の答えのこと
差・・・引き算の答えのこと
積・・・かけ算の答えのこと
商・・・わり算の答えのこと

覚えておかないと解けない問題もあるので、しっかりと覚えましょう。

かけ算わり算は表裏一体

さて、ここからが本題です。

足し算引き算はセットでした。

足し算は引き算に変換できるし、引き算は足し算に変換できるからです。

同じように、かけ算わり算もセットです。

かけ算はわり算に変換できるし、わり算はかけ算に変換できます。

わり算をかけ算に変換することが大半ですが。

符号のルール

マイナスの数字を学習したので、かけ算わり算でも符号のルールを覚えないといけません。

①プラス✕プラス＝プラス
②プラス✕マイナス＝マイナス
③マイナス✕プラス＝マイナス
④マイナス✕マイナス＝プラス

４つもありますが、覚えるのは実質２つです。

①のプラス✕プラスって小学生の時から計算してきた今まで通りのかけ算です。

②と③は一緒です。

かけ算も足し算と同じ様に、交換法則が使えます。

１✕２も２✕１も同じです。

符号のルールも順番は関係ありません。

④も新しく覚えましょう。

マイナスとマイナスをかけるとプラスになります。

覚えなければならないことをまとめると、

プラスとマイナスをかけたらマイナス（②③）
マイナスとマイナスをかけたらプラス（④）

わり算も符号のルールは全く同じです。

では応用編。

マイナス✕マイナス✕プラスはどっち？

答えはプラスです。

マイナスの方が多いからマイナスだと思った人は戻ってルールを確認しましょう。

実践　かけ算編

①２✕３＝６
②２✕（ー３）＝－６
③（－３）✕２＝－６
④－２✕（－３）＝６

この４つが理解できれば基礎はばっちりです。

小数と分数の計算は小学生の範囲なので今回は省きます。

指数

指数とか累乗とか呼ばれる小さい数字。

２³とか５²とか（ー３）²とか。

２³は２✕２✕２のことで、つまり２³＝８です。

同じ様に、５²＝２５。

注意が必要なのはマイナスがある時です。

（ー３）²は（ー３）✕（ー３）のことなので９です。

一方で、－３²はマイナスは確定で、３²が９なので、－９です。

ややこしいですが、区別しましょう。

ー３²の方は、「マイナス３の２乗」ではなく、「引く３の２乗」と考えると分かりやすいかもしれません。

１－３²

こんな計算で出てきます。

この後半部分だけが問題になっている感覚です。

そのうち学習しますが、引き算よりも先に指数の計算をしないといけないので、
１－３²
＝１－９
＝－８
こんな感じになります。

注目してほしいのは、－３²のところがー９になっているところです。

実践　わり算編

①６÷２＝３
②６÷（－２）＝－３
③－６÷２＝－３
④－６÷（－２）＝３

この４つが理解できれば基礎はばっちりです。

割り切れない問題と、分数の問題はかけ算に換えましょう。

わり算をかけ算に変換すると、わる数（÷の後ろの数）が逆数になります。

逆数は分数の分母と分子を逆にした数です。

2/3の逆数は3/2。

２の逆数は1/2。

ー３の逆数はー1/3。

全部乗せ

ラスボスは足し算引き算かけ算わり算全部乗せです。

計算には優先順位があります。

最初に優先順位を説明しますが、慣れてくれば同時進行することもありますし、とにかくたくさん解くことをおすすめします。

優先度が高い方からいくと、
①カッコの中の計算
②指数（累乗）の計算
③かけ算わり算
④足し算引き算
の順番です。

カッコの中の計算も、②→③→④という優先順位で計算していきます。

毎回全部ある訳でもないので、やっぱりたくさん解いて慣れるしかありません。

２－３✕４
＝２－１２
＝－１０

２³✕３
＝８✕３
＝２４

２✕（ー３）ー１０÷２
＝－６－５
＝－１１

（２－１２÷３）＋５✕（－２）
＝（２－４）－１０
＝－２－１０
＝－１２

（－２）✕（３０－５²）ー（－２）³✕３
＝（－２）✕（３０－２５）ー（－８）✕３
＝（－２）✕５－（－２４）
＝－１０＋２４
＝１４

分配法則

まずは基本形から。

a(bーc)
こんな形の時にどう計算するか。

ちなみにa✕(bーc)って意味です。

計算の優先順位としては、カッコの中が先なのですが、別の計算方法もできます。

それが分配法則です。

a(bーc)
＝a✕b＋a✕(ーc)

こんな風に計算します。

具体例を挙げましょう。

２(３－５)
＝２✕３＋２✕（－５）
＝６－１０
＝－４

圧倒的にカッコの中から計算した方が楽です。

ただ、分配法則を使った方が楽なパターンがあります。

分数の時です。

１２(２／３－３／４)
みたいな時に、カッコの中を計算しようとすると、通分が必要です。

しかし、分配法則を使うと通分せずに計算が可能なので楽になります。

今後もずっと使うので、分配法則を覚えましょう。

数の集合と四則計算

数には色々な分類があります。

他にも分け方がありますが、ここでは「全ての数」「整数」「自然数」の３つに分類します。

条件が厳しい方から見ていくと、
自然数・・・正の整数
整数・・・負の整数、０、正の整数
全ての数・・・数字であれば小数でも分数でも何でも

次にそれぞれの数同士を計算した時の和差積商がどうなるか？を考えていきましょう。

この問題では「必ず」そうなるかを聞かれています。

言い換えれば、そうならない例を１個見つければ違うってことです。

数学では、そうならない例のことを反例と言います。

反例を答える問題も多いので、具体例を考えましょう。

☆全ての数

全ての数＋全ての数
全ての数ー全ての数
全ての数✕全ての数
全ての数÷全ての数

どれも答えは全ての数になります。

数字と数字を計算したら答えが数字になるってこと。

そりゃそうだろ。

☆整数

整数＋整数
整数ー整数
整数✕整数
整数÷整数

これは割り算だけ答えが整数にならない場合があります。

他はどんな組み合わせでも、答えは必ず整数になります。

ただし、÷０は普通ないものとして考えます。

反例は、３÷２。

答えが１．５になってしまい整数になりません。

☆自然数

自然数＋自然数
自然数ー自然数
自然数✕自然数
自然数÷自然数

足し算と掛け算はどんな組み合わせでも、答えは必ず自然数になります。

引き算の反例
２－２

答えは０で自然数になりません。

割り算の反例
２÷３

答えは２／３で自然数になりません。