中２　数学　連立方程式

鶴亀算

鶴と亀が合わせて１００匹います。

足が合わせて２７２本あります。

鶴は何羽、亀は何匹いますか？

中学入試では定番の鶴亀算です。

この問題で数学で大事なことを確認できます。

それは、「分からなかったら具体的に数字を代入して考える」ということです。

数学が伸びない子は、解き方が分からないと何もしません。

一方で、どんどん伸びていく子は、手を動かして気合と根性で答えを目指します。

オーソドックスな解き方は、全て鶴だったらどうなるか？からスタートします。

全て鶴の場合、
２本✕１００羽＝２００本となり、７２本足りません。

次に、鶴９９羽、亀１匹の場合、
２本✕９９羽＋４本✕１匹＝２０２本となり、７０本足りません。

このまま２７２本になる組み合わせを考えてもOK。

鶴１羽→亀１匹で何本足が増えるかを考えて、答えまでどのくらい差があるのかを考えると楽です。

どちらにせよ、具体的な数字や関係性から法則を見つけ出す能力はとても大事です。

これから先、文章題が出てきますし、関数の問題でも文字が多く分かりにくいですが、代入して気合と根性で頑張ってください。

加減法

先程の問題を中１風に解くと、
鶴をｘ羽、亀を（１００ーｘ）匹として、
２ｘ＋４（１００ーｘ）＝２７２
２ｘ＋４００ー４ｘ＝２７２
ー２ｘ＝ー１２８
ｘ＝６４
鶴６４羽、亀３６匹となります。

連立方程式では、文字を２つに増やすことで、式をもう少しシンプルにします。

鶴をｘ羽、亀をｙ匹とすると
ｘ＋ｙ＝１００
２ｘ＋４ｙ＝２７２

こんな感じです。

ここから、ｘかｙのどちらかの数を合わせて、足し算or引き算をして、どちらかの文字を消す方法を加減法と言います。

まぁやってみましょう。
下の式を２で割ると、
ｘ＋２ｙ＝１３６

ｘ＋ｙ＝１００
ｘ＋２ｙ＝１３６

下の式から上の式を引くと、
ｙ＝３６

ｘ＋ｙ＝１００
にｙ＝３６を代入すると、
ｘ＋３６＝１００
ｘ＝６４

これが代入法です。

ｘかｙのどちらかの数字を合わせるように、掛けたり割ったりしてください。

プラスマイナスは揃えなくてOKです。

符号が同じなら引けば消えるし、符号が異なるなら足せば消えます。

パターンとしては
①そのまま
②どっちか◯倍
③片方◯倍、もう片方△倍
④小数は１０倍とか１００倍
⑤分数は最小公倍数倍
など。

代入法

その名の通り代入して解いていきます。

結構見た目が分かりやすいことが多いです。

ｙ＝ｘ＋２
ｘー２ｙ＝４

こんな問題です。

ｘ＝〜、ｙ＝〜、となっている場合は代入法を使った方が楽な場合が多いです。

移項して加減法でも解けますが、定期試験では「代入法を使って解きなさい」と指定されるので、代入法も解けるようにしましょう。

上の式を下の式に代入します。

ｘー２（ｘ＋２）＝４
ｘー２ｘー４＝４
ーｘ＝８
ｘ＝ー８

ｘ＝ー８を上の式に代入します。
ｙ＝ー８＋２
ｙ＝ー６

これまで習ってきた計算のルールをマスターしていれば、結構簡単に解けます。

難しく感じる人は、１次式の計算、１次方程式の計算、を再確認しましょう。

特殊パターン

☆比例式パターン
ｘ：ｙ＝２：３
の様に比例式が出てきたら、内項の積＝外項の積、です。

ｘ✕３＝ｙ✕２
３ｘ＝２ｙ

☆A=B=Cパターン
ｘ＋３ｙ＝２ｘ－ｙ＝３
の様な形は、A=B、B=C、C=Aの３つから２つ選んで式を作ります。

割とCの部分が整数のみのことが多いので、A=CとB=Cがおすすめです。

ｘ＋３ｙ＝３
２ｘ－ｙ＝３

☆連立３元１次方程式パターン
ｘ、ｙ、ｚ、と３つの文字が出てくるパターンです。

３つ式が与えられるので、加減法を使い、どれか１つの文字を消去して、文字２つだけの式にします。

見慣れないｚを消去するのが無難です。

①ｘ＋ｙ＋ｚ＝９
②２ｘ＋２ｙ＋ｚ＝１４
③ｘー３ｙーｚ＝ー１１

②－①
ｘ＋ｙ＝５

②＋③
３ｘ－ｙ＝３

ｚを消去した式が２つ作れたので、そのまま連立方程式を解いて、まずｘとｙを求めます。

ｘとｙが分かったら、①の式に代入してｚを求めて終了です。

文章題

「計算はできるけど文章題は苦手」という人がよくいます。

苦手なパターンがいくつかあります。

①問題文を正しく理解できない
②問題文の情報を整理できない
③問題文の情報から式を作れない
④計算ができない

①はどの科目も共通ですが、何を聞かれているか理解できない子はとても多いです。

中学生にもなると個人差が大きく、だからといって文章題にチャレンジさせないと、そのこの発達を妨げてしまいます。

正しく文章を読む訓練をしましょう。

②の情報の整理が肝です。

講師はだいたい図や表を使って説明します。

しかし、出来ない子はそれを真似しません。

毎回やればできるようになるのにめんどくさがってやりません。

③は情報が分かっても、特に抽象的な数量の関係を理解出来ていないタイプです。

具体的には、割合と速さです。

頻出なので必ず理解しましょう。

④は文章題においても、計算ミスが起こります。

むしろ文章題だからこそ、です。

まず、扱う数字の桁数が大きいことが多いです。

楽な計算方法をしていかないと計算ミスが多発します。

また、式〜答えまでの過程が長いので、集中力がなかったり、途中計算を書かなかったり、見直しをめんどくさがったり、するとミスが起こりやすいです。

解けない理由が多岐に渡るので、これを分析できる人が近くに必要です。

最初に戻りますが、文章題は気合と根性で解けます。

めんどくさがってませんか？